Dinâmica estrutural - Structural dynamics

A dinâmica estrutural é um tipo de análise estrutural que cobre o comportamento de uma estrutura submetida a carregamentos dinâmicos (ações com alta aceleração). As cargas dinâmicas incluem pessoas, vento, ondas, tráfego, terremotos e explosões. Qualquer estrutura pode estar sujeita a carregamento dinâmico. A análise dinâmica pode ser usada para encontrar deslocamentos dinâmicos , histórico de tempo e análise modal .

A análise estrutural está principalmente preocupada em descobrir o comportamento de uma estrutura física quando submetida à força. Esta ação pode ser na forma de carga devido ao peso de coisas como pessoas, móveis, vento, neve, etc. ou algum outro tipo de excitação, como um terremoto, tremor do solo devido a uma explosão próxima, etc. Em essência, todas essas cargas são dinâmicas, incluindo o peso próprio da estrutura, porque em algum momento essas cargas não existiam. A distinção é feita entre a análise dinâmica e a estática com base no fato de a ação aplicada ter aceleração suficiente em comparação com a frequência natural da estrutura. Se uma carga for aplicada de forma suficientemente lenta, as forças de inércia ( a primeira lei do movimento de Newton ) podem ser ignoradas e a análise pode ser simplificada como uma análise estática.

Uma carga estática é aquela que varia muito lentamente. Uma carga dinâmica é aquela que muda com o tempo bastante rapidamente em comparação com a frequência natural da estrutura. Se mudar lentamente, a resposta da estrutura pode ser determinada com análise estática, mas se variar rapidamente (em relação à capacidade de resposta da estrutura), a resposta deve ser determinada com uma análise dinâmica.

A análise dinâmica para estruturas simples pode ser realizada manualmente, mas para estruturas complexas, a análise de elementos finitos pode ser usada para calcular as formas modais e frequências.

Deslocamentos

Uma carga dinâmica pode ter um efeito significativamente maior do que uma carga estática de mesma magnitude devido à incapacidade da estrutura de responder rapidamente ao carregamento (por deflexão). O aumento no efeito de uma carga dinâmica é dado pelo fator de amplificação dinâmica (DAF) ou fator de carga dinâmica (DLF):

${\displaystyle {\text{DAF}}={\text{DLF}}={\frac {u_{\max }}{u_{\text{static}}}}}$

onde u é a deflexão da estrutura devido à carga aplicada.

Os gráficos de fatores de amplificação dinâmica vs tempo de subida adimensional ( t _r / T ) existem para funções de carregamento padrão (para uma explicação do tempo de subida, consulte a análise de histórico de tempo abaixo). Conseqüentemente, o DAF para um dado carregamento pode ser lido no gráfico, a deflexão estática pode ser facilmente calculada para estruturas simples e a deflexão dinâmica encontrada.

Análise de histórico de tempo

Um histórico em tempo integral dará a resposta de uma estrutura ao longo do tempo durante e após a aplicação de uma carga. Para encontrar o histórico em tempo integral da resposta de uma estrutura, você deve resolver a equação de movimento da estrutura .

Exemplo

A única e simples grau de liberdade do sistema (a massa , M , em uma primavera de rigidez k , por exemplo) tem a seguinte equação de movimento:

${\displaystyle M{\ddot {x}}+kx=F(t)}$

onde é a aceleração (a derivada dupla do deslocamento) e x é o deslocamento. ${\displaystyle {\ddot {x}}}$

Se o carregamento F ( t ) é uma função escalonada de Heaviside (a aplicação repentina de uma carga constante), a solução para a equação do movimento é:

${\displaystyle x={\frac {F_{0}}{k}}[1-\cos(\omega t)]}$

onde e a frequência natural fundamental ,. ${\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {k}{M}}}}$${\displaystyle f={\frac {\omega }{2\pi }}}$

A deflexão estática de um único sistema de grau de liberdade é:

${\displaystyle x_{\text{static}}={\frac {F_{0}}{k}}}$

para que possamos escrever, combinando as fórmulas acima:

${\displaystyle x=x_{\text{static}}[1-\cos(\omega t)]}$

Isso dá o histórico de tempo (teórico) da estrutura devido a uma carga F (t), onde a falsa suposição é feita de que não há amortecimento .

Embora seja muito simplista para ser aplicado a uma estrutura real, a função de degrau de Heaviside é um modelo razoável para a aplicação de muitas cargas reais, como a adição repentina de um móvel ou a remoção de um suporte em um concreto recém-fundido andar. No entanto, na realidade, as cargas nunca são aplicadas instantaneamente - elas se acumulam ao longo de um período de tempo (pode ser muito curto). Esse tempo é chamado de tempo de subida .

À medida que o número de graus de liberdade de uma estrutura aumenta, rapidamente se torna muito difícil calcular o histórico de tempo manualmente - as estruturas reais são analisadas usando um software de análise de elemento finito não linear .

