Teorema de uniformização - Uniformization theorem

Em matemática, o teorema da uniformização diz que toda superfície de Riemann simplesmente conectada é conformalmente equivalente a uma das três superfícies de Riemann: o disco unitário aberto , o plano complexo ou a esfera de Riemann . Em particular, isso implica que toda superfície de Riemann admite uma métrica Riemanniana de curvatura constante . Para superfícies de Riemann compactas, aquelas com cobertura universal do disco unitário são precisamente as superfícies hiperbólicas de gênero maior que 1, todas com grupo fundamental não abeliano; aquelas com cobertura universal no plano complexo são as superfícies de Riemann do gênero 1, ou seja, os toros complexos ou curvas elípticas com grupo fundamental Z ² ; e aqueles com cobertura universal da esfera de Riemann são aqueles do gênero zero, ou seja, a própria esfera de Riemann, com grupo fundamental trivial.

O teorema de uniformização é uma generalização do teorema de mapeamento de Riemann de subconjuntos abertos apropriados do plano para superfícies de Riemann simplesmente conectadas arbitrariamente. O teorema da uniformização também tem uma declaração equivalente em termos de 2-variedades Riemannianas fechadas: cada uma dessas variedades tem uma métrica Riemanniana conformalmente equivalente com curvatura constante.

Muitas provas clássicas do teorema da uniformização dependem da construção de uma função harmônica de valor real na superfície de Riemann simplesmente conectada, possivelmente com uma singularidade em um ou dois pontos e frequentemente correspondendo a uma forma da função de Green . Quatro métodos de construção da função harmônica são amplamente empregados: o método de Perron ; o método alternado de Schwarz ; Princípio de Dirichlet ; e o método de projeção ortogonal de Weyl . No contexto de 2-variedades Riemannianas fechadas, várias provas modernas invocam equações diferenciais não lineares no espaço de métricas conformalmente equivalentes. Isso inclui a equação de Beltrami da teoria de Teichmüller e uma formulação equivalente em termos de mapas harmônicos ; A equação de Liouville , já estudada por Poincaré; e o fluxo de Ricci junto com outros fluxos não lineares.

História

Felix Klein  ( 1883 ) e Henri Poincaré  ( 1882 ) conjecturou o teorema de uniformização para (as superfícies de Riemann de) curvas algébricas. Henri Poincaré ( 1883 ) estendeu isso para funções analíticas de múltiplos valores arbitrárias e deu argumentos informais em seu favor. As primeiras provas rigorosas do teorema da uniformização geral foram fornecidas por Poincaré  ( 1907 ) e Paul Koebe  ( 1907a , 1907b , 1907c ). Paul Koebe mais tarde deu várias outras provas e generalizações. A história é descrita em Gray (1994) ; um relato completo da uniformização até os artigos de Koebe e Poincaré de 1907 é fornecido com provas detalhadas em de Saint-Gervais (2016) (o pseudônimo do tipo Bourbaki do grupo de quinze matemáticos que produziram conjuntamente esta publicação).

Classificação de superfícies de Riemann conectadas

Cada superfície de Riemann é o quociente de ação livre, própria e holomórfica de um grupo discreto em sua cobertura universal e esta cobertura universal é holomorficamente isomórfica (também se diz: "conformalmente equivalente" ou "biolomórfico") a um dos seguintes:

1. a esfera de Riemann
2. o plano complexo
3. o disco da unidade no plano complexo.

O teorema de Rado mostra que toda superfície de Riemann é automaticamente contável em segundos . Embora o teorema de Rado seja freqüentemente usado em provas do teorema da uniformização, algumas provas foram formuladas para que o teorema de Rado se tornasse uma consequência. A segunda contagem é automática para superfícies compactas de Riemann.

Classificação de 2 variedades Riemannianas de orientação fechada

Em uma variedade 2 orientada, uma métrica Riemanniana induz uma estrutura complexa usando a passagem para coordenadas isotérmicas . Se a métrica Riemanniana for dada localmente como

${\ displaystyle ds ^ {2} = E \, dx ^ {2} + 2F \, dx \, dy + G \, dy ^ {2},}$

então, na coordenada complexa z = x + i y , assume a forma

${\ displaystyle ds ^ {2} = \ lambda | dz + \ mu \, d {\ overline {z}} | ^ {2},}$

