Projeção transversal de Mercator - Transverse Mercator projection

Uma projeção transversal de Mercator

A projeção do mapa transversal de Mercator é uma adaptação da projeção de Mercator padrão . A versão transversal é amplamente utilizada em sistemas de mapeamento nacionais e internacionais em todo o mundo, incluindo o Universal Transverse Mercator . Quando emparelhado com um datum geodésico adequado , o Mercator transversal oferece alta precisão em zonas com menos de alguns graus na extensão leste-oeste.

Aspectos padrão e transversais

Comparação das formas tangente e secante das projeções de Mercator normal, oblíqua e transversal com paralelos padrão em vermelho

A projeção transversal de Mercator é o aspecto transversal da projeção de Mercator padrão (ou Normal ). Eles compartilham a mesma construção matemática subjacente e, consequentemente, o Mercator transversal herda muitos traços do Mercator normal:

  • Ambas as projeções são cilíndricas : para o Mercator normal, o eixo do cilindro coincide com o eixo polar e a linha de tangência com o equador. Para o Mercator transversal, o eixo do cilindro encontra-se no plano equatorial e a linha de tangência é qualquer meridiano escolhido, assim designado meridiano central .
  • Ambas as projeções podem ser modificadas para formas secantes, o que significa que a escala foi reduzida para que o cilindro corte o globo do modelo.
  • Ambos existem nas versões esférica e elipsoidal .
  • Ambas as projeções são conformes , de modo que a escala de pontos é independente da direção e as formas locais são bem preservadas;
  • Ambas as projeções têm escala constante na linha de tangência (o equador para o Mercator normal e o meridiano central para o transversal).

Uma vez que o meridiano central do Mercator transversal pode ser escolhido à vontade, ele pode ser usado para construir mapas altamente precisos (de largura estreita) em qualquer lugar do globo. A forma secante elipsoidal do Mercator transversal é a mais amplamente aplicada de todas as projeções para mapas precisos em grande escala.

Mercator transversal esférico

Na construção de um mapa em qualquer projeção, uma esfera é normalmente escolhida para modelar a Terra quando a extensão da região mapeada excede algumas centenas de quilômetros de comprimento em ambas as dimensões. Para mapas de regiões menores, um modelo elipsoidal deve ser escolhido se maior precisão for necessária; veja a próxima seção. A forma esférica da projeção transversal de Mercator foi uma das sete novas projeções apresentadas, em 1772, por Johann Heinrich Lambert . (O texto também está disponível em uma tradução moderna para o inglês.) Lambert não citou suas projeções; o nome transversal Mercator data da segunda metade do século XIX. As propriedades principais da projeção transversal são aqui apresentadas em comparação com as propriedades da projeção normal.

