Coordenadas trilineares - Trilinear coordinates

Em geometria , as coordenadas trilineares x: y: z de um ponto em relação a um determinado triângulo descrevem as distâncias diretas relativas das três linhas laterais do triângulo. As coordenadas trilineares são um exemplo de coordenadas homogêneas . A proporção x: y é a proporção das distâncias perpendiculares do ponto aos lados ( estendidas se necessário) opostos aos vértices A e B, respectivamente; a razão y: z é a razão das distâncias perpendiculares do ponto às laterais opostas aos vértices B e C, respectivamente; e do mesmo modo para z: x e vértices C e A .

No diagrama à direita, as coordenadas trilineares do ponto interior indicado são as distâncias reais ( a ' , b' , c ' ), ou equivalentemente na forma de razão, ka' : kb ' : kc' para qualquer constante positiva k . Se um ponto está em uma linha lateral do triângulo de referência, sua coordenada trilinear correspondente é 0. Se um ponto externo está no lado oposto de uma linha lateral do interior do triângulo, sua coordenada trilinear associada a essa linha lateral é negativa. É impossível que todas as três coordenadas trilineares sejam não positivas.

O nome "coordenadas trilineares" às vezes é abreviado para "trilinear".

Notação

A notação de razão x : y : z para coordenadas trilineares é diferente da notação tripla ordenada ( a ' , b' , c ' ) para distâncias direcionadas reais. Aqui, cada um de x , y e z não tem significado por si só; sua relação com um dos outros faz tem significado. Assim, a "notação de vírgula" para coordenadas trilineares deve ser evitada, porque a notação ( x , y , z ), que significa um triplo ordenado, não permite, por exemplo, ( x , y , z ) = (2 x , 2 y , 2 z ), enquanto a "notação de dois pontos" permite x  : y  : z = 2 x  : 2 y  : 2 z .

Exemplos

As coordenadas trilineares do incentivo de um triângulo ABC são 1: 1: 1; isto é, as distâncias (direcionadas) do incentivo às laterais BC , CA , AB são proporcionais às distâncias reais denotadas por ( r , r , r ), onde r é o infravermelho do triângulo ABC . Dados os comprimentos laterais a, b, c , temos:

• A = 1: 0: 0
• B = 0: 1: 0
• C = 0: 0: 1
• incentivo = 1: 1: 1
• centróide = BC  : ca  : AB = 1 / um  : 1 / b  : 1 / c = csc Um  : csc B  : csc C .
• circuncentro = cos Um  : cos B  : cos C .
• ortocentro = seg A  : seg B  : seg C .
• centro de nove pontos = cos ( B - C ): cos ( C - A ): cos ( A - B ).
• ponto symmedian = um  : b  : c = sin Um  : sin B  : sin C .
• A -excenter = −1: 1: 1
• B -excenter = 1: -1: 1
• C -excenter = 1: 1: -1.

Observe que, em geral, o incentivo não é o mesmo que o centróide ; o centróide tem coordenadas baricêntricas 1: 1: 1 (estas sendo proporcionais às áreas com sinais reais dos triângulos BGC , CGA , AGB , onde G = centróide.)

O ponto médio de, por exemplo, o lado BC tem coordenadas trilineares em distâncias laterais reais para a área do triângulo , que em distâncias relativas especificadas arbitrariamente simplifica para As coordenadas em distâncias laterais reais do pé da altitude de A a BC são as quais em distâncias puramente relativas simplifica para ${\ displaystyle (0, {\ frac {\ Delta} {b}}, {\ frac {\ Delta} {c}})}$${\ displaystyle \ Delta}$${\ displaystyle 0: ca: ab.}$${\ displaystyle (0, {\ frac {2 \ Delta} {a}} \ cos C, {\ frac {2 \ Delta} {a}} \ cos B),}$${\ displaystyle 0: \ cos C: \ cos B.}$

