Expansão da série - Series expansion

Uma animação que mostra a função cosseno sendo aproximada por truncamentos de sua série de Taylor .

Em matemática , uma expansão em série é uma expansão de uma função em uma série ou soma infinita. É um método de cálculo de uma função que não pode ser expressa apenas por operadores elementares (adição, subtração, multiplicação e divisão).

A assim chamada série resultante muitas vezes pode ser limitada a um número finito de termos, produzindo assim uma aproximação da função. Quanto menos termos da sequência forem usados, mais simples será essa aproximação. Freqüentemente, a imprecisão resultante (isto é, a soma parcial dos termos omitidos) pode ser descrita por uma equação envolvendo a notação Big O (veja também expansão assintótica ). A expansão da série em um intervalo aberto também será uma aproximação para funções não analíticas .

Existem vários tipos de expansões em série, como:

• Série de Taylor : uma série de potências baseada nas derivadas de uma função em um único ponto.
• Série Maclaurin : Um caso especial de uma série de Taylor, centrada em zero.
• Série de Laurent : uma extensão da série de Taylor, permitindo valores expoentes negativos.
• Série de Dirichlet : usado na teoria dos números .
• Série de Fourier : descreve as funções periódicas como uma série de funções seno e cosseno . Em acústica , por exemplo, o tom fundamental e os sobretons juntos formam um exemplo de uma série de Fourier.
• Série newtoniana
• Polinômios de Legendre : usados ​​em física para descrever um campo elétrico arbitrário como uma superposição de um campo dipolo , um campo quadrupolo , um campo octupolo , etc.
• Polinômios de Zernike : usados ​​em óptica para calcular aberrações de sistemas ópticos. Cada termo da série descreve um tipo específico de aberração.
• Série Stirling : usada como uma aproximação para fatoriais .

Exemplos

A seguir está a série Taylor de : ${\ displaystyle e ^ {x}}$

${\ displaystyle e ^ {x} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {x ^ {n}} {n!}} = 1 + x + {\ frac {x ^ {2} } {2}} + {\ frac {x ^ {3}} {6}} ...}$

Referências

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• v
• t
• e