Tempo de subida - Rise time

Na eletrônica , ao descrever uma função de degrau de tensão ou corrente , o tempo de subida é o tempo que um sinal leva para mudar de um valor baixo especificado para um valor alto especificado. Esses valores podem ser expressos em proporções ou, equivalentemente, em porcentagens em relação a um determinado valor de referência. Na eletrônica analógica e na eletrônica digital , essas porcentagens são comumente de 10% e 90% (ou equivalente a 0,1 e 0,9 ) da altura do degrau de saída: no entanto, outros valores são comumente usados. Para aplicações na teoria de controle, de acordo com Levine (1996 , p. 158), o tempo de subida é definido como " o tempo necessário para que a resposta aumente de x% para y% de seu valor final ", com aumento de 0% a 100% tempo comum para sistemas subamortecidos de segunda ordem, 5% a 95% para amortecimento crítico e 10% a 90% para superamortecimento . De acordo com Orwiler (1969 , p. 22), o termo "tempo de subida" se aplica tanto à resposta ao degrau positiva quanto à negativa , mesmo que uma excursão negativa exibida seja popularmente chamada de tempo de queda .

Visão geral

O tempo de subida é um parâmetro analógico de fundamental importância na eletrônica de alta velocidade , pois é uma medida da capacidade de um circuito de responder a sinais de entrada rápidos. Muitos esforços foram feitos para reduzir os tempos de subida de circuitos, geradores e equipamentos de medição e transmissão de dados. Essas reduções tendem a se originar de pesquisas sobre dispositivos eletrônicos mais rápidos e de técnicas de redução de parâmetros de circuitos parasitas (principalmente capacitâncias e indutâncias). Para aplicações fora do domínio da eletrônica de alta velocidade , tempos de subida longos (em comparação com o estado da arte alcançável) às vezes são desejáveis: exemplos são o escurecimento de uma luz, onde um tempo de subida mais longo resulta, entre outras coisas, em um tempo mais longo vida útil para a lâmpada, ou no controle de sinais analógicos por digitais por meio de uma chave analógica , onde um tempo de subida mais longo significa menor feedthrough capacitivo e, portanto, menor ruído de acoplamento às linhas de sinal analógico controladas.

Fatores que afetam o tempo de subida

Para uma determinada saída do sistema, seu tempo de subida depende do tempo de subida do sinal de entrada e das características do sistema .

Por exemplo, os valores de tempo de subida em um circuito resistivo são principalmente devidos à capacitância e indutância parasitas . Uma vez que todo circuito não tem apenas resistência , mas também capacitância e indutância , um atraso na tensão e / ou corrente na carga é aparente até que o estado estacionário seja alcançado. Em um circuito RC puro , o tempo de subida de saída (10% a 90%) é aproximadamente igual a 2,2 RC .

Definições alternativas

Outras definições de tempo de subida, além daquela dada pelo Federal Standard 1037C (1997 , p. R-22) e sua ligeira generalização dada por Levine (1996 , p. 158), são ocasionalmente usadas: essas definições alternativas diferem das padrão não apenas para os níveis de referência considerados. Por exemplo, o intervalo de tempo que corresponde graficamente aos pontos de interceptação da tangente desenhada através do ponto de 50% da resposta da função degrau é ocasionalmente usado. Outra definição, introduzida por Elmore (1948 , p. 57), usa conceitos da estatística e da teoria da probabilidade . Considerando uma resposta ao degrau V ( t ) , ele redefine o tempo de atraso t D como o primeiro momento de sua primeira derivada V ′ ( t ) , ou seja,

Finalmente, ele define o tempo de subida t r usando o segundo momento

Tempo de ascensão dos sistemas modelo

Notação

Todas as notações e suposições necessárias para a análise estão listadas aqui.

  • Seguindo Levine ( 1996 , p. 158, 2011 , 9-3 (313)), definimos x% como o valor baixo percentual ey% o valor alto percentual em relação a um valor de referência do sinal cujo tempo de subida deve ser estimado .
  • t 1 é o tempo em que a saída do sistema em análise está em x% do valor de regime permanente, enquanto t 2 é aquele em que está em y% , ambos medidos em segundos .
  • t r é o tempo de subida do sistema analisado, medido em segundos. Por definição,
  • f L é a menor frequência de corte (ponto -3 dB) do sistema analisado, medida em hertz .
  • f H é a maior frequência de corte (ponto -3 dB) do sistema analisado, medida em hertz.
  • h ( t ) é a resposta ao impulso do sistema analisado no domínio do tempo.
  • H ( ω ) é a resposta em frequência do sistema analisado no domínio da frequência.
  • A largura de banda é definida como
    e uma vez que a frequência de corte mais baixa f L é geralmente várias décadas menor do que a frequência de corte mais alta f H ,
  • Todos os sistemas analisados ​​aqui têm uma resposta de frequência que se estende até 0 (sistemas passa-baixo), portanto
    exatamente.
  • Por uma questão de simplicidade, todos os sistemas analisados ​​na seção " Exemplos simples de cálculo do tempo de subida " são redes elétricas de ganho unitário , e todos os sinais são pensados ​​como tensões : a entrada é uma função degrau de V 0 volts , e isso implica que
  • ζ é a razão de amortecimento e ω 0 é a frequência natural de um determinado sistema de segunda ordem .