Projeções esféricas normais e transversais

Mercator normal Mercator transversal
Mercator normal esférico (equatorial) (truncado em y  = ± π, correspondendo a aproximadamente 85 graus).
Mercator transversal esférico (truncado em x  = ± π em unidades do raio da Terra).
O meridiano central se projeta para a linha reta x  = 0. Outros meridianos se projetam para linhas retas com x  constante. O meridiano central se projeta para a linha reta x  = 0. Meridianos 90 graus leste e oeste do meridiano central se projeta para linhas de y constante  através dos pólos projetados. Todos os outros meridianos se projetam em curvas complicadas.
O equador se projeta para a linha reta y  = 0 e os círculos paralelos se projetam para linhas retas de y constante  . O equador se projeta para a linha reta y  = 0, mas todos os outros paralelos são curvas fechadas complicadas.
Meridianos e paralelos projetados se cruzam em ângulos retos. Meridianos e paralelos projetados se cruzam em ângulos retos.
A projeção é ilimitada na direção y . Os pólos estão no infinito. A projeção é ilimitada na direção x . Os pontos no equador a noventa graus do meridiano central são projetados ao infinito.
A projeção é conforme. As formas dos pequenos elementos estão bem preservadas. A projeção é conforme. As formas dos pequenos elementos estão bem preservadas.
A distorção aumenta com  y . A projeção não é adequada para mapas mundiais. A distorção é pequena perto do equador e a projeção (particularmente em sua forma elipsoidal) é adequada para o mapeamento preciso das regiões equatoriais. A distorção aumenta com  x . A projeção não é adequada para mapas mundiais. A distorção é pequena perto do meridiano central e a projeção (particularmente em sua forma elipsoidal) é adequada para o mapeamento preciso de regiões estreitas.
A Groenlândia é quase tão grande quanto a África; a área real é cerca de um décimo quarto da da África. A Groenlândia e a África estão próximas do meridiano central; suas formas são boas e a proporção das áreas é uma boa aproximação dos valores reais.
O fator de escala de pontos é independente da direção. É uma função de  y na projeção. (Na esfera, depende apenas da latitude.) A escala é verdadeira no equador. O fator de escala de pontos é independente da direção. É uma função de x na projeção. (Na esfera, depende tanto da latitude quanto da longitude.) A escala é verdadeira no meridiano central.
A projeção é razoavelmente precisa perto do equador. A escala a uma distância angular de 5 ° (em latitude) do equador é menos de 0,4% maior do que a escala no equador e é cerca de 1,54% maior a uma distância angular de 10 °. A projeção é razoavelmente precisa perto do meridiano central. A escala a uma distância angular de 5 ° (em longitude) do meridiano central é menos de 0,4% maior do que a escala no meridiano central e é cerca de 1,54% a uma distância angular de 10 °.
Na versão secante, a escala é reduzida no equador e é verdadeira em duas linhas paralelas ao equador projetado (e correspondendo a dois círculos paralelos na esfera). Na versão secante, a escala é reduzida no meridiano central e é verdadeira em duas linhas paralelas ao meridiano central projetado. (As duas linhas não são meridianos.)
A convergência (o ângulo entre os meridianos projetados e as linhas de grade com constante x ) é igual a zero. A grade norte e o norte verdadeiro coincidem. A convergência é zero no equador e diferente de zero em todos os outros lugares. Aumenta à medida que os pólos se aproximam. A grade norte e o norte verdadeiro não coincidem.
As linhas de Rhumb (de azimute constante na esfera) projetam-se em linhas retas.

Mercator transversal elipsoidal

A forma elipsoidal da projeção transversal de Mercator foi desenvolvida por Carl Friedrich Gauss em 1825 e posteriormente analisada por Johann Heinrich Louis Krüger em 1912.

A projeção é conhecida por vários nomes: Mercator transversal (elipsoidal) nos Estados Unidos; Gauss conformal ou Gauss – Krüger na Europa; ou Gauss-Krüger transversal Mercator mais geralmente. Além de apenas um sinônimo para a projeção do mapa transversal elipsoidal de Mercator, o termo Gauss-Krüger pode ser usado de outras maneiras ligeiramente diferentes:

  • Às vezes, o termo é usado para um método computacional específico para Mercator transversal: isto é, como converter entre latitude / longitude e coordenadas projetadas. Não existe uma fórmula fechada simples para fazer isso quando a Terra é modelada como um elipsóide. Mas o método de Gauss-Krüger dá os mesmos resultados que outros métodos, pelo menos se você estiver suficientemente perto do meridiano central: menos de 100 graus de longitude, digamos. Mais adiante, alguns métodos tornam-se imprecisos.
  • O termo também é usado para um determinado conjunto de projeções transversais de Mercator usadas em zonas estreitas na Europa e América do Sul, pelo menos na Alemanha, Turquia, Áustria, Eslovênia, Croácia, Bósnia-Herzegovina, Sérvia, Montenegro, Macedônia do Norte, Finlândia e Argentina . Este sistema Gauss-Krüger é semelhante ao sistema transversal universal de Mercator , mas os meridianos centrais das zonas Gauss-Krüger estão separados por apenas 3 °, em oposição a 6 ° no UTM.

