Distância do grande círculo - Great-circle distance
A distância do grande círculo , distância ortodrômica ou distância esférica é a distância ao longo de um grande círculo .
É a distância mais curta entre dois pontos na superfície de uma esfera , medida ao longo da superfície da esfera (em oposição a uma linha reta através do interior da esfera). A distância entre dois pontos no espaço euclidiano é o comprimento de uma linha reta entre eles, mas na esfera não há linhas retas. Em espaços com curvatura , as linhas retas são substituídas por geodésicas . Geodésicas na esfera são círculos na esfera cujos centros coincidem com o centro da esfera e são chamados de 'grandes círculos'.
A determinação da distância do grande círculo é parte do problema mais geral da navegação do grande círculo , que também calcula os azimutes nos pontos finais e pontos intermediários.
Através de quaisquer dois pontos em uma esfera que não sejam pontos antípodas (diretamente opostos um ao outro), existe um grande círculo único. Os dois pontos separam o grande círculo em dois arcos. O comprimento do arco mais curto é a distância do grande círculo entre os pontos. Um grande círculo dotado de tal distância é chamado de círculo Riemanniano na geometria Riemanniana .
Entre os pontos antípodais, existem infinitos círculos grandes, e todos os arcos de grande círculo entre os pontos antípodais têm um comprimento de metade da circunferência do círculo, ou , onde r é o raio da esfera.
A Terra é quase esférica , então as fórmulas de distância do grande círculo fornecem a distância entre pontos na superfície da Terra correta em cerca de 0,5% .
O vértice é o ponto de latitude mais alta em um grande círculo.
Fórmulas
Sejam e sejam a longitude e latitude geográfica em radianos de dois pontos 1 e 2, e sejam suas diferenças absolutas; então , o ângulo central entre eles, é dado pela lei esférica dos cossenos se um dos pólos for usado como um terceiro ponto auxiliar na esfera:
O problema é normalmente expresso em termos de encontrar o ângulo central . Dado este ângulo em radianos, o comprimento real do arco d em uma esfera de raio r pode ser calculado trivialmente como
Fórmulas computacionais
Em sistemas de computador com baixa precisão de ponto flutuante , a fórmula da lei esférica dos cossenos pode ter grandes erros de arredondamento se a distância for pequena (se os dois pontos estiverem separados por um quilômetro na superfície da Terra, o cosseno do ângulo central é próximo a 0,99999999 ) Para os números modernos de ponto flutuante de 64 bits , a fórmula da lei esférica dos cossenos, fornecida acima, não apresenta erros de arredondamento sérios para distâncias maiores do que alguns metros na superfície da Terra. A fórmula Haversine é numericamente melhor condicionada para pequenas distâncias:
Historicamente, o uso desta fórmula foi simplificado pela disponibilidade de tabelas para a função haversine : hav ( θ ) = sin 2 ( θ / 2).
Embora esta fórmula seja precisa para a maioria das distâncias em uma esfera, ela também sofre de erros de arredondamento para o caso especial (e um tanto incomum) de pontos antípodas. Uma fórmula que é precisa para todas as distâncias é o seguinte caso especial da fórmula de Vincenty para um elipsóide com eixos maiores e menores iguais:
Versão vetorial
Uma outra representação de fórmulas semelhantes, mas utilizando vectores normais em vez de latitude e longitude para descrever as posições, é encontrada por meio de 3D álgebra vetor , utilizando o produto escalar , produto cruzado , ou uma combinação de:
onde e são os normais para o elipsóide nas duas posições 1 e 2. Similarmente às equações acima baseadas em latitude e longitude, a expressão baseada em arctan é a única que está bem condicionada para todos os ângulos . A expressão baseada em arctan requer a magnitude do produto vetorial sobre o produto escalar.
Da duração do acorde
Uma linha através do espaço tridimensional entre pontos de interesse em uma Terra esférica é a corda do grande círculo entre os pontos. O ângulo central entre os dois pontos pode ser determinado a partir do comprimento da corda. A distância do grande círculo é proporcional ao ângulo central.
O comprimento da corda do grande círculo,, pode ser calculado da seguinte forma para a esfera unitária correspondente, por meio da subtração cartesiana :
O ângulo central é:
Raio para a Terra esférica
A forma da Terra se assemelha a uma esfera achatada (um esferóide ) com raio equatorial de 6.378.137 km; distância do centro do esferóide a cada pólo é 6356,7523142 km. Ao calcular o comprimento de uma linha curta norte-sul no equador, o círculo que melhor se aproxima dessa linha tem um raio de (que é igual ao reto semi-latus do meridiano ), ou 6335,439 km, enquanto o esferóide nos pólos é mais aproximado por uma esfera de raio , ou 6.399.594 km, uma diferença de 1%. Contanto que uma Terra esférica seja assumida, qualquer fórmula única para distância na Terra só é garantida como correta dentro de 0,5% (embora uma melhor precisão seja possível se a fórmula se destinar a ser aplicada apenas a uma área limitada). Usando o raio médio da terra , (para o elipsóide WGS84 ) significa que no limite de pequeno achatamento, o erro relativo médio quadrático nas estimativas para distância é minimizado.