Arco meridiano - Meridian arc

Na geodésia , um arco meridiano é a curva entre dois pontos na superfície da Terra com a mesma longitude . O termo pode se referir a um segmento do meridiano ou ao seu comprimento .

O objetivo de medir os arcos dos meridianos é determinar uma figura da Terra . Uma ou mais medições de arcos meridianos podem ser usadas para inferir a forma do elipsóide de referência que melhor se aproxima do geóide na região das medições. As medições de arcos meridianos em várias latitudes ao longo de muitos meridianos ao redor do mundo podem ser combinadas para aproximar um elipsóide geocêntrico destinado a caber no mundo inteiro.

As primeiras determinações do tamanho de uma Terra esférica exigiam um único arco. Um trabalho de levantamento preciso que começou no século 19 exigiu várias medições de arco na região em que o levantamento deveria ser realizado, levando a uma proliferação de elipsóides de referência em todo o mundo. As últimas determinações usam medições astro-geodésicas e os métodos de geodésia de satélite para determinar elipsóides de referência, especialmente os elipsóides geocêntricos agora usados ​​para sistemas de coordenadas globais como WGS 84 (ver expressões numéricas ).

História de medição

Terra Esférica

Estimativas iniciais do tamanho da Terra são registrados da Grécia no século 4 aC, e de estudiosos no califa 's Casa da Sabedoria no século 9. O primeiro valor realista foi calculado pelo cientista alexandrino Eratóstenes por volta de 240 aC. Ele estimou que o meridiano tem uma extensão de 252.000 estádios , com um erro no valor real entre -2,4% e + 0,8% (assumindo um valor para o estádio entre 155 e 160 metros). Eratóstenes descreveu sua técnica em um livro intitulado Sobre a medida da Terra , que não foi preservado. Um método semelhante foi usado por Posidonius cerca de 150 anos depois, e resultados ligeiramente melhores foram calculados em 827 pelo método de medição do arco , atribuído ao califa Al-Ma'mun .

Terra Elipsoidal

A literatura antiga usa o termo esferóide achatado para descrever uma esfera "comprimida nos pólos". A literatura moderna usa o termo elipsóide de revolução no lugar de esferóide , embora as palavras qualificativas "de revolução" sejam geralmente abandonadas. Um elipsóide que não é um elipsóide de revolução é denominado elipsóide triaxial. Esferóide e elipsóide são usados ​​indistintamente neste artigo, com oblato implícito, se não declarado.

Séculos 17 e 18

Embora se soubesse desde a antiguidade clássica que a Terra era esférica , no século XVII acumulavam-se evidências de que não era uma esfera perfeita. Em 1672, Jean Richer encontrou a primeira evidência de que a gravidade não era constante sobre a Terra (como seria se a Terra fosse uma esfera); ele levou um relógio de pêndulo para Caiena , Guiana Francesa e descobriu que perdeu 2+1 ⁄ 2 minutos por dia em comparação com sua taxa em Paris . Isso indicava que a aceleração da gravidade era menor em Caiena do que em Paris. Os gravímetros pendulares começaram a ser feitos em viagens a partes remotas do mundo e foi lentamente descoberto que a gravidade aumenta suavemente com o aumento da latitude , a aceleração gravitacional sendo cerca de 0,5% maior nos pólos geográficos do que no Equador .

Em 1687, Newton havia publicado no Principia como uma prova de que a Terra era um oblato esferóide de achatamento igual a1/230. Isso foi contestado por alguns, mas não todos, cientistas franceses. Um arco meridiano de Jean Picard foi estendido para um arco mais longo por Giovanni Domenico Cassini e seu filho Jacques Cassini durante o período de 1684-1718. O arco foi medido com pelo menos três determinações de latitude, então eles foram capazes de deduzir curvaturas médias para as metades norte e sul do arco, permitindo uma determinação da forma geral. Os resultados indicaram que a Terra era um esferóide prolato (com um raio equatorial menor que o raio polar). Para resolver o problema, a Academia Francesa de Ciências (1735) propôs expedições ao Peru ( Bouguer , Louis Godin , de La Condamine , Antonio de Ulloa , Jorge Juan ) e à Lapônia ( Maupertuis , Clairaut , Camus , Le Monnier , Abade Outhier, Anders Celsius ). A expedição ao Peru é descrita no artigo da Missão Geodésica Francesa e a da Lapônia no artigo Torne Valley . As medições resultantes nas latitudes equatoriais e polares confirmaram que a Terra foi melhor modelada por um esferóide oblato, apoiando Newton. No entanto, em 1743, o teorema de Clairaut suplantou completamente a abordagem de Newton.

