Base imaginária de um quarto - Quater-imaginary base

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Lista de sistemas numéricos
v t e

O quater-imaginário sistema de numeração foi proposto pela primeira vez por Donald Knuth em 1960. É um sistema de numeração posicionai não padrão que utiliza o número imaginário 2 i como a sua base de . É capaz de representar ( quase ) exclusivamente cada número complexo usando apenas os dígitos 0, 1, 2 e 3. (Números menores que zero, que são normalmente representados com um sinal de menos, são representáveis ​​como cadeias de dígitos em um quater imaginário; por exemplo, o número -1 é representado como "103" na notação imaginária de um quarto.)

Decompor o quater-imaginário

${\ displaystyle \ ldots d_ {3} d_ {2} d_ {1} d_ {0} .d _ {- 1} d _ {- 2} d _ {- 3} \ ldots}$ meios

${\ displaystyle \ dots + d_ {3} \ cdot b ^ {3} + d_ {2} \ cdot b ^ {2} + d_ {1} \ cdot b + d_ {0} + d _ {- 1} \ cdot b ^ {- 1} + d _ {- 2} \ cdot b ^ {- 2} + d _ {- 3} \ cdot b ^ {- 3} \ dots}$

${\ displaystyle b = 2i}$ .

como sabemos,

${\ displaystyle (2i) ^ {2} = - 4}$ .

tão,

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} & {} \ dots + d_ {3} \ cdot (2i) ^ {3} + d_ {2} \ cdot (2i) ^ {2} + d_ {1} \ cdot ( 2i) + d_ {0} + d _ {- 1} \ cdot (2i) ^ {- 1} + d _ {- 2} \ cdot (2i) ^ {- 2} + d _ {- 3} \ cdot (2i) ^ {- 3} \ dots \\ = & {} [\ dots d_ {4} \ cdot (-4) ^ {2} + d_ {2} \ cdot (-4) ^ {1} + d_ {0} + d _ {- 2} \ cdot (-4) ^ {- 1} + \ dots] + 2i \ cdot [\ dots + d_ {5} \ cdot (-4) ^ {2} + d_ {3} \ cdot (-4) ^ {1} + d_ {1} + d _ {- 1} \ cdot (-4) ^ {- 1} + d _ {- 3} \ cdot (-4) ^ {- 2} + \ pontos ] \ end {alinhado}}}$ .

As partes reais e imaginárias desse número complexo são, portanto, prontamente expressas na base −4 como e, respectivamente. ${\ displaystyle \ ldots d_ {4} d_ {2} d_ {0} .d _ {- 2} \ ldots}$${\ displaystyle 2 \ cdot (\ ldots d_ {5} d_ {3} d_ {1} .d _ {- 1} d _ {- 3} \ ldots)}$

Convertendo do imaginário de um quarto

Poderes de 2 i

k	(2 i ) k
-5	- i / 32
-4	1/16
-3	i / 8
-2	-1/4
-1	- i / 2
0	1
1	2 eu
2	-4
3	-8 i
4	16
5	32 i
6	-64
7	-128 i
8	256

Para converter uma string de dígitos do sistema imaginário de um quarto para o sistema decimal, a fórmula padrão para sistemas de números posicionais pode ser usada. Isso diz que uma string de dígitos na base b pode ser convertida em um número decimal usando a fórmula ${\ displaystyle \ ldots d_ {3} d_ {2} d_ {1} d_ {0}}$

${\ displaystyle \ cdots + d_ {3} \ cdot b ^ {3} + d_ {2} \ cdot b ^ {2} + d_ {1} \ cdot b + d_ {0}}$

Para o sistema imaginário quater ,. ${\ displaystyle b = 2i}$

Além disso, para uma determinada string na forma , a fórmula abaixo pode ser usada para um determinado comprimento de string na base ${\ displaystyle d}$${\ displaystyle d_ {w-1}, d_ {w-2}, \ dots d_ {0}}$${\ displaystyle w}$${\ displaystyle b}$