Exemplos simples de cálculo do tempo de subida

O objetivo desta seção é o cálculo do tempo de subida da resposta ao degrau para alguns sistemas simples:

Sistema de resposta gaussiana

Diz-se que um sistema tem uma resposta gaussiana se for caracterizado pela seguinte resposta de frequência

onde σ > 0 é uma constante, relacionada à alta frequência de corte pela seguinte relação:

Mesmo se este tipo de resposta em frequência não for realizável por um filtro causal , sua utilidade reside no fato de que o comportamento de uma conexão em cascata de filtros passa-baixo de primeira ordem se aproxima do comportamento deste sistema mais de perto conforme o número de estágios em cascata assintoticamente aumenta para o infinito . A resposta de impulso correspondente pode ser calculada usando a transformada de Fourier inversa da resposta de frequência mostrada

Aplicando diretamente a definição de resposta ao degrau ,

Para determinar o tempo de subida de 10% a 90% do sistema, é necessário resolver para o tempo as duas equações a seguir:

Usando propriedades conhecidas da função de erro , o valor t = - t 1 = t 2 é encontrado: uma vez que t r = t 2 - t 1 = 2 t ,

e finalmente

Rede RC de passagem baixa de um estágio

Para uma rede RC passa baixa de um estágio simples , o tempo de subida de 10% a 90% é proporcional à constante de tempo da rede τ = RC :

A constante de proporcionalidade pode ser derivada do conhecimento da resposta ao degrau da rede para um sinal de entrada de função de degrau de unidade de amplitude V 0 :

Resolvendo para o tempo

e finalmente,

Uma vez que t 1 e t 2 são tais que

resolvendo essas equações, encontramos a expressão analítica para t 1 e t 2 :

O tempo de subida é, portanto, proporcional à constante de tempo:

Agora, observando que

então

e uma vez que o corte de alta frequência é igual à largura de banda,

Finalmente, observe que, se o tempo de subida de 20% a 80% for considerado, t r se torna:

Rede LR passa-baixa de um estágio

Mesmo para um simples de uma fase da rede RL passa-baixo, a 10% a 90% de tempo de subida é proporcional ao tempo de rede constante τ = L / R . A prova formal desta afirmação procede exatamente como mostrado na seção anterior: a única diferença entre as expressões finais para o tempo de subida é devido à diferença nas expressões para a constante de tempo τ dos dois circuitos diferentes, levando no caso presente para o seguinte resultado

Tempo de aumento de sistemas amortecidos de segunda ordem

De acordo com Levine (1996 , p. 158), para sistemas subamortecidos usados ​​na teoria de controle, o tempo de subida é comumente definido como o tempo para uma forma de onda ir de 0% a 100% de seu valor final: consequentemente, o tempo de subida de 0 a 100% de um sistema subamortecido de 2ª ordem tem a seguinte forma:

A aproximação quadrática para o tempo de subida normalizado para um sistema de 2ª ordem, resposta ao degrau , sem zeros é:

onde ζ é a razão de amortecimento e ω 0 é a frequência natural da rede.

Tempo de subida de blocos em cascata

Considere um sistema composto por n blocos não interagindo em cascata, cada um tendo um tempo de subida t r i , i = 1, ..., n , e sem overshoot em sua resposta ao degrau : suponha também que o sinal de entrada do primeiro bloco tem um tempo de subida cujo valor é t r S . Posteriormente, seu sinal de saída tem um tempo de subida t r 0 igual a

De acordo com Valley & Wallman (1948 , pp. 77-78), este resultado é uma consequência do teorema do limite central e foi provado por Wallman (1950) : no entanto, uma análise detalhada do problema é apresentada por Petitt & McWhorter (1961 , §4–9, pp. 107-115), que também credita Elmore (1948) como o primeiro a provar a fórmula anterior em uma base um tanto rigorosa.

Veja também

Notas

Referências