Fórmulas de Vincenty - Vincenty's formulae

As fórmulas de Vincenty são dois métodos iterativos relacionados usados ​​em geodésia para calcular a distância entre dois pontos na superfície de um esferóide, desenvolvidos por Thaddeus Vincenty (1975a). Eles são baseados na suposição de que a figura da Terra é um esferóide achatado e, portanto, são mais precisos do que os métodos que assumem uma Terra esférica , como a distância de um grande círculo .

O primeiro método (direto) calcula a localização de um ponto que está a uma determinada distância e azimute (direção) de outro ponto. O segundo método (inverso) calcula a distância geográfica e o azimute entre dois pontos dados. Eles têm sido amplamente usados ​​em geodésia porque têm uma precisão de 0,5 mm (0,020  pol.) No elipsóide terrestre .

Fundo

O objetivo de Vincenty era expressar algoritmos existentes para geodésicas em um elipsóide de uma forma que minimizasse a duração do programa (Vincenty 1975a). Seu relatório não publicado (1975b) menciona o uso de uma calculadora de mesa Wang 720, que tinha apenas alguns kilobytes de memória. Para obter uma boa precisão para linhas longas, a solução usa a solução clássica de Legendre (1806), Bessel (1825) e Helmert (1880) com base na esfera auxiliar. Vincenty confiou na formulação deste método dada por Rainsford, 1955. Legendre mostrou que uma geodésica elipsoidal pode ser mapeada exatamente para um grande círculo na esfera auxiliar mapeando a latitude geográfica para latitude reduzida e definindo o azimute do grande círculo igual àquele do geodésico. A longitude no elipsóide e a distância ao longo do geodésico são então dadas em termos da longitude na esfera e o comprimento do arco ao longo do grande círculo por integrais simples. Bessel e Helmert forneceram séries de convergência rápida para essas integrais, o que permite que a geodésica seja calculada com precisão arbitrária.

Para minimizar o tamanho do programa, Vincenty pegou essas séries, expandiu-as novamente usando o primeiro termo de cada série como o parâmetro pequeno e as truncou para . Isso resultou em expressões compactas para as integrais de longitude e distância. As expressões foram colocadas na forma de Horner (ou aninhada ), pois isso permite que polinômios sejam avaliados usando apenas um único registro temporário. Finalmente, técnicas iterativas simples foram utilizadas para resolver as equações implícitas nos métodos direto e inverso; mesmo que sejam lentos (e no caso do método inverso às vezes não convergem), eles resultam no menor aumento no tamanho do código. ${\ displaystyle O (f ^ {3})}$

Notação

Defina a seguinte notação:

Problema inverso

Dadas as coordenadas dos dois pontos ( Φ ₁ ,  L ₁ ) e ( Φ ₂ ,  L ₂ ), o problema inverso encontra os azimutes α ₁ , α ₂ e a distância elipsoidal s .

Calcular L ₁ , L ₂ e L , e conjunto valor inicial de λ = L . Em seguida, avalie iterativamente as seguintes equações até λ convergir:

${\ displaystyle \ sin \ sigma = {\ sqrt {\ left (\ cos U_ {2} \ sin \ lambda \ right) ^ {2} + \ left (\ cos U_ {1} \ sin U_ {2} - \ sen U_ {1} \ cos U_ {2} \ cos \ lambda \ right) ^ {2}}}}$

${\ displaystyle \ cos \ sigma = \ sin U_ {1} \ sin U_ {2} + \ cos U_ {1} \ cos U_ {2} \ cos \ lambda \,}$

${\ displaystyle \ sigma = \ operatorname {arctan2} \ left (\ sin \ sigma, \ cos \ sigma \ right)}$

${\ displaystyle \ sin \ alpha = {\ frac {\ cos U_ {1} \ cos U_ {2} \ sin \ lambda} {\ sin \ sigma}}}$

${\ displaystyle \ cos \ left (2 \ sigma _ {\ text {m}} \ right) = \ cos \ sigma - {\ frac {2 \ sin U_ {1} \ sin U_ {2}} {\ cos ^ {2} \ alpha}} = \ cos \ sigma - {\ frac {2 \ sin U_ {1} \ sin U_ {2}} {1- \ sin ^ {2} \ alpha}}}$

${\ displaystyle C = {\ frac {f} {16}} \ cos ^ {2} \ alpha \ left [4 + f \ left (4-3 \ cos ^ {2} \ alpha \ right) \ right]}$

${\ displaystyle \ lambda = L + (1-C) f \ sin \ alpha \ left \ {\ sigma + C \ sin \ sigma \ left [\ cos \ left (2 \ sigma _ {\ text {m}} \ right ) + C \ cos \ sigma \ left (-1 + 2 \ cos ^ {2} \ left (2 \ sigma _ {\ text {m}} \ right) \ right) \ right] \ right \}}$

Quando λ convergiu para o grau de precisão desejado ( ^10-12 corresponde a aproximadamente 0,06  mm), avalie o seguinte:

${\ displaystyle {\ begin {alinhado} u ^ {2} & = \ cos ^ {2} \ alpha \ left ({\ frac {a ^ {2} -b ^ {2}} {b ^ {2}} } \ right) \\ A & = 1 + {\ frac {u ^ {2}} {16384}} \ left (4096 + u ^ {2} \ left [-768 + u ^ {2} \ left (320- 175u ^ {2} \ right) \ right] \ right) \\ B & = {\ frac {u ^ {2}} {1024}} \ left (256 + u ^ {2} \ left [-128 + u ^ {2} \ left (74-47u ^ {2} \ right) \ right] \ right) \\\ Delta \ sigma & = B \ sin \ sigma \ left \ {\ cos (2 \ sigma _ {\ text { m}}) + {\ frac {1} {4}} B \ left (\ cos \ sigma \ left [-1 + 2 \ cos ^ {2} \ left (2 \ sigma _ {\ text {m}} \ right) \ right] - {\ frac {B} {6}} \ cos \ left [2 \ sigma _ {\ text {m}} \ right] \ left [-3 + 4 \ sin ^ {2} \ sigma \ direita] \ esquerda [-3 + 4 \ cos ^ {2} \ esquerda (2 \ sigma _ {\ texto {m}} \ direita) \ direita] \ direita) \ direita \} \\ s & = bA ( \ sigma - \ Delta \ sigma) \, \\\ alpha _ {1} & = \ operatorname {arctan2} \ left (\ cos U_ {2} \ sin \ lambda, \ cos U_ {1} \ sin U_ {2 } - \ sin U_ {1} \ cos U_ {2} \ cos \ lambda \ right) \\\ alpha _ {2} & = \ operatorname {arctan2} \ left (\ cos U_ {1} \ sin \ lambda, - \ sin U_ {1} \ cos U_ {2} + \ cos U_ {1} \ sin U_ {2} \ cos \ lambda \ right) \ end {alinhado}}}$

Entre dois pontos quase antípodas, a fórmula iterativa pode falhar em convergir; isso ocorrerá quando a primeira estimativa em λ , calculada pela equação acima, for maior que π em valor absoluto.

Problema direto

Dado um ponto inicial ( Φ ₁ , L ₁ ) e azimute inicial, α ₁ , e uma distância, s , ao longo da geodésica o problema é encontrar o ponto final ( Φ ₂ , L ₂ ) e o azimute, α ₂ .

Comece calculando o seguinte:

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} U_ {1} & = \ arctan \ left [(1-f) \ tan \ phi _ {1} \ right] \\\ sigma _ {1} & = \ operatorname {arctan2 } \ left (\ tan U_ {1}, \ cos \ alpha _ {1} \ right) \\\ sin \ alpha & = \ cos U_ {1} \ sin \ alpha _ {1} \\ u ^ {2 } & = \ cos ^ {2} \ alpha \ left ({\ frac {a ^ {2} -b ^ {2}} {b ^ {2}}} \ right) = \ left (1- \ sin ^ {2} \ alpha \ right) \ left ({\ frac {a ^ {2} -b ^ {2}} {b ^ {2}}} \ right) \\ A & = 1 + {\ frac {u ^ {2}} {16384}} \ left (4096 + u ^ {2} \ left [-768 + u ^ {2} (320-175u ^ {2}) \ right] \ right) \\ B & = {\ frac {u ^ {2}} {1024}} \ left (256 + u ^ {2} \ left [-128 + u ^ {2} \ left (74-47u ^ {2} \ right) \ right] \ direita) \ end {alinhado}}}$

Em seguida, usando um valor inicial , itere as seguintes equações até que não haja mudança significativa em σ : ${\ displaystyle \ sigma = {\ tfrac {s} {bA}}}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} 2 \ sigma _ {\ text {m}} & = 2 \ sigma _ {1} + \ sigma \\\ Delta \ sigma & = B \ sin \ sigma \ left \ {\ cos \ left (2 \ sigma _ {\ text {m}} \ right) + {\ frac {1} {4}} B \ left (\ cos \ sigma \ left [-1 + 2 \ cos ^ {2} \ left (2 \ sigma _ {\ text {m}} \ right) \ right] - {\ frac {B} {6}} \ cos \ left [2 \ sigma _ {\ text {m}} \ right] \ left [-3 + 4 \ sin ^ {2} \ sigma \ right] \ left [-3 + 4 \ cos ^ {2} \ left (2 \ sigma _ {\ text {m}} \ right) \ right) ] \ right) \ right \} \\\ sigma & = {\ frac {s} {bA}} + \ Delta \ sigma \ end {alinhado}}}$

Uma vez que σ é obtido com precisão suficiente, avalie:

${\ displaystyle {\ begin {alinhado} \ phi _ {2} & = \ operatorname {arctan2} \ left (\ sin U_ {1} \ cos \ sigma + \ cos U_ {1} \ sin \ sigma \ cos \ alpha _ {1}, (1-f) {\ sqrt {\ sin ^ {2} \ alpha + \ left (\ sin U_ {1} \ sin \ sigma - \ cos U_ {1} \ cos \ sigma \ cos \ alpha _ {1} \ right) ^ {2}}} \ right) \\\ lambda & = \ operatorname {arctan2} \ left (\ sin \ sigma \ sin \ alpha _ {1}, \ cos U_ {1} \ cos \ sigma - \ sin U_ {1} \ sin \ sigma \ cos \ alpha _ {1} \ right) \\ C & = {\ frac {f} {16}} \ cos ^ {2} \ alpha \ left [4 + f \ left (4-3 \ cos ^ {2} \ alpha \ right) \ right] \\ L & = \ lambda - (1-C) f \ sin \ alpha \ left \ {\ sigma + C \ sin \ sigma \ left (\ cos \ left [2 \ sigma _ {\ text {m}} \ right] + C \ cos \ sigma \ left [-1 + 2 \ cos ^ {2} \ left (2 \ sigma _ {\ text {m}} \ right) \ right] \ right) \ right \} \\ L_ {2} & = L + L_ {1} \\\ alpha _ {2} & = \ operatorname {arctan2} \ left (\ sin \ alpha, - \ sin U_ {1} \ sin \ sigma + \ cos U_ {1} \ cos \ sigma \ cos \ alpha _ {1} \ right) \ end {alinhado}}}$

Se o ponto inicial estiver no pólo Norte ou Sul, a primeira equação é indeterminada. Se o azimute inicial for leste ou oeste, a segunda equação será indeterminada. Se uma função do tipo atan2 de valor duplo for usada, esses valores geralmente serão tratados corretamente.

Modificação de Vincenty

Em sua carta à Survey Review em 1976, Vincenty sugeriu substituir suas expressões de série para A e B por fórmulas mais simples usando o parâmetro de expansão de Helmert k ₁ :

${\ displaystyle A = {\ frac {1 + {\ frac {1} {4}} {k_ {1}} ^ {2}} {1-k_ {1}}}}$

${\ displaystyle B = k_ {1} \ left (1 - {\ frac {3} {8}} {k_ {1}} ^ {2} \ right)}$

Onde

${\ displaystyle k_ {1} = {\ frac {{\ sqrt {1 + u ^ {2}}} - 1} {{\ sqrt {1 + u ^ {2}}} + 1}}}$

Quase pontos antípodas

Como observado acima, a solução iterativa para o problema inverso falha em convergir ou converge lentamente para pontos quase antípodas. Um exemplo de convergência lenta é ( Φ ₁ ,  L ₁ ) = (0 °, 0 °) e ( Φ ₂ ,  L ₂ ) = (0,5 °, 179,5 °) para o elipsóide WGS84. Isso requer cerca de 130 iterações para fornecer um resultado com precisão de 1 mm. Dependendo de como o método inverso é implementado, o algoritmo pode retornar o resultado correto (19936288,579 m), um resultado incorreto ou um indicador de erro. Um exemplo de resultado incorreto é fornecido pelo utilitário online NGS , que retorna uma distância que é cerca de 5 km a mais. Vincenty sugeriu um método para acelerar a convergência em tais casos (Rapp, 1993).

Um exemplo de falha do método inverso para convergir é ( Φ ₁ ,  L ₁ ) = (0 °, 0 °) e ( Φ ₂ ,  L ₂ ) = (0,5 °, 179,7 °) para o elipsóide WGS84. Em um relatório não publicado, Vincenty (1975b) forneceu um esquema iterativo alternativo para lidar com esses casos. Isso converge para o resultado correto 19944127,421 m após cerca de 60 iterações; entretanto, em outros casos, muitos milhares de iterações são necessários.

O método de Newton foi usado para fornecer convergência rápida para todos os pares de pontos de entrada (Karney, 2013).

Veja também

• Distância geográfica
• Distância do grande círculo
• Arco meridiano
• Geodésica em um elipsóide
• Thaddeus Vincenty
• Geodésia

Notas

Referências

links externos

• Calculadoras online da Geoscience Australia :
  • Vincenty Direct (ponto de destino)
  • Vincenty Inverse (distância entre os pontos)
• Calculadoras do US National Geodetic Survey :
  • Utilitários de cálculo executáveis ​​para PC online e para download , incluindo problemas diretos (diretos) e inversos, em duas e três dimensões (acessado em 01-08-2011).
• Calculadoras online com código-fonte JavaScript de Chris Veness (licença Creative Commons Attribution):
  • Vincenty Direct (ponto de destino)
  • Vincenty Inverse (distância entre os pontos)
• GeographicLib fornece um utilitário GeodSolve (com código-fonte licenciado MIT / X11) para resolver problemas geodésicos diretos e inversos. Comparado ao Vincenty, é cerca de 1000 vezes mais preciso (erro = 15 nm) e a solução inversa é completa. Aqui está uma versão online do GeodSolve .
• Implementação completa das fórmulas diretas e inversas da Vincenty com código-fonte, implementação do Excel VBA por Tomasz Jastrzębski