Álgebra do espaço-tempo - Spacetime algebra

Em física matemática , álgebra do espaço-tempo (STA) é um nome para a álgebra de Clifford Cl _1,3 ( R ), ou equivalentemente a álgebra geométrica G ( M ⁴ ) . De acordo com David Hestenes , a álgebra do espaço-tempo pode estar particularmente associada à geometria da relatividade especial e do espaço-tempo relativístico .

É um espaço vetorial que permite não apenas vetores , mas também bivetores (quantidades direcionadas associadas a planos particulares, como áreas ou rotações) ou lâminas (quantidades associadas a hipervolumes particulares) a serem combinados, bem como girados , refletidos , ou Lorentz impulsionado . É também a álgebra parental natural dos espinores na relatividade especial. Essas propriedades permitem que muitas das equações mais importantes da física sejam expressas de formas particularmente simples e podem ser muito úteis para uma compreensão mais geométrica de seus significados.

Estrutura

A álgebra do espaço-tempo pode ser construída a partir de uma base ortogonal de um vetor semelhante ao tempo e três vetores semelhantes ao espaço , com a regra de multiplicação ${\ displaystyle \ gamma _ {0}}$${\ displaystyle \ {\ gamma _ {1}, \ gamma _ {2}, \ gamma _ {3} \}}$

${\ displaystyle \ gamma _ {\ mu} \ gamma _ {\ nu} + \ gamma _ {\ nu} \ gamma _ {\ mu} = 2 \ eta _ {\ mu \ nu}}$

onde está a métrica de Minkowski com assinatura (+ - - -) . ${\ displaystyle \ eta _ {\ mu \ nu}}$

Assim, , , de outra forma . ${\ displaystyle \ gamma _ {0} ^ {2} = {+ 1}}$${\ displaystyle \ gamma _ {1} ^ {2} = \ gamma _ {2} ^ {2} = \ gamma _ {3} ^ {2} = {- 1}}$${\ displaystyle \ gamma _ {\ mu} \ gamma _ {\ nu} = - \ gamma _ {\ nu} \ gamma _ {\ mu}}$

Os vetores de base compartilham essas propriedades com as matrizes de Dirac , mas nenhuma representação de matriz explícita precisa ser usada no STA. ${\ displaystyle \ gamma _ {k}}$

Isso gera uma base de um escalar , quatro vetores , seis bivetores , quatro pseudovetores e um pseudoescalar , onde . ${\ displaystyle \ {1 \}}$ ${\ displaystyle \ {\ gamma _ {0}, \ gamma _ {1}, \ gamma _ {2}, \ gamma _ {3} \}}$ ${\ displaystyle \ {\ gamma _ {0} \ gamma _ {1}, \, \ gamma _ {0} \ gamma _ {2}, \, \ gamma _ {0} \ gamma _ {3}, \, \ gamma _ {1} \ gamma _ {2}, \, \ gamma _ {2} \ gamma _ {3}, \, \ gamma _ {3} \ gamma _ {1} \}}$ ${\ displaystyle \ {i \ gamma _ {0}, i \ gamma _ {1}, i \ gamma _ {2}, i \ gamma _ {3} \}}$ ${\ displaystyle \ {i \}}$${\ displaystyle i = \ gamma _ {0} \ gamma _ {1} \ gamma _ {2} \ gamma _ {3}}$

Quadro recíproco

Associada à base ortogonal está a base recíproca para satisfazer a relação ${\ displaystyle \ {\ gamma _ {\ mu} \}}$${\ displaystyle \ {\ gamma ^ {\ mu} = {\ gamma _ {\ mu}} ^ {- 1} \}}$${\ displaystyle \ mu = 0, \ dots, 3}$

${\ displaystyle \ gamma _ {\ mu} \ cdot \ gamma ^ {\ nu} = {\ delta _ {\ mu}} ^ {\ nu}.}$

Esses vetores de quadro recíprocos diferem apenas por um sinal, com e para . ${\ displaystyle \ gamma ^ {0} = \ gamma _ {0}}$${\ displaystyle \ gamma ^ {k} = - \ gamma _ {k}}$${\ displaystyle k = 1, \ dots, 3}$