A projeção é conforme com uma escala constante no meridiano central. (Existem outras generalizações conformes do Mercator transversal da esfera para o elipsóide, mas apenas Gauss-Krüger tem uma escala constante no meridiano central.) Ao longo do século XX, o Mercator transversal de Gauss-Krüger foi adotado, de uma forma ou de outra, por muitas nações (e organismos internacionais); além disso, fornece a base para a série de projeções Universal Transverse Mercator . A projeção de Gauss-Krüger é agora a projeção mais amplamente usada no mapeamento preciso em grande escala.

A projeção, desenvolvida por Gauss e Krüger, foi expressa em termos de séries de potências de baixa ordem que se presumia divergir na direção leste-oeste, exatamente como na versão esférica. Isso foi provado ser falso pelo cartógrafo britânico EH Thompson, cuja versão exata (forma fechada) não publicada da projeção, relatada por LP Lee em 1976, mostrou que a projeção elipsoidal é finita (abaixo). Esta é a diferença mais marcante entre as versões esférica e elipsoidal da projeção transversal de Mercator: Gauss-Krüger dá uma projeção razoável de todo o elipsóide ao plano, embora sua principal aplicação seja o mapeamento preciso em grande escala "próximo" do centro meridiano.

Mercator transversal elipsoidal: uma projeção finita.

Recursos

  • Perto do meridiano central (Greenwich no exemplo acima), a projeção tem baixa distorção e as formas da África, Europa Ocidental, Ilhas Britânicas, Groenlândia e Antártica se comparam favoravelmente com um globo.
  • As regiões centrais das projeções transversais na esfera e elipsóide são indistinguíveis nas projeções em pequena escala mostradas aqui.
  • Os meridianos a 90 ° leste e oeste do meridiano central escolhido projetam-se em linhas horizontais através dos pólos. O hemisfério mais distante é projetado acima do pólo norte e abaixo do pólo sul.
  • O equador corta a África ao meio, cruza a América do Sul e continua até o limite externo completo da projeção; as bordas superior e inferior e as bordas direita e esquerda devem ser identificadas (ou seja, representam as mesmas linhas no globo). (A Indonésia é dividida ao meio.)
  • A distorção aumenta em direção aos limites direito e esquerdo da projeção, mas não aumenta para o infinito. Observe as Ilhas Galápagos, onde o meridiano de 90 ° oeste encontra o equador na parte inferior esquerda.
  • O mapa é conforme. As linhas que se cruzam em qualquer ângulo especificado no elipsóide se projetam em linhas que se cruzam no mesmo ângulo na projeção. Em particular, paralelos e meridianos se cruzam em 90 °.
  • O fator de escala de pontos é independente da direção em qualquer ponto, de modo que a forma de uma pequena região é razoavelmente bem preservada. A condição necessária é que a magnitude do fator de escala não varie muito na região em questão. Observe que, embora a América do Sul esteja muito distorcida, a ilha de Ceilão é pequena o suficiente para ter uma forma razoável, embora esteja longe do meridiano central.
  • A escolha do meridiano central afeta muito a aparência da projeção. Se 90 ° W for escolhido, todas as Américas são razoáveis. Se 145 ° E for escolhido, o Extremo Oriente é bom e a Austrália será orientada com o norte para cima.

Na maioria das aplicações, o sistema de coordenadas de Gauss-Krüger é aplicado a uma faixa estreita perto dos meridianos centrais, onde as diferenças entre as versões esférica e elipsoidal são pequenas, mas ainda assim importantes no mapeamento preciso. Série directos para escala, a convergência e a distorção são funções da excentricidade e ambos latitude e longitude no elipsóide: série inversa são funções de excentricidade e ambos x e y na projecção. Na versão secante, as linhas de escala verdadeira na projeção não são mais paralelas ao meridiano central; eles se curvam ligeiramente. O ângulo de convergência entre os meridianos projetados e as linhas de grade da constante x não é mais zero (exceto no equador), de modo que uma direção da grade deve ser corrigida para obter um azimute do norte verdadeiro. A diferença é pequena, mas não desprezível, especialmente em altas latitudes.