Onde

${\ displaystyle \ lambda = {1 \ over 4} \ left (E + G + 2 {\ sqrt {EG-F ^ {2}}} \ right), \, \, \, \ mu = (E-G + 2iF) / 4 \ lambda,}$

de modo que λ e μ são suaves com λ > 0 e | μ | <1. Em coordenadas isotérmicas ( u , v ), a métrica deve assumir a forma

${\ displaystyle ds ^ {2} = \ rho (du ^ {2} + dv ^ {2})}$

com ρ > 0 suave. A coordenada complexa w = u + i v satisfaz

${\ displaystyle \ rho \, | dw | ^ {2} = \ rho | w_ {z} | ^ {2} \ left | dz + {w _ {\ overline {z}} \ over w_ {z}} \, d {\ overline {z}} \ right | ^ {2},}$

de modo que as coordenadas ( u , v ) serão isotérmicas localmente fornecidas a equação de Beltrami

${\ displaystyle {\ partial w \ over \ partial {\ overline {z}}} = \ mu {\ partial w \ over \ partial z}}$

tem uma solução localmente difeomórfica, ou seja, uma solução com Jacobiano não-evanescente.

Essas condições podem ser formuladas de forma equivalente em termos da derivada externa e do operador estrela de Hodge ∗ . u e v serão coordenadas isotérmicas se * du = dv , em que * é definido em diferenciais por * ( p dx + q Dy ) = - q dx + p dy . Seja ∆ = ∗ d ∗ d o operador Laplace – Beltrami . Pela teoria elíptica padrão, u pode ser escolhido para ser harmônico próximo a um determinado ponto, isto é, Δ u = 0 , com du não-desaparecimento. Pelo lema de Poincaré dv = ∗ du tem uma solução local v exatamente quando d (∗ du ) = 0 . Esta condição é equivalente a Δ u = 0 , então sempre pode ser resolvida localmente. Desde du é diferente de zero e o quadrado do operador estrela Hodge é -1 em 1-formas, du e dv deve ser linearmente independentes, de modo que u e v dar coordenadas locais isotérmicas.

A existência de coordenadas isotérmicas pode ser comprovada por outros métodos, por exemplo usando a teoria geral da equação de Beltrami , como em Ahlfors (2006) , ou por métodos elementares diretos, como em Chern (1955) e Jost (2006) .

Desta correspondência com superfícies compactas de Riemann, segue-se uma classificação de 2-variedades Riemannianas orientáveis ​​fechadas. Cada um deles é conformalmente equivalente a uma única variedade fechada de 2 de curvatura constante , portanto, um quociente de um dos seguintes por uma ação livre de um subgrupo discreto de um grupo de isometria :

1. a esfera (curvatura +1)
2. o plano euclidiano (curvatura 0)
3. o plano hiperbólico (curvatura -1).

• 

  gênero 0

• 

  gênero 1

• 

  gênero 2

• 

  gênero 3

O primeiro caso fornece a 2-esfera, a única 2-variedade com curvatura positiva constante e, portanto, característica de Euler positiva (igual a 2). O segundo dá todas as variedades 2 planas, ou seja, os tori , que têm característica de Euler 0. O terceiro caso cobre todas as variedades 2 de curvatura negativa constante, isto é, as variedades 2 hiperbólicas , todas com característica de Euler negativa. A classificação é consistente com o teorema de Gauss-Bonnet , que implica que para uma superfície fechada com curvatura constante, o sinal dessa curvatura deve corresponder ao sinal da característica de Euler. A característica de Euler é igual a 2 - 2 g , onde g é o gênero da variedade 2, ou seja, o número de "orifícios".

Métodos de prova

Métodos espaciais de Hilbert

Em 1913, Hermann Weyl publicou seu livro clássico "Die Idee der Riemannschen Fläche" baseado em suas palestras de Göttingen de 1911 a 1912. Foi o primeiro livro a apresentar a teoria das superfícies de Riemann em um ambiente moderno e por meio de suas três edições manteve-se influente. Dedicada a Felix Klein , a primeira edição incorporou o tratamento de Hilbert do problema de Dirichlet usando técnicas espaciais de Hilbert ; Contribuições de Brouwer para topologia; e a prova de Koebe do teorema da uniformização e seus aprimoramentos subsequentes. Muito mais tarde, Weyl (1940) desenvolveu seu método de projeção ortogonal que deu uma abordagem simplificada ao problema de Dirichlet, também com base no espaço de Hilbert; essa teoria, que incluía o lema de Weyl sobre a regularidade elíptica , estava relacionada à teoria das integrais harmônicas de Hodge ; e ambas as teorias foram incluídas na teoria moderna de operadores elípticos e espaços L ^{2 de} Sobolev . Na terceira edição de seu livro de 1955, traduzido para o inglês em Weyl (1964) , Weyl adotou a definição moderna de variedade diferencial, preferencialmente às triangulações , mas decidiu não fazer uso de seu método de projeção ortogonal. Springer (1957) seguiu a explicação de Weyl do teorema da uniformização, mas usou o método da projeção ortogonal para tratar o problema de Dirichlet. Essa abordagem será descrita a seguir. Kodaira (2007) descreve a abordagem no livro de Weyl e também como encurtá-la usando o método de projeção ortogonal. Uma conta relacionada pode ser encontrada em Donaldson (2011) .

