Ponto Lemoine - Lemoine point
O ponto simediano , ponto Lemoine ou ponto Grebe é a interseção dos três simedianos (medianas refletidas nas bissetoras do ângulo associado) de um triângulo.
Ross Honsberger chamou sua existência de "uma das joias da coroa da geometria moderna".
Na Enciclopédia dos Centros de Triângulo, o ponto simbólico aparece como o sexto ponto, X (6). Encontra-se no disco ortocentroidal aberto puncionado em seu próprio centro, e pode estar em qualquer ponto nele.
O ponto symmedian de um triângulo com comprimentos laterais um , b e c tem homogéneos coordenadas trilineares [ a : b : c ].
Uma maneira algébrica de encontrar o ponto simmediano é expressar o triângulo por três equações lineares em duas incógnitas dadas pelas formas normais de hesse das linhas correspondentes. A solução desse sistema sobredeterminado encontrada pelo método dos mínimos quadrados fornece as coordenadas do ponto. Ele também resolve o problema de otimização para encontrar o ponto com uma soma mínima das distâncias quadradas dos lados.
O ponto Gergonne de um triângulo é o mesmo que o ponto simmediano do triângulo de contato do triângulo .
O ponto simediano de um triângulo ABC pode ser construído da seguinte maneira: deixe as linhas tangentes do circunferência de ABC por B e C se encontrarem em A ', e analogamente definir B' e C '; então A'B'C 'é o triângulo tangencial de ABC, e as retas AA', BB 'e CC' se cruzam no ponto simbólico de ABC. Pode-se mostrar que essas três linhas se encontram em um ponto usando o teorema de Brianchon . A linha AA 'é uma simbólica, como pode ser visto desenhando o círculo com centro A' a B e C.
O matemático francês Émile Lemoine provou a existência do ponto simbólico em 1873, e Ernst Wilhelm Grebe publicou um artigo sobre ele em 1847. Simon Antoine Jean L'Huilier também notou o ponto em 1809.
Para a extensão para um tetraedro irregular, veja symmedian .