Implementações da projeção Gauss-Krüger

Em seu artigo de 1912, Krüger apresentou duas soluções distintas, distinguidas aqui pelo parâmetro de expansão:

  • Krüger- n (n 5 a 8): Fórmulas para a projecção directa, dando as coordenadas x e y , são quarta ordem expansões em termos do terceiro achatamento, n (o rácio da diferença e soma dos eixos maior e menor de elipsóide). Os coeficientes são expressos em termos de latitude ( φ ), longitude ( λ ), eixo maior ( a ) e excentricidade ( e ). As fórmulas inversas para φ e λ também são expansões de quarta ordem em n, mas com coeficientes expressos em termos de x , y , a e e .
  • Krüger- λ (pontos 13 e 14): Fórmulas dando as coordenadas de projecção x e y são expansões (de ordens de 5 e 4, respectivamente) em termos de longitude a λ , expressa em radianos: os coeficientes são expressos em termos de φ , um e e . A projeção inversa para φ e λ são expansões de sexta ordem em termos da razão x/uma, com coeficientes expressos em termos de y , a e e . (Consulte Transverse Mercator: série Redfearn .)

As séries Krüger– λ foram as primeiras a serem implementadas, possivelmente porque eram muito mais fáceis de avaliar nas calculadoras manuais de meados do século XX.

  • Lee – Redfearn – OSGB : Em 1945, LP Lee confirmou as expansões λ de Krüger e propôs sua adoção pelo OSGB, mas Redfearn (1948) apontou que eles não eram precisos devido (a) às latitudes relativamente altas da Grã-Bretanha e ( b) a grande largura da área mapeada, acima de 10 graus de longitude. Redfearn estendeu a série para a oitava ordem e examinou quais termos eram necessários para obter uma precisão de 1 mm (medição do solo). A série Redfearn ainda é a base das projeções de mapas OSGB.
  • Thomas – UTM : As expansões λ de Krüger também foram confirmadas por Paul Thomas em 1952: elas estão prontamente disponíveis em Snyder. Suas fórmulas de projeção, completamente equivalentes às apresentadas pela Redfearn, foram adotadas pela Agência de Mapeamento de Defesa dos Estados Unidos como base para o UTM . Eles também são incorporados ao conversor de coordenadas Geotrans disponibilizado pela United States National Geospatial-Intelligence Agency [3] .
  • Outros países : A série Redfearn é a base para o mapeamento geodésico em muitos países: Austrália, Alemanha, Canadá, África do Sul, para citar apenas alguns. (Uma lista é fornecida no Apêndice A.1 de Stuifbergen 2009.)
  • Muitas variantes da série Redfearn foram propostas, mas apenas aquelas adotadas pelas agências cartográficas nacionais são importantes. Para obter um exemplo de modificações que não têm este status, consulte Transverse Mercator: série Bowring ). Todas essas modificações foram eclipsadas pelo poder dos computadores modernos e pelo desenvolvimento da série n de alta ordem descrita abaixo. A série Redfearn precisa, embora de baixa ordem, não pode ser desconsiderada, pois ainda está consagrada nas definições quase legais de OSGB e UTM, etc.

A série Krüger– n foi implementada (para a quarta ordem em n ) pelas seguintes nações.

  • França
  • Finlândia
  • Suécia
  • Japão

Versões de ordem superior da série Krüger– n foram implementadas na sétima ordem pelo Ensager e Poder e na décima ordem pela Kawase. Além de uma expansão em série para a transformação entre latitude e latitude conforme, Karney implementou a série até a trigésima ordem.

Gauss – Krüger exato e precisão da série truncada

Uma solução exata de EH Thompson é descrita por LP Lee. É construído em termos de funções elípticas (definidas nos capítulos 19 e 22 do manual do NIST) que podem ser calculadas com precisão arbitrária usando sistemas de computação algébrica como o Maxima. Tal implementação da solução exata é descrita por Karney (2011).