Fluxos não lineares

Ao apresentar o fluxo de Ricci , Richard S. Hamilton mostrou que o fluxo de Ricci em uma superfície fechada uniformiza a métrica (isto é, o fluxo converge para uma curvatura métrica constante). No entanto, sua prova baseou-se no teorema da uniformização. A etapa que faltava envolvia o fluxo de Ricci na esfera 2: um método para evitar um apelo ao teorema da uniformização (para o gênero 0) foi fornecido por Chen, Lu & Tian (2006) ; um breve relato independente do fluxo de Ricci na esfera 2 foi fornecido em Andrews & Bryan (2010) .

Generalizações

Koebe provou o teorema de uniformização geral de que se uma superfície de Riemann é homeomórfica a um subconjunto aberto da esfera complexa (ou equivalentemente se cada curva de Jordan a separa), então é conformalmente equivalente a um subconjunto aberto da esfera complexa.

Em 3 dimensões, existem 8 geometrias, chamadas de oito geometrias de Thurston . Nem todo manifold de 3 admite uma geometria, mas a conjectura de geometrização de Thurston provada por Grigori Perelman afirma que todo manifold de 3 pode ser cortado em pedaços que são geometrizáveis.

O teorema de uniformização simultânea de Lipman Bers mostra que é possível uniformizar simultaneamente duas superfícies compactas de Riemann do mesmo gênero> 1 com o mesmo grupo quase Fuchsiano .

O teorema de mapeamento de Riemann mensurável mostra de forma mais geral que o mapa para um subconjunto aberto da esfera complexa no teorema de uniformização pode ser escolhido para ser um mapa quase - formal com qualquer coeficiente de Beltrami mensurável limitado.

Veja também

• Teorema da uniformização p -adic .

Notas

Referências

Referências históricas

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Levantamentos históricos

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Funções harmônicas

Método de Perron

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Método alternado de Schwarz

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Princípio de Dirichlet

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Método de Weyl de projeção ortogonal

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• Kodaira, Kunihiko (2007), Complex analysis , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 107 , Cambridge University Press, ISBN 9780521809375
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Operadores Sario

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Equações diferenciais não lineares

Equação de Beltrami

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Mapas harmônicos

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Equação de Liouville

• Berger, Melvyn S. (1971), "Riemannian structure of prescrito Gaussian curvature for compact 2-manifolds", Journal of Differential Geometry , 5 (3-4): 325-332, doi : 10.4310 / jdg / 1214429996
• Berger, Melvyn S. (1977), Nonlinearity and funcional analysis , Academic Press, ISBN 978-0-12-090350-4
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Fluxos em métricas Riemannianas

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• Osgood, B .; Phillips, R .; Sarnak, P. (1988), "Extremals of determinants of Laplacians", J. Funct. Anal. , 80 : 148-211, CiteSeerX  10.1.1.486.558 , doi : 10.1016 / 0022-1236 (88) 90070-5
• Chrusciel, P. (1991), "existência semi-global e convergência de soluções da equação de Robinson-Trautman (Calabi 2-dimensional)", Communications in Mathematical Physics , 137 (2): 289-313, Bibcode : 1991CMaPh.137 ..289C , CiteSeerX  10.1.1.459.9029 , doi : 10.1007 / bf02431882 , S2CID  53641998
• Chang, Shu-Cheng (2000), "existência global e convergência de soluções de fluxo de Calabi em superfícies do gênero h  ≥ 2", J. Math. Kyoto Univ. , 40 (2): 363-377, doi : 10.1215 / kjm / 1250517718
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Referências gerais

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• Griffiths, Phillip; Harris, Joseph (1994), Principles of algebraic geometry , Wiley, ISBN 978-0-471-05059-9
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links externos

• Transformação Conformal: do Círculo ao Quadrado .