${\ displaystyle Q2D_ {w} {\ vec {d}} \ equiv \ sum _ {k = 0} ^ {w-1} d_ {k} \ cdot b ^ {k}}$

Exemplo

Para converter a string em um número decimal, preencha a fórmula acima: ${\ displaystyle 1101_ {2i}}$

${\ displaystyle 1 \ cdot (2i) ^ {3} +1 \ cdot (2i) ^ {2} +0 \ cdot (2i) ^ {1} +1 \ cdot (2i) ^ {0} = - 8i- 4 + 0 + 1 = -3-8i}$

Outro exemplo mais longo: na base 10 está ${\ displaystyle 1030003_ {2i}}$

${\ displaystyle 1 \ cdot (2i) ^ {6} +3 \ cdot (2i) ^ {4} +3 \ cdot (2i) ^ {0} = - 64 + 3 \ cdot 16 + 3 = -13}$

Convertendo-se em um quater-imaginário

Também é possível converter um número decimal em um número no sistema imaginário de um quarto. Cada número complexo (cada número na forma a + bi ) tem uma representação imaginária de um quarto. A maioria dos números tem uma representação imaginária quater única, mas assim como 1 tem as duas representações 1 = 0. 9 em notação decimal, então 1 / 5 tem as duas representações imaginárias de um quarto de 1. 0300 _{2 i} = 0. 0003 _{2 i} .

Para converter um número complexo arbitrário em um quater-imaginário, é suficiente dividir o número em seus componentes real e imaginário, converter cada um deles separadamente e, em seguida, adicionar os resultados intercalando os dígitos. Por exemplo, uma vez que −1 + 4 i é igual a −1 mais 4 i , a representação imaginária de um quarto de −1 + 4 i é a representação imaginária de um quarto de −1 (a saber, 103) mais a representação imaginária de um quarto de 4 i (ou seja, 20), o que dá um resultado final de −1 + 4 i = 123 _{2 i} .

Para encontrar a representação imaginária-quater do componente imaginário, basta multiplicar esse componente por 2 i , o que dá um número real; em seguida, encontre a representação imaginária de um quarto desse número real e, finalmente, desloque a representação por um lugar para a direita (dividindo assim por 2 i ). Por exemplo, a representação imaginária quater de 6 i é calculada multiplicando 6 i × 2 i = −12, que é expresso como 300 _{2 i} , e então deslocando por um lugar para a direita, resultando em: 6 i = 30 _{2 i} .

Encontrar a representação quater-imaginária de um número inteiro real arbitrário pode ser feito manualmente resolvendo um sistema de equações simultâneas , como mostrado abaixo, mas existem métodos mais rápidos para inteiros reais e imaginários, conforme mostrado no artigo de base negativa .

Exemplo: número real

Como exemplo de um número inteiro, podemos tentar encontrar a contraparte imaginária de um quarto do número decimal 7 (ou 7 _10, pois a base do sistema decimal é 10). Como é difícil prever exatamente quanto tempo a string de dígitos terá para um determinado número decimal, é seguro assumir uma string razoavelmente grande. Nesse caso, uma seqüência de seis dígitos pode ser escolhida. Quando uma estimativa inicial do tamanho da string eventualmente se revelar insuficiente, uma string maior pode ser usada.

Para encontrar a representação, primeiro escreva a fórmula geral e os termos do grupo:

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} 7_ {10} & = d_ {0} + d_ {1} \ cdot b + d_ {2} \ cdot b ^ {2} + d_ {3} \ cdot b ^ {3 } + d_ {4} \ cdot b ^ {4} + d_ {5} \ cdot b ^ {5} \\ & = d_ {0} + 2id_ {1} -4d_ {2} -8id_ {3} + 16d_ {4} + 32id_ {5} \\ & = d_ {0} -4d_ {2} + 16d_ {4} + i (2d_ {1} -8d_ {3} + 32d_ {5}) \\\ fim {alinhado }}}$

Desde 7 é um número real, é permitido concluir que d ₁ , d ₃ e d ₅ deve ser zero. Agora, o valor dos coeficientes de d ₀ , d ₂ e d ₄ , deve ser encontrada. Como d ₀ - 4 d ₂ + 16 d ₄ = 7 e porque - pela natureza do sistema imaginário de um quarto - os coeficientes só podem ser 0, 1, 2 ou 3, o valor dos coeficientes pode ser encontrado. Uma configuração possível poderia ser: d ₀ = 3, d ₂ = 3 ed ₄ = 1. Esta configuração fornece a sequência de dígitos resultante para 7 ₁₀ .