A solução exata é uma ferramenta valiosa para avaliar a precisão das séries n e λ truncadas . Por exemplo, a série Krüger– n original de 1912 compara-se muito favoravelmente com os valores exatos: eles diferem em menos de 0,31 μm em 1000 km do meridiano central e em menos de 1 mm em 6000 km. Por outro lado, a diferença da série Redfearn usada pela Geotrans e a solução exata é inferior a 1 mm para uma diferença de longitude de 3 graus, correspondendo a uma distância de 334 km do meridiano central no equador, mas apenas 35 km no limite norte de uma zona UTM. Portanto, a série Krüger– n é muito melhor do que a série Redfearn λ.

A série Redfearn fica muito pior à medida que a zona se alarga. Karney discute a Groenlândia como um exemplo instrutivo. A longa e fina massa de terra está centrada em 42W e, em seu ponto mais largo, não está a mais de 750 km desse meridiano, enquanto a longitude atinge quase 50 graus. Krüger– n tem uma precisão de 1 mm, mas a versão Redfearn da série Krüger– λ tem um erro máximo de 1 quilômetro.

A própria série de 8ª ordem (em n ) de Karney tem precisão de 5 nm dentro de 3.900 km do meridiano central.

Fórmulas para o esférico transverso de Mercator

Mercator normal esférico revisitado

O aspecto normal de uma projeção cilíndrica tangente da esfera

As projeções cilíndricas normais são descritas em relação a um cilindro tangencial no equador com eixo ao longo do eixo polar da esfera. As projecções cilíndricas são construídas de modo que todos os pontos de um meridiano são projectadas para pontos com x  =  e y uma função prescrita de φ . Para uma projeção tangente de Mercator Normal, as fórmulas (únicas) que garantem a conformidade são:

A conformidade implica que a escala de pontos , k , é independente da direção: é uma função apenas da latitude:

Para a versão secante da projeção, há um fator de k 0 no lado direito de todas essas equações: isso garante que a escala seja igual a k 0 no equador.

Gratículas normais e transversais

Gratículas transversais de mercator

A figura à esquerda mostra como um cilindro transversal está relacionado à gratícula convencional na esfera. É tangencial a algum meridiano escolhido arbitrariamente e seu eixo é perpendicular ao da esfera. O X - e Y -axes definido na figura estão relacionados com o equador e meridiano central exactamente como o são para a projecção normal. Na figura à direita, uma gratícula girada está relacionada ao cilindro transversal da mesma forma que o cilindro normal está relacionado à gratícula padrão. O 'equador', 'pólos' (E e W) e 'meridianos' da gratícula girada são identificados com o meridiano central escolhido, pontos no equador 90 graus a leste e oeste do meridiano central e grandes círculos através desses pontos.

Geometria transversal de mercator

A posição de um ponto arbitrário ( φ , λ ) na gratícula padrão também pode ser identificada em termos de ângulos na gratícula girada: φ ′ (ângulo M′CP) é uma latitude efetiva e - λ ′ (ângulo M′CO) torna-se uma longitude efetiva. (O sinal menos é necessário para que ( φ ′ , λ ′ ) estejam relacionados à gratícula girada da mesma forma que ( φ , λ ) estão relacionados à gratícula padrão). Os eixos cartesianos ( x ′ , y ′ ) estão relacionados à gratícula girada da mesma forma que os eixos ( x , y ) estão relacionados à gratícula padrão.

A projeção tangente transversal de Mercator define as coordenadas ( x ′ , y ′ ) em termos de - λ ′ e φ ′ pelas fórmulas de transformação da projeção tangente de Mercator Normal:

Essa transformação projeta o meridiano central em uma linha reta de comprimento finito e, ao mesmo tempo, projeta os grandes círculos através de E e W (que incluem o equador) em infinitas retas perpendiculares ao meridiano central. Os verdadeiros paralelos e meridianos (exceto o equador e o meridiano central) não têm relação simples com a gratícula girada e se projetam para curvas complicadas.