No final do século, Delambre havia medido novamente e estendido o arco francês de Dunquerque ao Mediterrâneo (o arco meridiano de Delambre e Méchain ). Foi dividido em cinco partes por quatro determinações intermediárias de latitude. Combinando as medições com as do arco do Peru, os parâmetros da forma do elipsóide foram determinados e a distância entre o Equador e o pólo ao longo do Meridiano de Paris foi calculada como5 130 762  toises conforme especificado pela barra de toise padrão em Paris. Definindo esta distância exatamente10 000 000  m conduzido para a construção de um novo padrão metros barra quanto0,513 0762  toises.

século 19

No século 19, muitos astrônomos e geodesistas estavam envolvidos em estudos detalhados da curvatura da Terra ao longo de diferentes arcos meridianos. As análises resultaram em muitos modelos de elipsóides, como Plessis 1817, Airy 1830, Bessel 1830 , Everest 1830 e Clarke 1866 . Uma lista abrangente de elipsóides é fornecida em Elipsóide terrestre .

A milha náutica

Historicamente, uma milha náutica foi definida como a duração de um minuto de arco ao longo de um meridiano de uma Terra esférica. Um modelo elipsóide leva a uma variação da milha náutica com a latitude. Isso foi resolvido definindo a milha náutica em exatamente 1.852 metros. No entanto, para todos os fins práticos, as distâncias são medidas a partir da escala de latitude dos gráficos. Como a Royal Yachting Association diz em seu manual para capitães diurnos : "1 (minuto) de Latitude = 1 milha marítima", seguido por "Para fins mais práticos, a distância é medida a partir da escala de latitude, assumindo que um minuto de latitude é igual a um náutico milha".

Cálculo

Em uma esfera, o comprimento do arco meridiano é simplesmente o comprimento do arco circular . Em um elipsóide de revolução, para arcos meridianos curtos, seu comprimento pode ser aproximado usando o raio de curvatura meridional da Terra e a formulação do arco circular. Para arcos mais longos, o comprimento segue da subtração de duas distâncias meridianas , ou seja, a distância do equador a um ponto na latitude φ . Este é um problema importante na teoria das projeções cartográficas, particularmente na projeção transversal de Mercator .

Os principais parâmetros elisoidais são, a , b , f , mas no trabalho teórico é útil definir parâmetros extras, particularmente a excentricidade , e , e o terceiro achatamento n . Apenas dois desses parâmetros são independentes e existem muitas relações entre eles:

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} f & = {\ frac {ab} {a}} \ ,, \ qquad e ^ {2} = f (2-f) \ ,, \ qquad n = {\ frac {ab } {a + b}} = {\ frac {f} {2-f}} \ ,, \\ b & = a (1-f) = a {\ sqrt {1-e ^ {2}}} \, , \ qquad e ^ {2} = {\ frac {4n} {(1 + n) ^ {2}}} \,. \ end {alinhado}}}$

Definição

O raio de curvatura do meridiano pode ser mostrado como igual a:

${\ displaystyle M (\ varphi) = {\ frac {a (1-e ^ {2})} {\ left (1-e ^ {2} \ sin ^ {2} \ varphi \ right) ^ {\ frac {3} {2}}}},}$

O comprimento do arco de um elemento infinitesimal do meridiano é dm = M ( φ ) dφ (com φ em radianos). Portanto, a distância meridiana do equador à latitude φ é

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} m (\ varphi) & = \ int _ {0} ^ {\ varphi} M (\ varphi) \, d \ varphi \\ & = a (1-e ^ {2} ) \ int _ {0} ^ {\ varphi} \ left (1-e ^ {2} \ sin ^ {2} \ varphi \ right) ^ {- {\ frac {3} {2}}} \, d \ varphi \,. \ end {alinhado}}}$

A fórmula da distância é mais simples quando escrita em termos de latitude paramétrica ,

${\ displaystyle m (\ varphi) = b \ int _ {0} ^ {\ beta} {\ sqrt {1 + e '^ {2} \ sin ^ {2} \ beta}} \, d \ beta \, ,}$

onde tan β = (1 - f ) tan φ e e ′ ² =e ²/1 - e ².

