Quadrupolo - Quadrupole

Um quadrupolo ou quadrupolo é um de uma seqüência de configurações de coisas como carga elétrica ou corrente, ou massa gravitacional que podem existir na forma ideal, mas, geralmente, é apenas parte de uma expansão multipolar de uma estrutura mais complexa refletindo várias ordens de complexidade.

Definição matemática

O tensor de momento quadrupolo Q é um tensor de segunda ordem —3 × 3 matriz. Existem várias definições, mas normalmente é declarado na forma sem rastros (ou seja ). O tensor de momento quadrupolo tem, portanto, 9 componentes, mas por causa da simetria de transposição e da propriedade de traço zero , nesta forma apenas 5 deles são independentes. ${\ displaystyle Q_ {xx} + Q_ {yy} + Q_ {zz} = 0}$

Para um sistema discreto de cargas pontuais ou massas no caso de um quadrupolo gravitacional , cada um com carga ou massa e posição em relação à origem do sistema de coordenadas, os componentes da matriz Q são definidos por: ${\ displaystyle q_ {l}}$${\ displaystyle m_ {l}}$${\ displaystyle {\ vec {r_ {l}}} = \ left (r_ {xl}, r_ {yl}, r_ {zl} \ right)}$

${\ displaystyle Q_ {ij} = \ sum _ {l} q_ {l} \ left (3r_ {il} r_ {jl} - \ left \ | {\ vec {r_ {l}}} \ right \ | ^ { 2} \ delta _ {ij} \ right)}$.

Os índices correm sobre as coordenadas cartesianas e é o delta de Kronecker . Isso significa que deve ser igual, até o sinal, às distâncias do ponto aos hiperplanos mutuamente perpendiculares para que o delta de Kronecker seja igual a 1. ${\ displaystyle i, j}$ ${\ displaystyle x, y, z}$${\ displaystyle \ delta _ {ij}}$${\ displaystyle x, y, z}$${\ displaystyle n}$

Na forma não sem rastros, o momento quadrupolo é algumas vezes declarado como:

${\ displaystyle Q_ {ij} = \ sum _ {l} q_ {l} r_ {il} r_ {jl}}$

com este formulário vendo algum uso na literatura sobre o método multipolo rápido . A conversão entre essas duas formas pode ser facilmente alcançada usando um operador de detracing.

Para um sistema contínuo com densidade de carga, ou densidade de massa,, os componentes de Q são definidos pela integral sobre o espaço cartesiano r : ${\ displaystyle \ rho (x, y, z)}$

${\ displaystyle Q_ {ij} = \ int \, \ rho (\ mathbf {r}) \ left (3r_ {i} r_ {j} - \ left \ | {\ vec {r}} \ right \ | ^ { 2} \ delta _ {ij} \ right) \, d ^ {3} \ mathbf {r}}$

Como acontece com qualquer momento multipolo, se um momento de ordem inferior, monopolo ou dipolo neste caso, for diferente de zero, então o valor do momento quadrupolo depende da escolha da origem da coordenada . Por exemplo, um dipolo de duas cargas de ponto de mesma intensidade de sinal oposto, que não tem momento monopolo, pode ter um momento quadrupolo diferente de zero se a origem for deslocada para longe do centro da configuração exatamente entre as duas cargas; ou o momento quadrupolo pode ser reduzido a zero com a origem no centro. Em contraste, se os momentos monopolo e dipolo desaparecem, mas o momento quadrupolo não, por exemplo, quatro cargas de mesma força, dispostas em um quadrado, com sinais alternados, então o momento quadrupolo é independente de coordenadas.

Se cada carga é a fonte de um campo "potencial", como o campo elétrico ou gravitacional , a contribuição para o potencial do campo a partir do momento quadrupolo é: ${\ displaystyle 1 / r}$

${\ displaystyle V _ {\ text {q}} (\ mathbf {R}) = {\ frac {k} {| \ mathbf {R} | ^ {3}}} \ sum _ {i, j} {\ frac {1} {2}} Q_ {ij} \, {\ hat {R}} _ {i} {\ hat {R}} _ {j} \,}$

onde R é um vector com origem no sistema de encargos e R é o vector de unidade na direcção de R . Aqui, é uma constante que depende do tipo de campo e das unidades que estão sendo usadas. Os fatores são componentes do vetor unitário do ponto de interesse até a localização do momento quadrupolo. ${\ displaystyle k}$${\ displaystyle {\ hat {R}} _ {i}, {\ hat {R}} _ {j}}$

Quadrupolo elétrico

O exemplo mais simples de um quadrupolo elétrico consiste em cargas positivas e negativas alternadas, dispostas nos cantos de um quadrado. O momento monopolo (apenas a carga total) desse arranjo é zero. Da mesma forma, o momento dipolar é zero, independentemente da origem da coordenada que foi escolhida. Mas o momento quadrupolo do arranjo no diagrama não pode ser reduzido a zero, independentemente de onde colocamos a origem da coordenada. O potencial elétrico de um quadrupolo de carga elétrica é dado por

${\ displaystyle V _ {\ text {q}} (\ mathbf {R}) = {\ frac {1} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} {\ frac {1} {| \ mathbf {R} | ^ {3}}} \ sum _ {i, j} {\ frac {1} {2}} Q_ {ij} \, {\ hat {R}} _ {i} {\ hat {R}} _ {j} \,}$

onde é a permissividade elétrica , e segue a definição acima. ${\ displaystyle \ epsilon _ {0}}$${\ displaystyle Q_ {ij}}$

