Triacontaedro rômbico - Rhombic triacontahedron
Triacontaedro rômbico | |
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(Clique aqui para modelo giratório) |
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Modelo | Sólido catalão |
Diagrama de Coxeter | |
Notação de Conway | jD |
Tipo de rosto | V3.5.3.5
losango |
Rostos | 30 |
Arestas | 60 |
Vértices | 32 |
Vértices por tipo | 20 {3} +12 {5} |
Grupo de simetria | I h , H 3 , [5,3], (* 532) |
Grupo de rotação | I, [5,3] + , (532) |
Ângulo diedro | 144 ° |
Propriedades | convexo, face-transitivo isohedral , isotoxal , zonohedron |
Icosidodecaedro ( poliedro duplo ) |
Internet |
Em geometria , o triacontaedro rômbico , às vezes chamado simplesmente de triaconaedro, por ser o poliedro mais comum de trinta faces, é um poliedro convexo com 30 faces rômbicas . Possui 60 arestas e 32 vértices de dois tipos. É um sólido catalão e o poliedro duplo do icosidodecaedro . É um zonoedro .
Uma face do triacontaedro rômbico. Os comprimentos das diagonais estão na proporção áurea . |
A proporção da diagonal longa para a diagonal curta de cada face é exatamente igual à proporção áurea , φ , de modo que os ângulos agudos em cada face medem 2 tan −1 ( 1 / φ ) = tan −1 (2) , ou aproximadamente 63,43 °. Um losango assim obtido é chamado de losango dourado .
Sendo o dual de um sólido arquimediano , o triacontaedro rômbico é transitivo de face , ou seja, o grupo de simetria do sólido atua transitivamente no conjunto de faces. Isso significa que para quaisquer duas faces, A e B, há uma rotação ou reflexão do sólido que o deixa ocupando a mesma região do espaço enquanto move a face A para a face B.
O triacontaedro rômbico é um tanto especial por ser um dos nove poliedros convexos transitivos de borda , sendo os outros os cinco sólidos platônicos , o cuboctaedro , o icosidodecaedro e o dodecaedro rômbico .
O triacontaedro rômbico também é interessante porque seus vértices incluem o arranjo de quatro sólidos platônicos. Ele contém dez tetraedros , cinco cubos , um icosaedro e um dodecaedro . Os centros das faces contêm cinco octaedros .
Ele pode ser feito de um octaedro truncado , dividindo as faces hexagonais em 3 losangos:
Coordenadas cartesianas
Deixe ser a proporção áurea . Os 12 pontos dados por e as permutações cíclicas dessas coordenadas são os vértices de um icosaedro regular . Seu dodecaedro regular duplo , cujas bordas se cruzam com as do icosaedro em ângulos retos, tem como vértices os 8 pontos junto com os 12 pontos e as permutações cíclicas dessas coordenadas. Todos os 32 pontos juntos são os vértices de um triacontaedro rômbico centrado na origem. O comprimento de suas bordas é . Suas faces têm diagonais com comprimentos e .
Dimensões
Se o comprimento da borda de um triacontaedro rômbico for a , área de superfície, volume, o raio de uma esfera inscrita ( tangente a cada uma das faces do triacontaedro rômbico) e o médio, que toca o meio de cada borda são:
onde φ é a proporção áurea .
A esfera interna é tangente aos rostos em seus centróides de rosto. As diagonais curtas pertencem apenas às bordas do dodecaedro regular inscrito, enquanto as diagonais longas são incluídas apenas nas bordas do icosaedro inscrito.
Dissecação
O triacontaedro rômbico pode ser dissecado em 20 romboedros dourados : 10 agudos e 10 obtusos.
10 | 10 |
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Forma aguda |
Forma obtusa |
Projeções ortogonais
O triacontaedro rômbico tem quatro posições de simetria, duas centradas nos vértices, uma no meio da face e uma no meio. Embutidos na projeção "10" estão o losango "gordo" e o losango "magro", que são lado a lado para produzir a tesselação não periódica muitas vezes referida como ladrilho de Penrose .
Simetria projetiva |
[2] | [2] | [6] | [10] |
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Imagem | ||||
Imagem dupla |
Estelações
O triacontaedro rômbico tem 227 estrelações totalmente suportadas. Outra estrelação do triacontaedro Rhômbico é o composto de cinco octaedros . O número total de estrelações do triacontaedro rômbico é 358.833.097.
Poliedros relacionados
Família de poliedros icosaédricos uniformes | |||||||
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Simetria : [5,3] , (* 532) | [5,3] + , (532) | ||||||
{5,3} | t {5,3} | r {5,3} | t {3,5} | {3,5} | rr {5,3} | tr {5,3} | sr {5,3} |
Duals para uniformizar poliedros | |||||||
V5.5.5 | V3.10.10 | V3.5.3.5 | V5.6.6 | V3.3.3.3.3 | V3.4.5.4 | V4.6.10 | V3.3.3.3.5 |
Este poliedro é uma parte de uma sequência de poliedros rômbicos e revestimentos com [ n , 3] simetria de grupo de Coxeter . O cubo pode ser visto como um hexaedro rômbico, onde os rombos também são retângulos.