Mesmo que a latitude seja normalmente confinada ao intervalo [-π/2,π/2] , todas as fórmulas fornecidas aqui se aplicam à medição da distância ao redor da elipse meridiana completa (incluindo o antimeridiano). Assim, os intervalos de φ , β e a latitude de retificação μ são irrestritos.

Relação com integrais elípticos

A integral acima está relacionada a um caso especial de uma integral elíptica incompleta de terceiro tipo . Na notação do manual do NIST online ( Seção 19.2 (ii) ),

${\ displaystyle m (\ varphi) = a \ left (1-e ^ {2} \ right) \, \ Pi (\ varphi, e ^ {2}, e) \ ,.}$

Também pode ser escrito em termos de integrais elípticas incompletas do segundo tipo (Veja o manual do NIST Seção 19.6 (iv) ),

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} m (\ varphi) & = a \ left (E (\ varphi, e) - {\ frac {e ^ {2} \ sin \ varphi \ cos \ varphi} {\ sqrt { 1-e ^ {2} \ sin ^ {2} \ varphi}}} \ right) \\ & = a \ left (E (\ varphi, e) + {\ frac {d ^ {2}} {d \ varphi ^ {2}}} E (\ varphi, e) \ right) \\ & = bE (\ beta, ie ') \,. \ end {alinhado}}}$

O cálculo (com precisão arbitrária) das integrais elípticas e aproximações também são discutidos no manual do NIST. Essas funções também são implementadas em programas de álgebra de computador, como Mathematica e Maxima.

Expansões de série

A integral acima pode ser expressa como uma série truncada infinita expandindo o integrando em uma série de Taylor, realizando as integrais resultantes termo por termo e expressando o resultado como uma série trigonométrica. Em 1755, Euler derivou uma expansão no quadrado da terceira excentricidade .

Expansões na excentricidade ( e )

Delambre em 1799 derivou uma expansão amplamente usada em e ² ,

${\ displaystyle m (\ varphi) = {\ frac {b ^ {2}} {a}} \ left (D_ {0} \ varphi + D_ {2} \ sin 2 \ varphi + D_ {4} \ sin 4 \ varphi + D_ {6} \ sin 6 \ varphi + D_ {8} \ sin 8 \ varphi + \ cdots \ right) \ ,,}$

Onde

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} D_ {0} & = 1 + {\ tfrac {3} {4}} e ^ {2} + {\ tfrac {45} {64}} e ^ {4} + { \ tfrac {175} {256}} e ^ {6} + {\ tfrac {11025} {16384}} e ^ {8} + \ cdots, \\ D_ {2} & = - {\ tfrac {3} { 8}} e ^ {2} - {\ tfrac {15} {32}} e ^ {4} - {\ tfrac {525} {1024}} e ^ {6} - {\ tfrac {2205} {4096} } e ^ {8} - \ cdots, \\ D_ {4} & = {\ tfrac {15} {256}} e ^ {4} + {\ tfrac {105} {1024}} e ^ {6} + {\ tfrac {2205} {16384}} e ^ {8} + \ cdots, \\ D_ {6} & = - {\ tfrac {35} {3072}} e ^ {6} - {\ tfrac {105} {4096}} e ^ {8} - \ cdots, \\ D_ {8} & = {\ tfrac {315} {131072}} e ^ {8} + \ cdots. \ End {alinhados}}}$

Rapp fornece uma derivação detalhada desse resultado.