Generalização: multipolares superiores

Uma generalização extrema (" octopolo pontual ") seria: Oito cargas pontuais alternadas nos oito cantos de um paralelepípedo , por exemplo, de um cubo com comprimento de aresta a . O "momento octopolo" desse arranjo corresponderia, no "limite da octopolo" a um tensor diagonal diferente de zero de ordem três. Multipolos ainda maiores, por exemplo, de ordem 2 ^l , seriam obtidos por arranjos dipolares (quadrupolares, octopolares, ...) de dipolos pontuais (quadrupolos, octopolos, ...), não monopolos pontuais, de ordem inferior, por exemplo, 2 ^{l− 1} . ${\ displaystyle \ lim _ {a \ to 0} {a ^ {3} \ cdot Q} \ to {\ text {const. }}}$

Quadrupolo magnético

Todas as fontes magnéticas conhecidas fornecem campos dipolo. No entanto, é possível fazer um quadrupolo magnético colocando quatro barras magnéticas idênticas perpendiculares entre si, de modo que o pólo norte de um fique próximo ao sul do outro. Tal configuração cancela o momento de dipolo e dá um momento de quadrupolo, e seu campo diminuirá em grandes distâncias mais rápido do que o de um dipolo.

Um exemplo de um quadrupolo magnético, envolvendo ímãs permanentes, é mostrado à direita. Eletroímãs de projeto conceitual semelhante (chamados de ímãs quadrupolo ) são comumente usados ​​para focalizar feixes de partículas carregadas em aceleradores de partículas e linhas de transporte de feixes, um método conhecido como foco forte . Existem quatro pontas de pólos de aço, dois pólos norte magnéticos opostos e dois pólos sul magnéticos opostos. O aço é magnetizado por uma grande corrente elétrica que flui nas bobinas de tubos que envolvem os pólos. Além disso, a intersecção quadrupolo-dipolo pode ser encontrada multiplicando o spin do nucleon desemparelhado por seu átomo-pai.

Um momento quadrupolo magnético variável produz radiação eletromagnética .

Quadrupolo gravitacional

O quadrupolo de massa é análogo ao quadrupolo de carga elétrica, onde a densidade de carga é simplesmente substituída pela densidade de massa e um sinal negativo é adicionado porque as massas são sempre positivas e a força é atrativa. O potencial gravitacional é então expresso como:

${\ displaystyle V _ {\ text {q}} (\ mathbf {R}) = - {\ frac {G} {2 | \ mathbf {R} | ^ {3}}} \ sum _ {i, j} Q_ {ij} \, {\ hat {R}} _ {i} {\ hat {R}} _ {j} \.}$

Por exemplo, como a Terra está girando, ela é achatada (achatada nos pólos). Isso dá a ele um momento quadrupolo diferente de zero. Embora a contribuição deste quadrupolo para o campo gravitacional da Terra seja extremamente importante para os satélites artificiais próximos à Terra, é menos importante para a Lua porque o termo cai rapidamente. ${\ displaystyle {\ frac {1} {| \ mathbf {R} | ^ {3}}}}$

O momento quadrupolo de massa também é importante na relatividade geral porque, se mudar com o tempo, pode produzir radiação gravitacional , semelhante à radiação eletromagnética produzida por dipolos elétricos ou magnéticos oscilantes e multipolos superiores. No entanto, apenas o quadrupolo e os momentos superiores podem irradiar gravitacionalmente. O monopolo de massa representa a massa-energia total em um sistema, que é conservada - portanto, não emite radiação. Da mesma forma, o dipolo de massa corresponde ao centro de massa de um sistema e sua primeira derivada representa o momento, que também é uma quantidade conservada, de modo que o dipolo de massa também não emite radiação. O quadrupolo de massa, no entanto, pode mudar com o tempo e é a contribuição de ordem inferior para a radiação gravitacional.

O exemplo mais simples e importante de um sistema radiante é um par de pontos de massa com massas iguais orbitando um ao outro em uma órbita circular, uma aproximação, por exemplo, ao caso especial de buracos negros binários . Uma vez que o momento dipolar é constante, podemos por conveniência colocar a origem da coordenada bem entre os dois pontos. Então o momento dipolar será zero, e se também escalarmos as coordenadas de modo que os pontos fiquem a uma unidade de distância do centro, na direção oposta, o momento quadrupolo do sistema será então simplesmente

${\ displaystyle Q_ {ij} = M \ left (3x_ {i} x_ {j} - | \ mathbf {x} | ^ {2} \ delta _ {ij} \ right)}$

onde M é a massa de cada ponto, e são componentes do vetor posição (unitário) de um dos pontos. À medida que orbitam, este vetor x irá girar, o que significa que terá um primeiro tempo diferente de zero e também a segunda derivada de tempo (isso é verdade, claro, independentemente da escolha do sistema de coordenadas). Portanto, o sistema irá irradiar ondas gravitacionais. A energia perdida dessa maneira foi inferida pela primeira vez no período de mudança do binário Hulse-Taylor , um pulsar em órbita com outra estrela de nêutrons de massa semelhante. ${\ displaystyle x_ {i}}$

Assim como a carga elétrica e as multipolares de corrente contribuem para o campo eletromagnético, as multipolares de massa e massa-corrente contribuem para o campo gravitacional na relatividade geral, causando os chamados efeitos gravitomagnéticos . Alterar multipolares de corrente de massa também pode emitir radiação gravitacional. No entanto, as contribuições dos multipolos atuais serão normalmente muito menores do que as do quadrupolo de massa.

Veja também

• Expansão multipolar
• Momentos multipolares
• Harmônicos sólidos
• Momentos multipolares axiais
• Momentos multipolares cilíndricos
• Momentos multipolares esféricos
• Expansão Laplace
• Polinômios de Legendre
• Armadilha de íon quadrupolo
• Analisador de massa quadrupolo
• Interação de troca multipolar
• Cabo quad estrela
• Lente magnética
• Fórmula quadrupolo

Referências

links externos

• Expansão multipolar