Fórmulas

Colinearidades e simultaneidades

As coordenadas trilineares permitem muitos métodos algébricos na geometria do triângulo. Por exemplo, três pontos

P = p  : q  : r

U = u  : v  : w

X = x  : y  : z

são colineares se e somente se o determinante

${\ displaystyle D = {\ begin {vmatrix} p & q & r \\ u & v & w \\ x & y & z \ end {vmatrix}}}$

é igual a zero. Assim, se x: y: z é um ponto variável, a equação de uma reta que passa pelos pontos P e U é D = 0. A partir disso, toda reta tem uma equação linear homogênea em x, y, z . Cada equação da forma lx + my + nz = 0 em coeficientes reais é uma linha reta real de pontos finitos, a menos que l: m: n seja proporcional a a: b: c , os comprimentos laterais, caso em que temos o locus de aponta para o infinito.

O dual desta proposição é que as linhas

pα + qβ + rγ = 0

uα + vβ + wγ = 0 ,

xα + yβ + zγ = 0

coincidir em um ponto (α, β, γ) se e somente se D = 0.

Além disso, se as distâncias direcionadas reais são usadas ao avaliar o determinante de D , então a área do triângulo PUX é KD , onde K = abc / 8∆ ² (e onde ∆ é a área do triângulo ABC , como acima) se o triângulo PUX tem a mesma orientação (sentido horário ou anti-horário) que o triângulo ABC , e K = –abc / 8∆ ² caso contrário.

Linhas paralelas

Duas linhas com equações trilineares e são paralelas se e somente se ${\ displaystyle lx + my + nz = 0}$${\ displaystyle l'x + m'y + n'z = 0}$

${\ displaystyle {\ begin {vmatrix} l & m & n \\ l '& m' & n '\\ a & b & c \ end {vmatrix}} = 0,}$

onde a, b, c são os comprimentos laterais.

Ângulo entre duas linhas

As tangentes dos ângulos entre duas linhas com equações trilineares e são dadas por ${\ displaystyle lx + my + nz = 0}$${\ displaystyle l'x + m'y + n'z = 0}$

${\ displaystyle \ pm {\ frac {(mn'-m'n) \ sin A + (nl'-n'l) \ sin B + (lm'-l'm) \ sin C} {ll '+ mm' + nn '- (mn' + m'n) \ cos A- (nl '+ n'l) \ cos B- (lm' + l'm) \ cos C}}.}$

Linhas perpendiculares

Assim, duas linhas com equações trilineares e são perpendiculares se e somente se ${\ displaystyle lx + my + nz = 0}$${\ displaystyle l'x + m'y + n'z = 0}$

${\ displaystyle ll '+ mm' + nn '- (mn' + m'n) \ cos A- (nl '+ n'l) \ cos B- (lm' + l'm) \ cos C = 0. }$

Altitude

A equação da altitude do vértice A ao lado BC é

${\ displaystyle y \ cos Bz \ cos C = 0.}$

Linha em termos de distâncias dos vértices

A equação de uma linha com distâncias variáveis p, q, r dos vértices A , B , C cujos lados opostos são a, b, c é

${\ displaystyle apx + bqy + crz = 0.}$

Coordenadas trilineares de distância real

Os trilíneos com os valores das coordenadas a ', b', c ' sendo as distâncias perpendiculares reais aos lados satisfazem

${\ displaystyle aa '+ bb' + cc '= 2 \ Delta}$

para os lados do triângulo a, b, ce área . Isso pode ser visto na figura no topo deste artigo, com o ponto interno P particionando o triângulo ABC em três triângulos PBC , PCA e PAB com as respectivas áreas (1/2) aa ' , (1/2) bb' , e (1/2) cc ' . ${\ displaystyle \ Delta}$

Distância entre dois pontos

A distância d entre dois pontos com trilíneos de distância real a _i  : b _i  : c _i é dada por