Amortecimento

Qualquer estrutura real dissipará energia (principalmente por fricção). Isso pode ser modelado modificando o DAF

${\displaystyle {\text{DAF}}=1+e^{-c\pi }}$

onde e é normalmente 2–10% dependendo do tipo de construção: ${\displaystyle c={\frac {\text{damping coefficient}}{\text{critical damping coefficient}}}}$

• Aço aparafusado ~ 6%
• Betão armado ~ 5%
• Aço soldado ~ 2%
• Alvenaria de tijolo ~ 10%

Métodos para aumentar o amortecimento

Um dos métodos amplamente usados ​​para aumentar o amortecimento é anexar uma camada de material com um alto coeficiente de amortecimento, por exemplo borracha, a uma estrutura vibratória.

Análise modal

Uma análise modal calcula os modos de frequência ou frequências naturais de um determinado sistema, mas não necessariamente sua resposta de histórico em tempo integral a uma determinada entrada. A frequência natural de um sistema depende apenas da rigidez da estrutura e da massa que participa da estrutura (incluindo o peso próprio). Não depende da função de carregamento.

É útil conhecer as frequências modais de uma estrutura, pois permite que você garanta que a frequência de qualquer carregamento periódico aplicado não coincidirá com uma frequência modal e, portanto, causará ressonância , o que leva a grandes oscilações .

O método é:

1. Encontre os modos naturais (a forma adotada por uma estrutura) e as frequências naturais
2. Calcule a resposta de cada modo
3. Opcionalmente, sobreponha a resposta de cada modo para encontrar a resposta modal completa para um determinado carregamento

Método de energia

É possível calcular a frequência da forma de modo diferente do sistema manualmente pelo método de energia . Para uma determinada forma de modo de um sistema de vários graus de liberdade, você pode encontrar uma massa, rigidez e força aplicada "equivalente" para um único sistema de grau de liberdade. Para estruturas simples, as formas modais básicas podem ser encontradas por inspeção, mas não é um método conservador. O princípio de Rayleigh afirma:

"A frequência ω de um modo arbitrário de vibração, calculada pelo método da energia, é sempre maior ou igual à frequência fundamental ω _n ."

Para uma forma modal assumida , de um sistema estrutural com massa M; rigidez à flexão, EI ( módulo de Young , E , multiplicado pelo segundo momento da área , I ); e força aplicada, F ( x ): ${\displaystyle {\bar {u}}(x)}$

${\displaystyle {\text{Equivalent mass, }}M_{\text{eq}}=\int M{\bar {u}}^{2}\,du}$

${\displaystyle {\text{Equivalent stiffness, }}k_{\text{eq}}=\int EI\left({\frac {d^{2}{\bar {u}}}{dx^{2}}}\right)^{2}\,dx}$

${\displaystyle {\text{Equivalent force, }}F_{\text{eq}}=\int F{\bar {u}}\,dx}$

então, como acima:

${\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {k_{\text{eq}}}{M_{\text{eq}}}}}}$

Resposta modal

A resposta modal completa para uma determinada carga F ( x , t ) é . O somatório pode ser realizado por um dos três métodos comuns: ${\displaystyle v(x,t)=\sum u_{n}(x,t)}$

• Sobrepor históricos de tempo completos de cada modo (demorado, mas exato)
• Sobreponha as amplitudes máximas de cada modo (rápido, mas conservador)
• Sobreponha a raiz quadrada da soma dos quadrados (boa estimativa para frequências bem separadas, mas insegura para frequências próximas)

Para sobrepor as respostas modais individuais manualmente, calculando-as pelo método da energia:

Supondo que o tempo de subida t _r seja conhecido ( T = 2 π / ω ), é possível ler o DAF a partir de um gráfico padrão. O deslocamento estático pode ser calculado com . O deslocamento dinâmico para o modo escolhido e a força aplicada podem então ser encontrados a partir de: ${\displaystyle u_{\text{static}}={\frac {F_{1,{\text{eq}}}}{k_{1,{\text{eq}}}}}}$

${\displaystyle u_{\max }=u_{\text{static}}{\text{DAF}}}$

Fator de participação modal

Para sistemas reais, muitas vezes há massa participando da função de força (como a massa do solo em um terremoto ) e massa participando dos efeitos de inércia (a massa da própria estrutura, M _eq ). O fator de participação modal Γ é uma comparação dessas duas massas. Para um único sistema de grau de liberdade Γ = 1.

${\displaystyle \Gamma ={\frac {\sum M_{n}{\bar {u}}_{n}}{\sum M_{n}{\bar {u}}_{n}^{2}}}}$

links externos

• DYSSOLVE: Dynamic System Solver - Um software de fonte criptografada, leve e gratuito que pode ser usado para resolver problemas básicos de dinâmica estrutural.
• Laboratório de Dinâmica Estrutural e Vibração da Universidade McGill
• Programa de análise de dinâmica estrutural 3D de código aberto Frame3DD
• Função de resposta de frequência de parâmetros modais
• Tutoriais de dinâmica estrutural e scripts Matlab
• AIAA Exploring Structural Dynamics ( http://www.exploringstructuraldynamics.org/ ) - Structural Dynamics in Aerospace Engineering: Demonstrações Interativas, Vídeos e Entrevistas com Engenheiros Práticos