Tangloids - Tangloids

Tangloids é um jogo matemático para dois jogadores criado por Piet Hein para modelar o cálculo dos espinores .

Aparelho Tangloids

Uma descrição do jogo apareceu no livro "Martin Gardner's New Mathematical Diversions from Scientific American" por Martin Gardner de 1996 em uma seção sobre a matemática da trança .

Dois blocos planos de madeira, cada um perfurado com três pequenos orifícios, são unidos por três cordas paralelas. Cada jogador segura um dos blocos de madeira. O primeiro jogador segura um bloco de madeira imóvel, enquanto o outro jogador gira o outro bloco de madeira por duas voltas completas. O plano de rotação é perpendicular às cordas quando não emaranhado. As cordas agora se sobrepõem. Em seguida, o primeiro jogador tenta desembaraçar as cordas sem girar nenhum dos pedaços de madeira. Apenas translações (mover as peças sem girar) são permitidas. Depois, os jogadores invertem os papéis; quem conseguir desembaraçar as cordas mais rápido é o vencedor. Experimente com apenas uma revolução. É claro que as cordas se sobrepõem novamente, mas não podem ser desembaraçadas sem girar um dos dois blocos de madeira.

O truque da xícara balinesa , que aparece na dança das velas balinesas , é uma ilustração diferente da mesma ideia matemática. O mecanismo anti-torção é um dispositivo destinado a evitar tais embaraços de orientação . Uma interpretação matemática dessas idéias pode ser encontrada no artigo sobre quatérnios e rotação espacial .

Articulação matemática

Este jogo serve para esclarecer a noção de que as rotações no espaço possuem propriedades que não podem ser explicadas intuitivamente considerando apenas a rotação de um único objeto rígido no espaço. A rotação de vetores não abrange todas as propriedades do modelo abstrato de rotações dado pelo grupo de rotação . A propriedade ilustrada neste jogo é formalmente referida na matemática como " cobertura dupla de SO (3) por SU (2) ". Este conceito abstrato pode ser esboçado da seguinte maneira.

As rotações em três dimensões podem ser expressas como matrizes 3x3 , um bloco de números, um para cada x, y, z. Se considerarmos rotações arbitrariamente minúsculas, chegaremos à conclusão de que as rotações formam um espaço , pois, se cada rotação for pensada como um ponto , sempre haverá outros pontos próximos, outras rotações próximas que diferem apenas por um pequeno valor. Em pequenos bairros , essa coleção de pontos próximos se assemelha ao espaço euclidiano . Na verdade, ele se assemelha ao espaço euclidiano tridimensional, pois há três direções diferentes possíveis para rotações infinitas: x, y e z. Isso descreve adequadamente a estrutura do grupo de rotação em pequenos bairros. Para sequências de grandes rotações, no entanto, esse modelo não funciona; por exemplo, virar à direita e depois deitar não é o mesmo que deitar primeiro e depois virar à direita. Embora o grupo de rotação tenha a estrutura do espaço 3D em pequena escala, essa não é sua estrutura em grande escala. Os sistemas que se comportam como o espaço euclidiano em pequena escala, mas têm uma estrutura global mais complicada, são chamados de variedades . Exemplos famosos de variedades incluem as esferas : globalmente, elas são redondas, mas localmente, elas parecem e parecem planas, logo, " Terra plana ".

Um exame cuidadoso do grupo de rotação revela que ele tem a estrutura de uma esfera 3 com pontos opostos identificados . Isso significa que, para cada rotação, existem na verdade dois pontos opostos polares diferentes e distintos na esfera 3 que descrevem essa rotação. Isso é o que os tanglóides ilustram. A ilustração é bastante inteligente. Imagine realizar a rotação de 360 ​​graus, um grau de cada vez, como um conjunto de pequenos passos. Essas etapas levam você por um caminho, por uma jornada neste múltiplo abstrato, neste espaço abstrato de rotações. Ao completar esta jornada de 360 ​​graus, a pessoa não voltou para casa, mas ao invés disso, ao ponto polar oposto. E a pessoa fica presa lá - não se pode realmente voltar ao ponto de partida até que faça outra, uma segunda jornada de 360 ​​graus. ${\ displaystyle S ^ {3}}$

A estrutura desse espaço abstrato, de uma 3-esfera com opostos polares identificados, é bem esquisita. Tecnicamente, é um espaço projetivo . Pode-se tentar imaginar pegar um balão, deixando todo o ar sair e, em seguida, colar pontos opostos polares. Se tentado na vida real, logo se descobre que não pode ser feito globalmente. Localmente, para qualquer pequeno remendo, pode-se realizar as etapas de virar e colar; simplesmente não se pode fazer isso globalmente. (Lembre-se de que o balão é a 2-esfera; não é a 3-esfera das rotações.) Para simplificar ainda mais, pode-se começar com o círculo e tentar colar os opostos polares; ainda há uma bagunça que falhou. O melhor que se pode fazer é traçar linhas retas na origem e então declarar, por decreto, que os opostos polares são o mesmo ponto. Esta é a construção básica de qualquer espaço projetivo. ${\ displaystyle S ^ {2}}$${\ displaystyle S ^ {1}}$

