Ligação Peaucellier-Lipkin - Peaucellier–Lipkin linkage

Ligação Peaucellier-Lipkin:
barras de cor idêntica são de comprimento igual

A ligação Peaucellier-Lipkin (ou célula Peaucellier-Lipkin , ou inversor Peaucellier-Lipkin ), inventada em 1864, foi o primeiro mecanismo de linha reta planar verdadeiro - a primeira ligação plana capaz de transformar o movimento rotativo em movimento em linha reta perfeito , e vice-versa versa. É nomeado após Charles-Nicolas Peaucellier (1832–1913), um oficial do exército francês, e Yom Tov Lipman Lipkin (1846–1876), um judeu lituano e filho do famoso Rabino Israel Salanter .

Até esta invenção, nenhum método planar existia para converter o movimento exato em linha reta em movimento circular, sem guias de referência. Em 1864, toda a energia vinha de motores a vapor , que tinham um pistão movendo-se em linha reta para cima e para baixo em um cilindro. Este pistão precisava manter uma boa vedação com o cilindro para reter o meio de acionamento e não perder a eficiência energética por vazamentos. O pistão faz isso permanecendo perpendicular ao eixo do cilindro, mantendo seu movimento em linha reta. Converter o movimento em linha reta do pistão em movimento circular era de importância crítica. A maioria, senão todas, as aplicações dessas máquinas a vapor eram rotativas.

A matemática da ligação Peaucellier-Lipkin está diretamente relacionada à inversão de um círculo.

Ligação Sarrus anterior

Existe um mecanismo de linha reta anterior, cuja história não é bem conhecida, chamado de ligação Sarrus . Esta ligação antecede a ligação Peaucellier-Lipkin em 11 anos e consiste em uma série de placas retangulares articuladas, duas das quais permanecem paralelas, mas podem ser movidas normalmente uma à outra. A ligação de Sarrus é de uma classe tridimensional às vezes conhecida como manivela espacial , ao contrário da ligação Peaucellier-Lipkin, que é um mecanismo planar.

Geometria

Diagrama geométrico de uma ligação Peaucellier

No diagrama geométrico do aparelho, podem ser vistas seis barras de comprimento fixo: OA, OC, AB, BC, CD, DA. O comprimento de OA é igual ao comprimento de OC, e os comprimentos de AB, BC, CD e DA são todos iguais formando um losango . Além disso, o ponto O é fixo. Então, se o ponto B for restringido a se mover ao longo de um círculo (por exemplo, anexando-o a uma barra com um comprimento a meio caminho entre O e B; caminho mostrado em vermelho) que passa por O, então o ponto D terá necessariamente que se mover ao longo de uma linha reta (mostrada em azul). Por outro lado, se o ponto B fosse restringido a se mover ao longo de uma linha (não passando por O), então o ponto D teria necessariamente que se mover ao longo de um círculo (passando por O).

Prova matemática de conceito

Colinearidade

Primeiramente, deve-se comprovar que os pontos O, B, D são colineares . Isso pode ser facilmente visto observando-se que a ligação é simétrica como um espelho em relação à linha OD, de modo que o ponto B deve cair nessa linha.

Mais formalmente, os triângulos BAD e BCD são congruentes porque o lado BD é congruente consigo mesmo, o lado BA é congruente com o lado BC e o lado AD é congruente com o lado CD. Portanto, os ângulos ABD e CBD são iguais.

Em seguida, os triângulos OBA e OBC são congruentes, uma vez que os lados OA e OC são congruentes, o lado OB é congruente consigo mesmo e os lados BA e BC são congruentes. Portanto, os ângulos OBA e OBC são iguais.

Finalmente, porque eles formam um círculo completo, temos

∠OBA + ∠ABD + ∠DBC + ∠CBO = 360 °

mas, devido às congruências, ângulo OBA = ângulo OBC e ângulo DBA = ângulo DBC, assim

2 × ∠OBA + 2 × ∠DBA = 360 °

∠OBA + ∠DBA = 180 °

portanto, os pontos O, B e D são colineares.

Pontos inversos

Seja o ponto P a intersecção das linhas AC e BD. Então, como ABCD é um losango , P é o ponto médio de ambos os segmentos de linha BD e AC. Portanto, comprimento BP = comprimento PD.

O triângulo BPA é congruente com o triângulo DPA, porque o lado BP é congruente com o lado DP, o lado AP é congruente consigo mesmo e o lado AB é congruente com o lado AD. Portanto, ângulo BPA = ângulo DPA. Mas como o ângulo BPA + ângulo DPA = 180 °, então 2 × ângulo BPA = 180 °, ângulo BPA = 90 ° e ângulo DPA = 90 °.