Expansões no terceiro nivelamento ( n )

Séries com convergência consideravelmente mais rápida podem ser obtidas expandindo em termos do terceiro nivelamento n em vez da excentricidade. Eles são relacionados por

${\ displaystyle e ^ {2} = {\ frac {4n} {(1 + n) ^ {2}}} \,}$

Em 1837, Bessel obteve uma dessas séries, que foi colocada em uma forma mais simples por Helmert ,

${\ displaystyle m (\ varphi) = {\ frac {a + b} {2}} \ left (H_ {0} \ varphi + H_ {2} \ sin 2 \ varphi + H_ {4} \ sin 4 \ varphi + H_ {6} \ sin 6 \ varphi + H_ {8} \ sin 8 \ varphi + \ cdots \ right) \ ,,}$

com

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} H_ {0} & = 1 + {\ tfrac {1} {4}} n ^ {2} + {\ tfrac {1} {64}} n ^ {4} + \ cdots, \\ H_ {2} & = - {\ tfrac {3} {2}} n + {\ tfrac {3} {16}} n ^ {3} + \ cdots, & H_ {6} & = - {\ tfrac {35} {48}} n ^ {3} + \ cdots, \\ H_ {4} & = {\ tfrac {15} {16}} n ^ {2} - {\ tfrac {15} {64} } n ^ {4} - \ cdots, \ qquad & H_ {8} & = {\ tfrac {315} {512}} n ^ {4} - \ cdots. \ end {alinhados}}}$

Uma vez que n muda de sinal, quando um e b são trocadas entre si, e porque o factor inicial1/2( a + b ) é constante neste intercâmbio, metade dos termos nas expansões de H _{2 k} desaparece.

A série pode ser expressa com a ou b como o fator inicial escrevendo, por exemplo,

${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} (a + b) = {\ frac {a} {1 + n}} = a (1-n + n ^ {2} -n ^ {3} + n ^ {4} - \ cdots) \ ,,}$

e expandindo o resultado como uma série em n . Embora resulte em séries de convergência mais lenta, tais séries são utilizadas na especificação da projeção transversal de Mercator da National Geospatial Intelligence Agency e do Ordnance Survey of Great Britain .

Série em termos de latitude paramétrica

Em 1825, Bessel derivou uma expansão da distância meridiana em termos da latitude paramétrica β em conexão com seu trabalho em geodésica ,

${\ displaystyle m (\ varphi) = {\ frac {a + b} {2}} \ left (B_ {0} \ beta + B_ {2} \ sin 2 \ beta + B_ {4} \ sin 4 \ beta + B_ {6} \ sin 6 \ beta + B_ {8} \ sin 8 \ beta + \ cdots \ right) \ ,,}$

com

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} B_ {0} & = 1 + {\ tfrac {1} {4}} n ^ {2} + {\ tfrac {1} {64}} n ^ {4} + \ cdots = H_ {0} \ ,, \\ B_ {2} & = - {\ tfrac {1} {2}} n + {\ tfrac {1} {16}} n ^ {3} + \ cdots, & B_ { 6} & = - {\ tfrac {1} {48}} n ^ {3} + \ cdots, \\ B_ {4} & = - {\ tfrac {1} {16}} n ^ {2} + { \ tfrac {1} {64}} n ^ {4} + \ cdots, \ qquad & B_ {8} & = - {\ tfrac {5} {512}} n ^ {4} + \ cdots. \ end {alinhados }}}$

Como esta série fornece uma expansão para a integral elíptica do segundo tipo, ela pode ser usada para escrever o comprimento do arco em termos de latitude geográfica como

${\ displaystyle m (\ varphi) = {\ frac {a + b} {2}} \ left (B_ {0} \ varphi -B_ {2} \ sin 2 \ varphi + B_ {4} \ sin 4 \ varphi -B_ {6} \ sin 6 \ varphi + B_ {8} \ sin 8 \ varphi - \ cdots - {\ frac {2n \ sin 2 \ varphi} {\ sqrt {1 + 2n \ cos 2 \ varphi + n ^ {2}}}} \ right) \ ,.}$

Série generalizada

A série acima, até a oitava ordem em excentricidade ou quarta ordem em terceiro achatamento, fornece precisão milimétrica. Com a ajuda de sistemas de álgebra simbólica, eles podem ser facilmente estendidos para a sexta ordem no terceiro achatamento, que fornece precisão de precisão dupla total para aplicações terrestres.