${\ displaystyle d ^ {2} \ sin ^ {2} C = (a_ {1} -a_ {2}) ^ {2} + (b_ {1} -b_ {2}) ^ {2} +2 ( a_ {1} -a_ {2}) (b_ {1} -b_ {2}) \ cos C}$

ou de uma forma mais simétrica

${\ displaystyle d ^ {2} = {\ frac {abc} {4 \ Delta ^ {2}}} \ left (a (b_ {1} -b_ {2}) (c_ {2} -c_ {1} ) + b (c_ {1} -c_ {2}) (a_ {2} -a_ {1}) + c (a_ {1} -a_ {2}) (b_ {2} -b_ {1}) \ direita)}$ .

Distância de um ponto a uma linha

A distância d de um ponto a ' : b' : c ' , em coordenadas trilineares de distâncias reais, para uma linha reta lx + my + nz = 0 é

${\ displaystyle d = {\ frac {la '+ mb' + nc '} {\ sqrt {l ^ {2} + m ^ {2} + n ^ {2} -2mn \ cos A-2nl \ cos B- 2lm \ cos C}}}.}$

Curvas quadráticas

A equação de uma seção cônica no ponto trilinear variável x  : y  : z é

${\ displaystyle rx ^ {2} + sy ^ {2} + tz ^ {2} + 2uyz + 2vzx + 2wxy = 0.}$

Não tem termos lineares e nenhum termo constante.

A equação de um círculo de raio r tendo centro nas coordenadas de distância real ( a ', b', c ' ) é

${\ displaystyle (x-a ') ^ {2} \ sin 2A + (y-b') ^ {2} \ sin 2B + (z-c ') ^ {2} \ sin 2C = 2r ^ {2} \ sin A \ sin B \ sin C.}$

Circunconics

A equação em coordenadas trilineares x, y, z de qualquer circunferência de um triângulo é

${\ displaystyle lyz + mzx + nxy = 0.}$

Se os parâmetros l, m, n, respectivamente, são iguais aos comprimentos dos lados a, b, c (ou os senos dos ângulos opostos a eles), então a equação fornece o círculo circunflexo .

Cada circunferência distinta tem um centro exclusivo para si mesma. A equação em coordenadas trilineares do circunconic com centro x ': y': z ' é

${\ displaystyle yz (x'-y'-z ') + zx (y'-z'-x') + xy (z'-x'-y ') = 0.}$

Inconics

Cada seção cônica inscrita em um triângulo tem uma equação em coordenadas trilineares:

${\ displaystyle l ^ {2} x ^ {2} + m ^ {2} y ^ {2} + n ^ {2} z ^ {2} \ pm 2mnyz \ pm 2nlzx \ pm 2lmxy = 0,}$

com exatamente um ou três dos sinais não especificados sendo negativos.

A equação do incircle pode ser simplificada para

${\ displaystyle \ pm {\ sqrt {x}} \ cos {\ frac {A} {2}} \ pm {\ sqrt {y}} \ cos {\ frac {B} {2}} \ pm {\ sqrt {z}} \ cos {\ frac {C} {2}} = 0,}$

enquanto a equação para, por exemplo, o círculo adjacente ao segmento lateral oposto ao vértice A pode ser escrita como

${\ displaystyle \ pm {\ sqrt {-x}} \ cos {\ frac {A} {2}} \ pm {\ sqrt {y}} \ cos {\ frac {B} {2}} \ pm {\ sqrt {z}} \ cos {\ frac {C} {2}} = 0.}$

Curvas cúbicas

Muitas curvas cúbicas são facilmente representadas usando coordenadas trilineares. Por exemplo, o pivô auto-isoconjugado cúbico Z (U, P) , como o locus de um ponto X tal que o P -isoconjugado de X está na linha UX é dado pela equação determinante

${\ displaystyle {\ begin {vmatrix} x & y & z \\ qryz & rpzx & pqxy \\ u & v & w \ end {vmatrix}} = 0.}$

Entre as cúbicas nomeadas Z (U, P) estão as seguintes:

Cúbico de Thomson : Z (X (2), X (1)) , onde X (2) = centróide , X (1) = incentivo

Cúbico de Feuerbach : Z (X (5), X (1)) , onde X (5) = ponto de Feuerbach

Cúbica de Darboux : Z (X (20), X (1)) , onde X (20) = ponto De Longchamps

Cúbico de Neuberg : Z (X (30), X (1)) , onde X (30) = ponto infinito de Euler .