Mutações de simetria de tilings quasi-regulares duplos: V (3.n) 2 | |||||||||||
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* n32 | Esférico | Euclidiana | Hiperbólico | ||||||||
* 332 | * 432 | * 532 | * 632 | * 732 | * 832 ... | * ∞32 | |||||
Revestimento | |||||||||||
Conf. | V (3,3) 2 | V (3,4) 2 | V (3,5) 2 | V (3,6) 2 | V (3,7) 2 | V (3,8) 2 | V (3.∞) 2 |
Um triacontaedro rômbico com um tetraedro inscrito (vermelho) e cubo (amarelo).
(Clique aqui para modelo giratório)Um triacontaedro rômbico com um dodecaedro (azul) e um icosaedro (roxo) inscritos.
(Clique aqui para modelo giratório)
6 cubos
O triacontaedro rômbico forma um casco convexo de 32 vértices de uma projeção de um cubo de 6 a três dimensões.
Os vetores de base 3D [u, v, w] são:
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Mostrado com bordas internas ocultas 20 dos 32 vértices internos formam um dodecaedro , e os 12 restantes formam um icosaedro . |
Usos
O designer dinamarquês Holger Strøm usou o triacontaedro rômbico como base para o projeto de sua lâmpada IQ-light (IQ para "Quadriláteros Intertravados").
A marceneira Jane Kostick constrói caixas na forma de um triacontaedro rômbico. A construção simples é baseada na relação nada óbvia entre o triacontaedro rômbico e o cubo.
"Ball of Whacks" de Roger von Oech tem a forma de um triacontaedro rômbico.
O triacontaedro rômbico é usado como o dado " d30 " de trinta lados, às vezes útil em alguns jogos de RPG ou outros lugares.
Christopher Bird, coautor de The Secret Life of Plants escreveu um artigo para o New Age Journal em maio de 1975, popularizando o icosaedro e o dodecaedro dual como "a estrutura cristalina da Terra", um modelo da "energia (telúrica) da Terra Rede." The EarthStar Globe, de Bill Becker e Bethe A. Hagens, pretende mostrar "a geometria natural da Terra e a relação geométrica entre lugares sagrados como a Grande Pirâmide, o Triângulo das Bermudas e a Ilha de Páscoa". É impresso como um triacontaedro rômbico, em 30 diamantes, e se dobra em um globo.
Veja também
Referências
- ^ Stephen Wolfram , " [1] " de Wolfram Alpha . Retirado em 7 de janeiro de 2013.
- ^ [2]
- ^ Dissecção do triacontaedro rômbico
- ^ Pawley, GS (1975). "O 227 triacontahedra". Geometriae Dedicata . Kluwer Academic Publishers. 4 (2–4): 221–232. doi : 10.1007 / BF00148756 . ISSN 1572-9168 .
- ^ Messer, PW (1995). "Estelações do Triacontahedron Rhômbico e Além". Topologia Estrutural . 21 : 25–46.
- ^ caixa triacontahedron - KO Sticks LLC
- ^ http://www.vortexmaps.com/grid-history.php
- Williams, Robert (1979). The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design . Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-23729-X . (Seção 3-9)
- Wenninger, Magnus (1983), Dual Models , Cambridge University Press , doi : 10.1017 / CBO9780511569371 , ISBN 978-0-521-54325-5 , MR 0730208 (Os treze poliedros convexos semirregulares e seus duais, p. 22, Triacontaedro rômbico)
- The Symmetry of Things 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, ISBN 978-1-56881-220-5 [3] (Capítulo 21, Naming the Archimedean and Catalan polyhedra and tilings, p. 285, Rhombic triacontahedron)
links externos
- Eric W. Weisstein , Rhombic triacontahedron ( catalão sólido ) em MathWorld .
- Triacontraedro rômbico - modelo poliedro interativo
- Poliedros de realidade virtual - A enciclopédia dos poliedros
- Estelações de Triacontahedron Rhômbico
- Globo da EarthStar - projeção do mapa Rhômbico Triacontahedral
- IQ-light - lâmpada do designer espanhol Holger Strøm
- Faça o seu próprio
- uma construção de madeira de uma caixa triacontahedron rômbica - pela marceneira Jane Kostick
- 120 Triacontahedra Rhômbica , 30 + 12 Triacontahedra Rhômbica , e 12 Triacontahedra Rhômbica por Sándor Kabai, The Wolfram Demonstrations Project
- Uma víbora desenhada em um triacontaedro rômbico .