Deixar:

${\ displaystyle x = \ ell _ {BP} = \ ell _ {PD}}$

${\ displaystyle y = \ ell _ {OB}}$

${\ displaystyle h = \ ell _ {AP}}$

Então:

${\ displaystyle \ ell _ {OB} \ cdot \ ell _ {OD} = y (y + 2x) = y ^ {2} + 2xy}$

${\ displaystyle {\ ell _ {OA}} ^ {2} = (y + x) ^ {2} + h ^ {2}}$ (devido ao teorema de Pitágoras )

${\ displaystyle {\ ell _ {OA}} ^ {2} = y ^ {2} + 2xy + x ^ {2} + h ^ {2}}$(mesma expressão expandida)

${\ displaystyle {\ ell _ {AD}} ^ {2} = x ^ {2} + h ^ {2}}$ (Teorema de Pitágoras)

${\ displaystyle {\ ell _ {OA}} ^ {2} - {\ ell _ {AD}} ^ {2} = y ^ {2} + 2xy = \ ell _ {OB} \ cdot \ ell _ {OD }}$

Uma vez que OA e AD são comprimentos fixos, o produto de OB e OD é uma constante:

${\ displaystyle \ ell _ {OB} \ cdot \ ell _ {OD} = k ^ {2}}$

e uma vez que os pontos O, B, D são colineares, então D é o inverso de B em relação ao círculo (O, k ) com centro O e raio k .

Geometria inversa

Assim, pelas propriedades da geometria inversa , uma vez que a figura traçada pelo ponto D é o inverso da figura traçada pelo ponto B, se B traçar um círculo passando pelo centro da inversão O, então D é forçado a traçar uma linha reta. Mas se B traça uma linha reta que não passa por O, então D deve traçar um arco de círculo passando por O. QED

Um motorista típico

Slider-rocker de quatro barras atua como o driver da ligação Peaucellier-Lipkin

As ligações Peaucellier-Lipkin (PLLs) podem ter várias inversões. Um exemplo típico é mostrado na figura oposta, em que um botão deslizante de quatro barras serve como driver de entrada. Para ser preciso, o controle deslizante atua como a entrada, que por sua vez conduz o link aterrado correto do PLL, conduzindo assim todo o PLL.

Notas históricas

Sylvester ( Collected Works , Vol. 3, Paper 2) escreve que quando ele mostrou uma modelo para Kelvin , ele “cuidou dela como se fosse seu próprio filho, e quando uma moção foi feita para libertá-lo, respondeu 'Não ! Eu não tive o suficiente disso - é a coisa mais linda que eu já vi na minha vida '”.

Referências culturais

Uma escultura em escala monumental que implementa a ligação em suportes iluminados está em exposição permanente em Eindhoven, Holanda . A obra de arte mede 22 por 15 por 16 metros (72 pés × 49 pés × 52 pés), pesa 6.600 kg (14.600 lb) e pode ser operada a partir de um painel de controle acessível ao público em geral.

Veja também

• Inversor de Hart
• Articulação (mecânica)

Referências

Bibliografia

• Ogilvy, CS (1990), Excursions in Geometry , Dover, pp.  46-48 , ISBN 0-486-26530-7
• Bryant, John; Sangwin, Chris (2008). Quão redondo é o seu círculo? : onde a engenharia e a matemática se encontram . Princeton: Princeton University Press. pp. 33–38, 60–63. ISBN 978-0-691-13118-4. - prova e discussão da ligação Peaucellier-Lipkin, modelos matemáticos e mecânicos do mundo real
• Coxeter HSM , Greitzer SL (1967). Geometria revisitada . Washington : MAA . pp.  108 -111. ISBN 978-0-88385-619-2. (e referências citadas nele)
• Hartenberg, RS & J. Denavit (1964) Kinematic syndrome of linkages , pp 181–5, New York: McGraw – Hill, weblink da Cornell University .
• Johnson RA (1960). Geometria Euclidiana Avançada: Um tratado elementar sobre a geometria do triângulo e do círculo (reimpressão da edição de 1929 por Houghton Miflin ed.). Nova York: Dover Publications. pp. 46–51. ISBN 978-0-486-46237-0.
• Wells D (1991). O Dicionário Penguin de Geometria Curiosa e Interessante . Nova York: Penguin Books. p. 120 . ISBN 0-14-011813-6.

links externos

• Como desenhar uma linha reta, videoclipes online de ligações com miniaplicativos interativos.
• Como desenhar uma linha reta, discussão histórica do projeto de ligação
• Applet Java interativo com prova.
• Ligação Peaucellier-Lipkin animada em Java
• Artigo da Enciclopédia Judaica sobre Lippman Lipkin e seu pai Israel Salanter
• O aparelho Peaucellier apresenta um miniaplicativo interativo
• Uma simulação usando o software Molecular Workbench
• Uma ligação relacionada chamada Inversor de Hart.
• Articulação do braço robótico Peaucellier modificada (vídeo Vex Team 1508)