Conversões

Entre coordenadas trilineares e distâncias das linhas laterais

Para qualquer escolha de coordenadas trilineares x: y: z para localizar um ponto, as distâncias reais do ponto a partir das linhas laterais são dadas por a '= kx , b' = ky , c '= kz onde k pode ser determinado pela fórmula em que a , b , c são os respectivos comprimentos laterais BC , CA , AB e ∆ é a área do ABC . ${\ displaystyle k = {\ frac {2 \ Delta} {ax + by + cz}}}$

Entre coordenadas baricêntricas e trilineares

Um ponto com coordenadas trilineares x  : y  : z tem coordenadas baricêntricas ax  : by  : cz onde a , b , c são os comprimentos laterais do triângulo. Por outro lado, um ponto com baricêntrico α  : β  : γ possui coordenadas trilineares α / a  : β / b  : γ / c .

Entre coordenadas cartesianas e trilineares

Dado um triângulo de referência ABC , expresse a posição do vértice B em termos de um par ordenado de coordenadas cartesianas e represente isso algebricamente como um vetor B , usando o vértice C como origem. Do mesmo modo definir o vector de posição de vértice A como A . Em seguida, qualquer ponto P associada com o triângulo referência ABC pode ser definida em um sistema cartesiano como um vector de P = k ₁ Uma + k ₂ B . Se este ponto P tem coordenadas trilineares x: y: z, então a fórmula de conversão dos coeficientes k ₁ e k ₂ na representação cartesiana para as coordenadas trilineares é, para comprimentos laterais a , b , c vértices opostos A , B , C ,

${\ displaystyle x: y: z = {\ frac {k_ {1}} {a}}: {\ frac {k_ {2}} {b}}: {\ frac {1-k_ {1} -k_ { 2}} {c}},}$

e a fórmula de conversão das coordenadas trilineares para os coeficientes na representação cartesiana é

${\ displaystyle k_ {1} = {\ frac {ax} {ax + by + cz}}, \ quad k_ {2} = {\ frac {by} {ax + by + cz}}.}$

Mais geralmente, se uma origem arbitrária é escolhida onde as coordenadas cartesianas dos vértices são conhecidas e representadas pelos vetores A , B e C e se o ponto P tem coordenadas trilineares x  : y  : z , então as coordenadas cartesianas de P são as média ponderada das coordenadas cartesianas desses vértices usando as coordenadas baricêntricas ax , por e cz como pesos. Portanto, a fórmula de conversão das coordenadas trilineares x, y, z para o vetor de coordenadas cartesianas P do ponto é dada por

${\ displaystyle {\ underline {P}} = {\ frac {ax} {ax + by + cz}} {\ underline {A}} + {\ frac {by} {ax + by + cz}} {\ underline {B}} + {\ frac {cz} {ax + by + cz}} {\ underline {C}},}$

onde estão os comprimentos laterais | C - B | = a , | A - C | = be | B - A | = c .

Veja também

• Teorema do trissetor de Morley # triângulos de Morley , dando exemplos de vários pontos expressos em coordenadas trilineares
• Enredo ternário
• Teorema de viviani

Referências

links externos

• Weisstein, Eric W. "Trilinear Coordinates" . MathWorld .
• Enciclopédia de Centros de Triângulo - ETC por Clark Kimberling; tem coordenadas trilineares (e baricêntricas) para mais de 7000 centros triangulares