Delambre e Bessel escreveram suas séries de uma forma que permite que sejam generalizadas para uma ordem arbitrária. Os coeficientes na série de Bessel podem ser expressos de maneira particularmente simples

${\ displaystyle B_ {2k} = {\ begin {cases} c_ {0} \ ,, & {\ text {if}} k = 0 \ ,, \\ [5px] {\ dfrac {c_ {k}} { k}} \ ,, & {\ text {if}} k> 0 \ ,, \ end {casos}}}$

Onde

${\ displaystyle c_ {k} = \ sum _ {j = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(2j-3) !! \, (2j + 2k-3) !!} {(2j) !! \, (2j + 2k) !!}} n ^ {k + 2j}}$

e k !! é o fatorial duplo , estendido para valores negativos via relação de recursão: (−1) !! = 1 e (−3) !! = -1 .

Os coeficientes na série de Helmert podem ser expressos de forma semelhante geralmente por

${\ displaystyle H_ {2k} = (- 1) ^ {k} (1-2k) (1 + 2k) B_ {2k} \,}$

Este resultado foi conjeturado por Helmert e comprovado por Kawase.

O fator (1 - 2 k ) (1 + 2 k ) resulta em uma convergência mais pobre da série em termos de φ em comparação com a de β .

Expressões numéricas

A série trigonométrica fornecida acima pode ser avaliada convenientemente usando o somatório de Clenshaw . Este método evita o cálculo da maioria das funções trigonométricas e permite que as séries sejam somadas de forma rápida e precisa. A técnica também pode ser usada para avaliar a diferença m ( φ ₁ ) - m ( φ ₂ ) enquanto mantém uma alta precisão relativa.

Substituir os valores do semieixo maior e excentricidade do elipsóide WGS84 dá

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} m (\ varphi) & = \ left (111 \, 132.952 \, 55 \, \ varphi ^ {(\ circ)} - 16 \, 038.509 \, \ sin 2 \ varphi + 16,833 \, \ sin 4 \ varphi -0,022 \, \ sin 6 \ varphi +0,000 \, 03 \, \ sin 8 \ varphi \ right) {\ mbox {metros}} \\ & = \ left (111 \, 132,952 \, 55 \, \ beta ^ {(\ circ)} - 5 \, 346,170 \, \ sin 2 \ beta -1,122 \, \ sin 4 \ beta -0,001 \, \ sin 6 \ beta -0,5 \ vezes 10 ^ {-6} \, \ sin 8 \ beta \ right) {\ mbox {metros,}} \ end {alinhado}}}$

onde φ ⁽ ° ⁾ =φ/1 °é φ expresso em graus (e da mesma forma para β ⁽ ° ⁾ ).

No elipsóide, a distância exata entre os paralelos em φ ₁ e φ ₂ é m ( φ ₁ ) - m ( φ ₂ ) . Para WGS84, uma expressão aproximada para a distância Δ m entre os dois paralelos a ± 0,5 ° do círculo na latitude φ é dada por

${\ displaystyle \ Delta m = (111 \, 133-560 \ cos 2 \ varphi) {\ mbox {metros.}}}$

Quarto meridiano

A distância do equador ao pólo, o quarto de meridiano (análogo ao quarto de círculo ), também conhecido como quadrante terrestre , é

${\ displaystyle m _ {\ mathrm {p}} = m \ left ({\ frac {\ pi} {2}} \ right) \ ,.}$

Fazia parte da definição histórica do metro e da milha náutica .

O quarto de meridiano pode ser expresso em termos da integral elíptica completa de segundo tipo ,

${\ displaystyle m _ {\ mathrm {p}} = aE (e) = bE (ie ').}$

onde estão a primeira e a segunda excentricidades . ${\ displaystyle e, e '}$

O quarto meridiano também é dado pela seguinte série generalizada:

${\ displaystyle m _ {\ mathrm {p}} = {\ frac {\ pi (a + b)} {4}} c_ {0} = {\ frac {\ pi (a + b)} {4}} \ soma _ {j = 0} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {(2j-3) !!} {(2j) !!}} \ right) ^ {2} n ^ {2j} \ ,, }$

(Para a fórmula de c ₀ , consulte a seção #Séries generalizadas acima.) Esse resultado foi obtido pela primeira vez por Ivory.