Um vetor pode ser representado em coordenadas de índice superior ou inferior com somatório , de acordo com a notação de Einstein , onde as coordenadas podem ser extraídas tomando produtos escalares com os vetores de base ou seus recíprocos. ${\ displaystyle a = a ^ {\ mu} \ gamma _ {\ mu} = a _ {\ mu} \ gamma ^ {\ mu}}$${\ displaystyle \ mu = 0, \ dots, 3}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} a \ cdot \ gamma ^ {\ nu} & = a ^ {\ nu} \\ a \ cdot \ gamma _ {\ nu} & = a _ {\ nu}. \ end { alinhado}}}$

Gradiente de espaço-tempo

O gradiente do espaço-tempo, como o gradiente em um espaço euclidiano, é definido de forma que a relação de derivada direcional seja satisfeita:

${\ displaystyle a \ cdot \ nabla F (x) = \ lim _ {\ tau \ rightarrow 0} {\ frac {F (x + a \ tau) -F (x)} {\ tau}}.}$

Isso requer que a definição do gradiente seja

${\ displaystyle \ nabla = \ gamma ^ {\ mu} {\ frac {\ partial} {\ partial x ^ {\ mu}}} = \ gamma ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu}.}$

Escrito explicitamente com , essas parciais são ${\ displaystyle x = ct \ gamma _ {0} + x ^ {k} \ gamma _ {k}}$

${\ displaystyle \ partial _ {0} = {\ frac {1} {c}} {\ frac {\ partial} {\ partial t}}, \ quad \ partial _ {k} = {\ frac {\ partial} {\ parcial {x ^ {k}}}}}$

Divisão do espaço-tempo

Divisão espaço-tempo - exemplos:

${\ displaystyle x \ gamma _ {0} = x ^ {0} + \ mathbf {x}}$

${\ displaystyle p \ gamma _ {0} = E + \ mathbf {p}}$

${\ displaystyle v \ gamma _ {0} = \ gamma (1+ \ mathbf {v})}$

onde está o fator Lorentz${\ displaystyle \ gamma}$

${\ displaystyle \ nabla \ gamma _ {0} = \ partial _ {t} - \ nabla}$

Na álgebra do espaço-tempo, uma divisão do espaço - tempo é uma projeção do espaço quadridimensional para o espaço (3 + 1) -dimensional com um referencial escolhido por meio das duas operações a seguir:

• um colapso do eixo de tempo escolhido, rendendo um espaço 3D dividido por bivetores, e
• uma projeção do espaço 4D no eixo de tempo escolhido, produzindo um espaço 1D de escalares.

Isso é obtido por pré ou pós-multiplicação pelo vetor de base semelhante ao tempo , que serve para dividir um vetor quatro em um componente escalar semelhante ao do tempo e um bivetor semelhante ao espaço. Com nós temos ${\ displaystyle \ gamma _ {0}}$${\ displaystyle x = x ^ {\ mu} \ gamma _ {\ mu}}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} x \ gamma _ {0} & = x ^ {0} + x ^ {k} \ gamma _ {k} \ gamma _ {0} \\\ gamma _ {0} x & = x ^ {0} -x ^ {k} \ gamma _ {k} \ gamma _ {0} \ end {alinhado}}}$

Como esses bivetores se enquadram na unidade, eles servem como base espacial. Utilizando a notação de matriz de Pauli , eles são escritos . Os vetores espaciais em STA são indicados em negrito; então, com a divisão -spacetime e seu reverso são: ${\ displaystyle \ gamma _ {k} \ gamma _ {0}}$${\ displaystyle \ sigma _ {k} = \ gamma _ {k} \ gamma _ {0}}$${\ displaystyle \ mathbf {x} = x ^ {k} \ sigma _ {k}}$${\ displaystyle \ gamma _ {0}}$${\ displaystyle x \ gamma _ {0}}$${\ displaystyle \ gamma _ {0} x}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} x \ gamma _ {0} & = x ^ {0} + x ^ {k} \ sigma _ {k} = x ^ {0} + \ mathbf {x} \\\ gamma _ {0} x & = x ^ {0} -x ^ {k} \ sigma _ {k} = x ^ {0} - \ mathbf {x} \ end {alinhado}}}$