A chamada "dupla cobertura" refere-se à ideia de que essa colagem de opostos polares pode ser desfeita. Isso pode ser explicado de forma relativamente simples, embora exija a introdução de alguma notação matemática. O primeiro passo é deixar escapar " Álgebra de Lie ". Este é um espaço vetorial dotado da propriedade de que dois vetores podem ser multiplicados. Isso ocorre porque uma pequena rotação em torno do eixo x seguida por uma pequena rotação em torno do eixo y não é o mesmo que inverter a ordem dos dois; eles são diferentes, e a diferença é uma pequena rotação ao longo do eixo z . Formalmente, essa desigualdade pode ser escrita como , tendo em mente que x , y e z não são números, mas rotações infinitas. Eles não se deslocam . ${\ displaystyle xy-yx = z}$

Pode-se então perguntar: "o que mais se comporta assim?" Bem, obviamente as matrizes de rotação 3D fazem; afinal, a questão toda é que eles fazem corretamente, descrevem matematicamente as rotações no espaço 3D. Acontece que existem também matrizes 2x2, 4x4, 5x5, ... que também têm essa propriedade. Pode-se perguntar razoavelmente "OK, então qual é a forma de suas variedades?". Para o caso 2x2, a álgebra de Lie é chamada de su (2) e a variedade é chamada de SU (2) , e curiosamente, a variedade de SU (2) é a 3-esfera (mas sem a identificação projetiva de opostos polares) .

Isso agora permite que alguém faça uma pequena manobra. Pegue um vetor no espaço 3D comum (nosso espaço físico) e aplique uma matriz de rotação a ele. Obtém-se um vetor girado . Este é o resultado da aplicação de uma rotação ordinária de "bom senso" para . Mas também temos as matrizes de Pauli ; essas são matrizes complexas 2x2 que têm a propriedade de álgebra de Lie e, portanto, modelam o comportamento de rotações infinitesimais. Considere então o produto . A "dupla cobertura" é a propriedade de existir não uma, mas duas matrizes 2x2 tais que ${\ displaystyle {\ vec {v}} = (v_ {1}, v_ {2}, v_ {3})}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle R {\ vec {v}}}$${\ displaystyle {\ vec {v}}}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {1}, \ sigma _ {2}, \ sigma _ {3}}$${\ displaystyle \ sigma _ {1} \ sigma _ {2} - \ sigma _ {2} \ sigma _ {1} = \ sigma _ {3}}$${\ displaystyle xy-yx = z}$${\ displaystyle {\ vec {\ sigma}} \ cdot {\ vec {v}} = v_ {1} \ sigma _ {1} + v_ {2} \ sigma _ {2} + v_ {3} \ sigma _ {3}}$${\ displaystyle S}$

${\ displaystyle S ^ {- 1} ({\ vec {\ sigma}} \ cdot {\ vec {v}}) S = R {\ vec {v}}}$

Aqui, denota o inverso de ; ou seja, A matriz é um elemento de SU (2) e, portanto, para cada matriz em SO (3), há duas correspondentes : ambas e resolverão o problema. Esses dois são os pólos opostos, e a projeção se resume à observação trivial de que O jogo tangelóide pretende ilustrar que uma rotação de 360 ​​graus leva a pessoa em um caminho de para . Isso é bastante preciso: pode-se considerar uma sequência de pequenas rotações e o movimento correspondente de ; o resultado muda de sinal. Em termos de ângulos de rotação, a matriz terá um , mas o casamento terá um . Uma elucidação adicional requer realmente a escrita dessas fórmulas. ${\ displaystyle S ^ {- 1}}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle S ^ {- 1} S = SS ^ {- 1} = 1.}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle + S}$${\ displaystyle -S}$${\ displaystyle (-1) \ times (-1) = + 1.}$${\ displaystyle + S}$${\ displaystyle -S}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle \ theta,}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle \ cos \ theta}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle \ cos \ theta / 2}$

O esboço pode ser completado com algumas observações gerais. Primeiro, as álgebras de Lie são genéricas e, para cada uma, há um ou mais grupos de Lie correspondentes . Na física, as rotações 3D de objetos 3D normais são obviamente descritas pelo grupo de rotação , que é um grupo de Lie de matrizes 3x3 . No entanto, os espinores , as partículas de spin 1/2 , giram de acordo com as matrizes em SU (2). As matrizes 4x4 descrevem a rotação de partículas de spin 3/2 e as matrizes 5x5 descrevem as rotações de partículas de spin 2 e assim por diante. A representação dos grupos de Lie e álgebras de Lie são descritos pela teoria da representação . A representação spin-1/2 pertence à representação fundamental , e o spin-1 é a representação adjunta . A noção de dupla cobertura usada aqui é um fenômeno genérico, descrito por mapas de cobertura . Os mapas de cobertura são, por sua vez, um caso especial de feixes de fibras . A classificação dos mapas de cobertura é feita por meio da teoria da homotopia ; neste caso, a expressão formal de dupla cobertura é dizer que o grupo fundamental é onde o grupo de cobertura está apenas codificando as duas rotações equivalentes e superiores. Nesse sentido, o grupo de rotação fornece a porta, a chave para o reino de vastas áreas da matemática superior. ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle \ pi _ {1} (SO (3)) = \ mathbb {Z} _ {2}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {2} = \ {+ 1, -1 \}}$${\ displaystyle + S}$${\ displaystyle -S}$

Veja também

• Emaranhamento de orientação
• Truque de placa

Referências

links externos

• Tangloids , YouTube