A expressão numérica para o quarto de meridiano no elipsóide WGS84 é

${\ displaystyle m _ {\ mathrm {p}} = 10 \, 001 \, 965,729 {\ mbox {m.}}}$

A circunferência da Terra polar é simplesmente quatro vezes um quarto do meridiano:

${\ displaystyle C_ {p} = 4m_ {p}}$

O perímetro de uma elipse meridiana também pode ser reescrito na forma de um perímetro de círculo retificador, C _p = 2π M _r . Portanto, o raio retificador da Terra é:

${\ displaystyle M_ {r} = 0,5 (a + b) / c_ {0}}$

Pode ser avaliado como 6 367 449 0,146 m .

O problema do meridiano inverso para o elipsóide

Em alguns problemas, precisamos ser capazes de resolver o problema inverso: dado m , determine φ . Isso pode ser resolvido pelo método de Newton , iterando

${\ displaystyle \ varphi _ {i + 1} = \ varphi _ {i} - {\ frac {m (\ varphi _ {i}) - m} {M (\ varphi _ {i})}} \ ,, }$

até a convergência. Uma estimativa inicial adequada é dada por φ ₀ = μ onde

${\ displaystyle \ mu = {\ frac {\ pi} {2}} {\ frac {m} {m _ {\ mathrm {p}}}}}$

é a latitude retificadora . Observe que não há necessidade de diferenciar a série para m ( φ ) , uma vez que a fórmula para o raio de curvatura do meridiano M ( φ ) pode ser usada em seu lugar.

Alternativamente, a série de Helmert para a distância do meridiano pode ser revertida para dar

${\ displaystyle \ varphi = \ mu + H '_ {2} \ sin 2 \ mu + H' _ {4} \ sin 4 \ mu + H '_ {6} \ sin 6 \ mu + H' _ {8 } \ sin 8 \ mu + \ cdots}$

Onde

${\ displaystyle {\ begin {align} H '_ {2} & = {\ tfrac {3} {2}} n - {\ tfrac {27} {32}} n ^ {3} + \ cdots, & H' _ {6} & = {\ tfrac {151} {96}} n ^ {3} + \ cdots, \\ H '_ {4} & = {\ tfrac {21} {16}} n ^ {2} - {\ tfrac {55} {32}} n ^ {4} + \ cdots, \ qquad & H '_ {8} & = {\ tfrac {1097} {512}} n ^ {4} + \ cdots. \ fim {alinhado}}}$

Da mesma forma, a série de Bessel para m em termos de β pode ser revertida para dar

${\ displaystyle \ beta = \ mu + B '_ {2} \ sin 2 \ mu + B' _ {4} \ sin 4 \ mu + B '_ {6} \ sin 6 \ mu + B' _ {8 } \ sin 8 \ mu + \ cdots,}$

Onde

${\ displaystyle {\ begin {align} B '_ {2} & = {\ tfrac {1} {2}} n - {\ tfrac {9} {32}} n ^ {3} + \ cdots, & B' _ {6} & = {\ tfrac {29} {96}} n ^ {3} - \ cdots, \\ B '_ {4} & = {\ tfrac {5} {16}} n ^ {2} - {\ tfrac {37} {96}} n ^ {4} + \ cdots, \ qquad & B '_ {8} & = {\ tfrac {539} {1536}} n ^ {4} - \ cdots. \ fim {alinhado}}}$

Legendre mostrou que a distância ao longo de uma geodésica em um esferóide é igual à distância ao longo do perímetro de uma elipse. Por esta razão, a expressão para m em termos de β e seu inverso dada acima desempenham um papel fundamental na solução do problema geodésico com m substituído por s , a distância ao longo da geodésica, e β substituído por σ , o comprimento do arco em a esfera auxiliar. As séries de requisitos estendidas até a sexta ordem são fornecidas por Karney, Eqs. (17) e (21), com ε desempenhando o papel de n e τ desempenhando o papel de μ .

Veja também

Referências

links externos

• Cálculo online de arcos meridianos em diferentes elipsóides de referência geodésica