Divisão multivetor

A álgebra espaço-tempo não é uma álgebra divisão , porque contém elementos idempotentes e diferentes de zero divisores de zero : . Estes podem ser interpretados como projetores nas relações de cone de luz e ortogonalidade para tais projetores, respectivamente. Mas, em alguns casos, é possível dividir uma quantidade multivetorial por outra e dar sentido ao resultado: assim, por exemplo, uma área direcionada dividida por um vetor no mesmo plano dá outro vetor, ortogonal ao primeiro. ${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} (1 \ pm \ gamma _ {0} \ gamma _ {i})}$${\ displaystyle (1+ \ gamma _ {0} \ gamma _ {i}) (1- \ gamma _ {0} \ gamma _ {i}) = 0}$

Descrição da álgebra do espaço-tempo da física não relativística

Mecânica quântica não relativística

A álgebra de espaço-tempo permite a descrição da partícula de Pauli em termos de uma teoria real no lugar de uma teoria de matriz. A descrição da teoria da matriz da partícula de Pauli é:

${\ displaystyle i \ hbar \, \ partial _ {t} \ Psi = H_ {S} \ Psi - {\ frac {e \ hbar} {2mc}} \, {\ hat {\ sigma}} \ cdot \ mathbf {B} \ Psi,}$

onde é a unidade imaginária sem interpretação geométrica, são as matrizes de Pauli (com a notação 'chapéu' indicando que é um operador de matriz e não um elemento na álgebra geométrica), e é o Hamiltoniano de Schrödinger. Na álgebra do espaço-tempo, a partícula de Pauli é descrita pela equação real de Pauli-Schrödinger:${\ displaystyle i}$${\ displaystyle {\ hat {\ sigma}} _ {i}}$${\ displaystyle {\ hat {\ sigma}}}$${\ displaystyle H_ {S}}$

${\ displaystyle \ partial _ {t} \ psi \, i \ sigma _ {3} \, \ hbar = H_ {S} \ psi - {\ frac {e \ hbar} {2mc}} \, \ mathbf {B } \ psi \ sigma _ {3},}$

onde agora é o pseudoescalar unidade , e e são elementos da álgebra geométrico, com um mesmo multi-vector; é novamente o Hamiltoniano de Schrödinger. Hestenes se refere a isso como a teoria real de Pauli-Schrödinger para enfatizar que essa teoria se reduz à teoria de Schrödinger se o termo que inclui o campo magnético for abandonado. ${\ displaystyle i}$${\ displaystyle i = \ sigma _ {1} \ sigma _ {2} \ sigma _ {3}}$${\ displaystyle \ psi}$${\ displaystyle \ sigma _ {3}}$${\ displaystyle \ psi}$${\ displaystyle H_ {S}}$

Descrição da álgebra do espaço-tempo da física relativística

Mecânica quântica relativística

A função de onda quântica relativística às vezes é expressa como um campo spinor , ou seja,

${\ displaystyle \ psi = e ^ {{\ frac {1} {2}} (\ mu + \ beta i + \ phi)},}$

onde está um bivetor, e ${\ displaystyle \ phi}$

${\ displaystyle \ psi = R (\ rho e ^ {i \ beta}) ^ {\ frac {1} {2}},}$

onde, de acordo com a sua derivação por David Hestenes , é uma função ainda multivetorial-valorizado em espaço-tempo, é um espinor unimodular (ou “rotor”), e e são funções escalares-valorizado. ${\ displaystyle \ psi = \ psi (x)}$${\ displaystyle R = R (x)}$${\ displaystyle \ rho = \ rho (x)}$${\ displaystyle \ beta = \ beta (x)}$

Esta equação é interpretada como uma conexão do spin com o pseudoescalar imaginário. é visto como uma rotação de Lorentz que um quadro de vetores em outro quadro de vetores pela operação , onde o símbolo de til indica o reverso (o reverso é freqüentemente também denotado pelo símbolo de adaga, veja também Rotações em álgebra geométrica ). ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle \ gamma _ {\ mu}}$${\ displaystyle e _ {\ mu}}$${\ displaystyle e _ {\ mu} = R \ gamma _ {\ mu} {\ tilde {R}}}$

Isso foi estendido para fornecer uma estrutura para observáveis ​​de valor escalar e vetorial localmente variáveis ​​e suporte para a interpretação de Zitterbewegung da mecânica quântica originalmente proposta por Schrödinger .

