Symmedian - Symmedian
Em geometria , symmedians são três linhas geométricas particulares associadas a cada triângulo . Eles são construídos tomando uma mediana do triângulo (uma linha que conecta um vértice com o ponto médio do lado oposto) e refletindo a linha sobre a bissetriz do ângulo correspondente (a linha através do mesmo vértice que divide o ângulo ali pela metade). O ângulo formado pelo simediano e a bissetriz do ângulo tem a mesma medida que o ângulo entre a mediana e a bissetriz do ângulo, mas está do outro lado da bissetriz do ângulo.
Os três simedianos se encontram no centro de um triângulo chamado ponto Lemoine . Ross Honsberger chamou sua existência de "uma das joias da coroa da geometria moderna".
Isogonalidade
Muitas vezes na geometria, se tomarmos três linhas especiais através dos vértices de um triângulo, ou cevians , então suas reflexões sobre as bissetoras dos ângulos correspondentes, chamadas linhas isogonais , também terão propriedades interessantes. Por exemplo, se três cevians de um triângulo se cruzam em um ponto P, então suas linhas isogonais também se cruzam em um ponto, chamado de conjugado isogonal de P.
Os symmedians ilustram esse fato.
- No diagrama, as medianas (em preto) se cruzam no centróide G.
- Como os simedianos (em vermelho) são isogonais às medianas, os simedianos também se cruzam em um único ponto, L.
Este ponto é denominado ponto simmediano do triângulo ou, alternativamente, ponto Lemoine ou ponto Grebe .
As linhas pontilhadas são as bissetoras dos ângulos; os simedianos e as medianas são simétricos em relação às bissetoras dos ângulos (daí o nome "simediano").
Construção do symmedian
Deixe ABC ser um triângulo. Construa um ponto D cruzando as tangentes de B e C com o círculo . Então AD é o simbólico do triângulo ABC.
primeira prova. Deixe a reflexão de AD através do ângulo bissetriz de ∠BAC encontrar BC em M '. Então:
segunda prova. Defina D 'como o conjugado isogonal de D. É fácil ver que a reflexão de CD sobre a bissetriz é a reta que passa por C paralela a AB. O mesmo é verdade para BD e, portanto, ABD'C é um paralelogramo. AD 'é claramente a mediana, porque as diagonais de um paralelogramo se dividem entre si, e AD é seu reflexo sobre a bissetriz.
terceira prova. Seja ω o círculo com centro D passando por B e C, e seja O o Circuncentro de ABC, Digamos que as linhas AB e AC interceptem ω em P e Q, respectivamente. Como ∠ABC = ∠AQP, os triângulos ABC e AQP são semelhantes. Como ∠PBQ = ∠BQC + ∠BAC = 1/2 (∠BDC + ∠BOC) = 90 ◦ , vemos que PQ é um diâmetro de ω e, portanto, passa por D. Seja M o ponto médio de BC. Como D é o ponto médio de QP, a similaridade implica que ∠BAM = ∠QAD, do qual segue o resultado.
quarta prova. Seja S o ponto médio do arco BC. BS = SC, então AS é a bissetriz do ângulo de ∠BAC. Seja M o ponto médio de BC, e segue-se que D é o Inverso de M em relação ao circunferência. A partir disso, sabemos que o circuncírculo é um círculo apolíneo com focos M e D. Então AS é a bissetriz do ângulo ∠DAM, e alcançamos o resultado desejado.
Tetraedro
O conceito de ponto simediano se estende a tetraedros (irregulares). Dado um tetraedro ABCD, dois planos P e Q a AB são conjugados isogonais se formarem ângulos iguais com os planos ABC e ABD. Seja M o ponto médio do CD lateral. O plano que contém o lado AB que é isogonal ao plano ABM é chamado de plano simmediano do tetraedro. Os planos simedianos podem ser mostrados para se cruzarem em um ponto, o ponto simmediano. Este também é o ponto que minimiza a distância ao quadrado das faces do tetraedro.