${\ displaystyle 7_ {10} = 010303_ {2i} = 10303_ {2i}.}$

Exemplo: número imaginário

Encontrar uma representação imaginária quater de um número inteiro puramente imaginário ∈ i Z é análogo ao método descrito acima para um número real. Por exemplo, para encontrar a representação de 6 i , é possível usar a fórmula geral. Então todos os coeficientes da parte real têm que ser zero e a parte complexa deve ser 6. No entanto, para 6 i é facilmente visto olhando para a fórmula que se d ₁ = 3 e todos os outros coeficientes são zero, obtemos o desejado string para 6 i . Isso é:

${\ displaystyle {\ begin {alinhado} 6i_ {10} = 30_ {2i} \ end {alinhado}}}$

Outro método de conversão

Para números reais, a representação quater-imaginária é igual ao quaternário negativo (base −4). Um número complexo x + iy pode ser convertido para quater-imaginário através da conversão de x e y / 2 separadamente para quaternário negativo. Se ambos x e y são finitos frações binárias , podemos usar o seguinte algoritmo usando repetiu divisão euclidiana :

Por exemplo: 35 + 23i = 121003,2 _2i

                35                                 23i/2i=11.5    11=12−0.5
            35÷(−4)=−8, remainder 3                12/(−4)=−3, remainder 0         (−0.5)×(−4)=2
            −8÷(−4)= 2, remainder 0                −3/(−4)= 1, remainder 1
             2÷(−4)= 0, remainder 2                 1/(−4)= 0, remainder 1
               20003                    +              101000                         +  0.2 = 121003.2
                         32i+16×2−8i−4×0+2i×0+1×3−2×i/2=35+23i

Ponto de raiz "."

Um ponto de raiz no sistema decimal é o usual . (ponto) que marca a separação entre a parte inteira e a parte fracionária do número. No sistema imaginário quater, um ponto de raiz também pode ser usado. Para uma string de dígitos, o ponto de raiz marca a separação entre as potências não negativas e negativas de b . Usando o ponto de raiz, a fórmula geral se torna: ${\ displaystyle \ dots d_ {5} d_ {4} d_ {3} d_ {2} d_ {1} d_ {0} .d _ {- 1} d _ {- 2} d _ {- 3} \ dots}$

${\ displaystyle d_ {5} b ^ {5} + d_ {4} b ^ {4} + d_ {3} b ^ {3} + d_ {2} b ^ {2} + d_ {1} b + d_ {0} + d _ {- 1} b ^ {- 1} + d _ {- 2} b ^ {- 2} + d _ {- 3} b ^ {- 3}}$

ou

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} 32id_ {5} + 16d_ {4} -8id_ {3} -4d_ {2} + 2id_ {1} + d_ {0} + {\ frac {1} {2i}} d_ {-1} + {\ frac {1} {- 4}} d _ {- 2} + {\ frac {1} {- 8i}} d _ {- 3} \\ = 32id_ {5} + 16d_ {4} -8id_ {3} -4d_ {2} + 2id_ {1} + d_ {0} - {\ frac {i} {2}} d _ {- 1} - {\ frac {1} {4}} d _ {- 2} + {\ frac {i} {8}} d _ {- 3} \ end {alinhado}}}$

Exemplo

Se a representação imaginária de um quarto da unidade complexa i tiver que ser encontrada, a fórmula sem ponto de raiz não será suficiente. Portanto, a fórmula acima deve ser usada. Por isso:

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} i & = 32id_ {5} + 16d_ {4} -8id_ {3} -4d_ {2} + 2id_ {1} + d_ {0} + {\ frac {1} {2i} } d _ {- 1} + {\ frac {1} {- 4}} d _ {- 2} + {\ frac {1} {- 8i}} d _ {- 3} \\ & = i (32d_ {5} -8d_ {3} + 2d_ {1} - {\ frac {1} {2}} d _ {- 1} + {\ frac {1} {8}} d _ {- 3}) + 16d_ {4} -4d_ {2} + d_ {0} - {\ frac {1} {4}} d _ {- 2} \\\ fim {alinhado}}}$

para certos coeficientes d _k . Então, porque a parte real tem que ser zero: d ₄ = d ₂ = d ₀ = d ₋₂ = 0. Para a parte imaginária, se d ₅ = d ₃ = d ₋₃ = 0 e quando d ₁ = 1 e d ₋₁ = 2 a string de dígitos pode ser encontrada. Usando os coeficientes acima na string de dígitos, o resultado é:

${\ displaystyle i = 10.2_ {2i}.}$

Adição e subtração

É possível adicionar e subtrair números no sistema imaginário de um quarto. Ao fazer isso, existem duas regras básicas que devem ser mantidas em mente:

1. Sempre que um número exceder 3, subtraia 4 e "carregue" -1 duas casas para a esquerda.
2. Sempre que um número cair abaixo de 0, some 4 e "carregue" +1 duas casas à esquerda.

Ou, para resumir: "Se você adicionar quatro, carregue +1 . Se você subtrair quatro, carregue -1 ". Isso é o oposto da adição longa normal, em que um "transporte" na coluna atual exige a adição de 1 à próxima coluna à esquerda e um "empréstimo" exige a subtração. Na aritmética imaginária de um quarto, um "transportar" subtrai da próxima coluna, mas um, e um "emprestar" adiciona .

Exemplo: Adição

Abaixo estão dois exemplos de adição no sistema imaginário de um quarto:

   1 − 2i                1031             3 − 4i                 1023
   1 − 2i                1031             1 − 8i                 1001
   ------- +     <=>     ----- +          ------- +      <=>   ------- +
   2 − 4i                1022             4 − 12i               12320

No primeiro exemplo, vamos começar adicionando os dois 1s na primeira coluna ( "coluna ones'" as), dando 2. Em seguida, adicione as duas 3s na segunda coluna (a '2 i s coluna'), dando 6; 6 é maior que 3, então subtraímos 4 (dando 2 como resultado na segunda coluna) e carregamos −1 na quarta coluna. Adicionando os 0s na terceira coluna dá 0; e, finalmente, somar os dois 1s e o transportado −1 na quarta coluna resulta em 1.

No segundo exemplo, primeiro adicionamos 3 + 1, dando 4; 4 é maior que 3, então subtraímos 4 (dando 0) e carregamos −1 para a terceira coluna (a "coluna −4s"). Então adicionamos 2 + 0 na segunda coluna, dando 2. Na terceira coluna, temos 0 + 0 + (- 1), por causa do transporte; -1 é menor que 0, então adicionamos 4 (dando 3 como resultado na terceira coluna) e "emprestamos" +1 na quinta coluna. Na quarta coluna, 1 + 1 é 2; e o transporte na quinta coluna dá 1, para um resultado de . ${\ displaystyle 12320_ {2i}}$

Exemplo: subtração

A subtração é análoga à adição porque usa as mesmas duas regras descritas acima. Abaixo está um exemplo:

         − 2 − 8i                       1102
           1 − 6i                       1011
           -------           <=>        -----
         − 3 − 2i                       1131

Neste exemplo temos que subtrair a partir . O dígito mais à direita é 2−1 = 1. O segundo dígito da direita se tornaria −1, portanto, adicione 4 para obter 3 e, em seguida, carregue +1 duas casas para a esquerda. O terceiro dígito da direita é 1−0 = 1. Então o dígito mais à esquerda é 1−1 mais 1 do carry, dando 1. Isso dá uma resposta final de . ${\ displaystyle 1011_ {2i}}$${\ displaystyle 1102_ {2i}}$${\ displaystyle 1131_ {2i}}$