Hestenes comparou sua expressão para com a expressão de Feynman para isso na formulação integral de caminho: ${\ displaystyle \ psi}$

${\ displaystyle \ psi = e ^ {i \ Phi _ {\ lambda} / \ hbar},}$

onde está a ação clássica ao longo do -path. ${\ displaystyle \ Phi _ {\ lambda}}$${\ displaystyle \ lambda}$

A álgebra de espaço-tempo permite uma descrição da partícula de Dirac em termos de uma teoria real no lugar de uma teoria de matriz. A descrição da teoria da matriz da partícula de Dirac é:

${\ displaystyle {\ hat {\ gamma}} ^ {\ mu} (\ mathbf {j} \ partial _ {\ mu} -e \ mathbf {A} _ {\ mu}) | \ psi \ rangle = m | \ psi \ rangle,}$

onde estão as matrizes de Dirac. Na álgebra do espaço-tempo, a partícula de Dirac é descrita pela equação: ${\ displaystyle {\ hat {\ gamma}}}$

${\ displaystyle \ nabla \ psi \, i \ sigma _ {3} - \ mathbf {A} \ psi = m \ psi \ gamma _ {0}}$

Aqui, e são elementos da álgebra geométrica e é a derivada do vetor espaço-tempo. ${\ displaystyle \ psi}$${\ displaystyle \ sigma _ {3}}$${\ displaystyle \ nabla = \ gamma ^ {\ mu} \ parcial _ {\ mu}}$

Uma nova formulação da relatividade geral

Lasenby, Doran e Gull, da Universidade de Cambridge, propuseram uma nova formulação de gravidade, denominada teoria de calibre da gravidade (GTG), em que a álgebra do espaço-tempo é usada para induzir curvatura no espaço de Minkowski enquanto admite uma simetria de calibre sob "remapeamento suave arbitrário de eventos no espaço-tempo "(Lasenby, et al.); uma derivação não trivial, então, leva à equação geodésica,

${\ displaystyle {\ frac {d} {d \ tau}} R = {\ frac {1} {2}} (\ Omega - \ omega) R}$

e a derivada covariante

${\ displaystyle D _ {\ tau} = \ partial _ {\ tau} + {\ frac {1} {2}} \ omega,}$

onde está a conexão associada ao potencial gravitacional e é uma interação externa, como um campo eletromagnético. ${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle \ Omega}$

A teoria mostra alguma promessa para o tratamento de buracos negros, já que sua forma da solução de Schwarzschild não se quebra em singularidades; a maioria dos resultados da relatividade geral foi reproduzida matematicamente, e a formulação relativística da eletrodinâmica clássica foi estendida à mecânica quântica e à equação de Dirac .

Veja também

• Álgebra geométrica
• Álgebra de Dirac
• Equação de Dirac
• Relatividade geral

Referências

• Lasenby, A .; Doran, C .; Gull, S. (1998), "Gravity, gauge theories and geometric algebra", Phil. Trans. R. Soc. Lond. A , 356 (1737): 487-582, arXiv : gr-Qc / 0405033 , bibcode : 1998RSPTA.356..487L , doi : 10.1098 / rsta.1998.0178
• Doran, Chris; Lasenby, Anthony (2003), Geometric Algebra for Physicists , Cambridge University Press , ISBN   978-0-521-48022-2
• Hestenes, David (2015) [1966], Space – Time Algebra (2ª ed.), Birkhäuser
• Hestenes, David; Sobczyk (1984), Clifford Algebra to Geometric Calculus , Springer Verlag, ISBN   978-90-277-1673-6
• Hestenes, David (1973), "Local observables in the Dirac theory", Journal of Mathematical Physics , 14 (7): 893–905, Bibcode : 1973JMP .... 14..893H , CiteSeerX   10.1.1.412.7214 , doi : 10.1063 / 1.1666413
• Hestenes, David (1967), "Real Spinor Fields", Journal of Mathematical Physics , 8 (4): 798-808, Bibcode : 1967JMP ..... 8..798H , doi : 10.1063 / 1.1705279

links externos

• Os números imaginários não são reais - a álgebra geométrica do espaço-tempo , uma introdução tutorial às ideias da álgebra geométrica, por S. Gull, A. Lasenby, C. Doran
• Notas de curso de Aplicações Físicas de Álgebra Geométrica , ver especialmente a parte 2.
• Grupo de álgebra geométrica da Universidade de Cambridge
• Pesquisa e desenvolvimento de cálculo geométrico