A relação entre as gratículas

Os ângulos das duas gratículas são relacionados usando trigonometria esférica no triângulo esférico NM′P definido pelo meridiano verdadeiro através da origem, OM′N, o meridiano verdadeiro através de um ponto arbitrário, MPN, e o grande círculo WM′PE. Os resultados são:

Fórmulas de transformação direta

As fórmulas diretas que fornecem as coordenadas cartesianas ( x , y ) seguem imediatamente as anteriores. Definindo x  =  y ′ e y  = - x ′ (e fatores de restauração de k 0 para acomodar versões secantes)

As expressões acima são fornecidas em Lambert e também (sem derivações) em Snyder, Maling e Osborne (com todos os detalhes).

Fórmulas de transformação inversa

Inverter as equações acima dá

Escala de pontos

Em termos de coordenadas em relação à gratícula girada, o fator de escala de pontos é dado por k  = sec  φ ′ : isso pode ser expresso em termos de coordenadas geográficas ou em termos de coordenadas de projeção:

A segunda expressão mostra que o fator de escala é simplesmente uma função da distância do meridiano central da projeção. Um valor típico do fator de escala é k 0  = 0,9996, de modo que k  = 1 quando x é aproximadamente 180 km. Quando x é aproximadamente 255 km ek 0  = 1,0004: o fator de escala está dentro de 0,04% da unidade em uma faixa de cerca de 510 km de largura.

Convergência

O ângulo de convergência

O ângulo de convergência γ em um ponto da projeção é definido pelo ângulo medido a partir do meridiano projetado, que define o norte verdadeiro, até uma linha de grade de x constante , definindo a grade norte. Portanto, γ é positivo no quadrante norte do equador e leste do meridiano central e também no quadrante sul do equador e oeste do meridiano central. A convergência deve ser adicionada a um rumo da grade para obter um rumo do norte verdadeiro. Para a secante transversal de Mercator, a convergência pode ser expressa em termos das coordenadas geográficas ou em termos das coordenadas de projeção:

Fórmulas para o eixo transversal elipsoidal de Mercator

Detalhes de implementações reais

Coordenadas, grades, leste e norte

As coordenadas de projeção resultantes dos vários desenvolvimentos do transversal elipsoidal de Mercator são coordenadas cartesianas tais que o meridiano central corresponde ao eixo xe o equador corresponde ao eixo y . Tanto x como y são definidos para todos os valores de λ e ϕ . A projeção não define uma grade: a grade é uma construção independente que pode ser definida arbitrariamente. Na prática, as implementações nacionais, e UTM, usam grades alinhadas com os eixos cartesianos da projeção, mas são de extensão finita, com origens que não precisam coincidir com a intersecção do meridiano central com o equador.

A verdadeira origem da grade é sempre obtida no meridiano central, de modo que as coordenadas da grade serão negativas a oeste do meridiano central. Para evitar tais coordenadas de grade negativas, a prática padrão define uma origem falsa para oeste (e possivelmente norte ou sul) da origem da grade: as coordenadas relativas à origem falsa definem leste e norte que sempre serão positivos. O falso leste , E 0 , é a distância da origem verdadeira da grade a leste da falsa origem. O norte falso , N 0 , é a distância da origem verdadeira da grade ao norte da origem falsa. Se a verdadeira origem da grade está na latitude φ 0 no meridiano central e o fator de escala do meridiano central é k 0, então essas definições dão leste e norte por:

Os termos "leste" e "norte" não significam direções leste e norte estritas. As linhas de grade da projecção transversal, outros do que a x e y eixos, não execute norte-sul ou este-oeste, tal como definido por paralelos e meridianos. Isso é evidente nas projeções globais mostradas acima. Perto do meridiano central, as diferenças são pequenas, mas mensuráveis. A diferença entre as linhas da grade norte-sul e os verdadeiros meridianos é o ângulo de convergência .

Veja também

Referências

links externos