Multiplicação

Para a multiplicação longa no sistema imaginário de um quarto, as duas regras declaradas acima também são usadas. Ao multiplicar números, multiplique a primeira string por cada dígito da segunda string consecutivamente e adicione as strings resultantes. Com cada multiplicação, um dígito na segunda string é multiplicado pela primeira string. A multiplicação começa com o dígito mais à direita na segunda string e então se move para a esquerda por um dígito, multiplicando cada dígito pela primeira string. Em seguida, os produtos parciais resultantes são adicionados onde cada um é deslocado para a esquerda em um dígito. Um exemplo:

              11201
              20121  ×
        ---------------
              11201      ←––– 1 × 11201
             12002       ←––– 2 × 11201
            11201        ←––– 1 × 11201
           00000         ←––– 0 × 11201
          12002      +   ←––– 2 × 11201
        ---------------
          120231321

Isso corresponde a uma multiplicação de . ${\ displaystyle (9-8i) \ cdot (29 + 4i) = 293-196i}$

Conversões tabuladas

Abaixo está uma tabela de alguns números decimais e complexos e suas contrapartes imaginárias de um quarto.

Exemplos

Abaixo estão alguns outros exemplos de conversões de números decimais para números imaginários de um quarto.

${\ displaystyle 5 = 16 + (3 \ cdot -4) + 1 = 10301_ {2i}}$

${\ displaystyle i = 2i + 2 \ left (- {\ frac {1} {2}} i \ right) = 10.2_ {2i}}$

${\ displaystyle 7 {\ frac {3} {4}} - 7 {\ frac {1} {2}} i = 1 (16) +1 (-8i) +2 (-4) +1 (2i) + 3 \ left (- {\ frac {1} {2}} i \ right) +1 \ left (- {\ frac {1} {4}} \ right) = 11210,31_ {2i}}$

Curva de ordem Z

A representação

${\ displaystyle z = \ sum _ {k \ geq n} z_ {k} \ cdot (2i) ^ {- k}}$

de um número complexo arbitrário com dá origem a um mapeamento injetivo${\ displaystyle z \ in \ mathbb {C}}$${\ displaystyle z_ {k} \ in \ {0,1,2,3 \}}$

${\ displaystyle \ textstyle {\ begin {array} {llcl} \ varphi \ dois pontos & \ mathbb {C} & \ to & \ mathbb {R} \\ & \ sum _ {k \ geq n} z_ {k} \ cdot (2i) ^ {- k} & \ mapsto & \ sum _ {k \ geq n} z_ {k} \ cdot r ^ {- k} \\\ end {array}}}$

com alguns adequados . Aqui não pode ser tomado como base por causa de ${\ displaystyle r \ in \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle r = 4}$

${\ displaystyle \ textstyle \ sum _ {k> 0} 3 \ cdot (2i) ^ {- k} = {\ tfrac {-3-6i} {5}} \; \; \; \; \ neq \; \; \; \; 1 = \ sum _ {k> 0} 3 \ cdot 4 ^ {- k}.}$

A imagem é um conjunto de Cantor que permite que a ordem linear semelhante a uma curva de ordem Z . Conseqüentemente, não é contínuo . ${\ displaystyle \ varphi (\ mathbb {C}) \ subset \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {C}}$${\ displaystyle \ varphi}$

Veja também

• Sistema de numeração quaternário
• Sistema de base complexa
• Base negativa

Referências

Leitura adicional

• Knuth, Donald Ervin . "Sistemas de números posicionais". The Art of Computer Programming . 2 (3 ed.). Addison-Wesley . p. 205.
• Warren Jr., Henry S. (2013) [2002]. Hacker's Delight (2 ed.). Addison Wesley - Pearson Education, Inc. p. 309. ISBN   978-0-321-84268-8 . 0-321-84268-5.