equação paramétrica -Parametric equation
Em matemática , uma equação paramétrica define um grupo de quantidades como funções de uma ou mais variáveis independentes chamadas parâmetros . As equações paramétricas são comumente usadas para expressar as coordenadas dos pontos que compõem um objeto geométrico, como uma curva ou superfície , caso em que as equações são chamadas coletivamente de representação paramétrica ou parametrização (alternativamente escrita como parametrização ) do objeto.
Por exemplo, as equações
formam uma representação paramétrica do círculo unitário , onde t é o parâmetro: Um ponto ( x , y ) está no círculo unitário se e somente se houver um valor de t tal que essas duas equações gerem aquele ponto. Às vezes, as equações paramétricas para as variáveis de saída escalar individuais são combinadas em uma única equação paramétrica em vetores :
As representações paramétricas geralmente não são únicas (consulte a seção "Exemplos em duas dimensões" abaixo), portanto, as mesmas quantidades podem ser expressas por várias parametrizações diferentes.
Além de curvas e superfícies, as equações paramétricas podem descrever variedades e variedades algébricas de dimensão superior , com o número de parâmetros sendo igual à dimensão da variedade ou variedade, e o número de equações sendo igual à dimensão do espaço em que a variedade ou variedade é considerada (para curvas a dimensão é uma e um parâmetro é usado, para superfícies a dimensão é dois e dois parâmetros, etc.).
As equações paramétricas são comumente usadas em cinemática , onde a trajetória de um objeto é representada por equações que dependem do tempo como parâmetro. Devido a esta aplicação, um único parâmetro é frequentemente rotulado como t ; no entanto, os parâmetros podem representar outras quantidades físicas (como variáveis geométricas) ou podem ser selecionados arbitrariamente por conveniência. As parametrizações não são exclusivas; mais de um conjunto de equações paramétricas pode especificar a mesma curva.
Formulários
Cinemática
Na cinemática , os caminhos dos objetos através do espaço são comumente descritos como curvas paramétricas, com cada coordenada espacial dependendo explicitamente de um parâmetro independente (geralmente o tempo). Usado dessa forma, o conjunto de equações paramétricas para as coordenadas do objeto constituem coletivamente uma função de valor vetorial para a posição. Tais curvas paramétricas podem então ser integradas e diferenciadas termicamente. Assim, se a posição de uma partícula é descrita parametricamente como
então sua velocidade pode ser encontrada como
e sua aceleração como
- .
Projeto auxiliado por computador
Outro uso importante de equações paramétricas é no campo do desenho assistido por computador (CAD). Por exemplo, considere as três representações a seguir, todas comumente usadas para descrever curvas planas .
Modelo | Forma | Exemplo | Descrição |
---|---|---|---|
Explícito | Linha | ||
Implícito | Círculo | ||
paramétrico | Linha | ||
Círculo |
Cada representação tem vantagens e desvantagens para aplicações CAD.
A representação explícita pode ser muito complicada, ou mesmo pode não existir. Além disso, não se comporta bem em transformações geométricas e, em particular, em rotações . Por outro lado, como uma equação paramétrica e uma equação implícita podem ser facilmente deduzidas de uma representação explícita, quando existe uma representação explícita simples, ela tem as vantagens de ambas as outras representações.
As representações implícitas podem dificultar a geração de pontos na curva e até mesmo decidir se existem pontos reais. Por outro lado, eles são adequados para decidir se um determinado ponto está em uma curva ou se está dentro ou fora de uma curva fechada.
Tais decisões podem ser difíceis com uma representação paramétrica, mas as representações paramétricas são mais adequadas para gerar pontos em uma curva e para plotá-la.
geometria inteira
Numerosos problemas em geometria inteira podem ser resolvidos usando equações paramétricas. Uma solução clássica é a parametrização de triângulos retângulos de Euclides de modo que os comprimentos de seus lados a , b e sua hipotenusa c sejam inteiros primos entre si . Como a e b não são pares (caso contrário , a , b e c não seriam primos), pode-se trocá-los para ter um par, e a parametrização é então
onde os parâmetros m e n são inteiros coprimos positivos que não são ambos ímpares.
Multiplicando a , b e c por um número inteiro positivo arbitrário, obtém-se uma parametrização de todos os triângulos retângulos cujos três lados têm comprimentos inteiros.
Implicitização
A conversão de um conjunto de equações paramétricas em uma única equação implícita envolve a eliminação da variável das equações simultâneas. Esse processo é chamado de implicitização . Se uma dessas equações pode ser resolvida para t , a expressão obtida pode ser substituída na outra equação para obter uma equação envolvendo apenas x e y : Resolver para obter e usar isso fornece a equação explícita, enquanto casos mais complicados fornecerão uma equação implícita equação da forma
Se a parametrização for dada por funções racionais
onde p , q , r são polinômios coprimos de acordo com o conjunto, um cálculo resultante permite a implícita. Mais precisamente, a equação implícita é a resultante em relação a t de xr ( t ) – p ( t ) e yr ( t ) – q ( t )
Em dimensões superiores (seja mais de duas coordenadas ou mais de um parâmetro), a implícita de equações paramétricas racionais pode ser feita com cálculo de base de Gröbner ; ver base de Gröbner § Implicitização em dimensão superior .
Para tomar o exemplo do círculo de raio a , as equações paramétricas
pode ser implicitizado em termos de x e y por meio da identidade trigonométrica pitagórica :
Como
e
Nós temos
e assim
que é a equação padrão de um círculo centrado na origem.
Exemplos em duas dimensões
Parábola
A equação mais simples para uma parábola ,
pode ser (trivialmente) parametrizado usando um parâmetro livre t , e configurando
Equações explícitas
Mais geralmente, qualquer curva dada por uma equação explícita
pode ser (trivialmente) parametrizado usando um parâmetro livre t , e configurando
Círculo
Um exemplo mais sofisticado é o seguinte. Considere o círculo unitário que é descrito pela equação ordinária (cartesiana)
Esta equação pode ser parametrizada da seguinte forma:
Com a equação cartesiana é mais fácil verificar se um ponto está no círculo ou não. Com a versão paramétrica é mais fácil obter pontos em um gráfico.
Em alguns contextos, equações paramétricas envolvendo apenas funções racionais (ou seja, frações de dois polinômios ) são preferidas, se existirem. No caso do círculo, tal parametrização racional é
Com este par de equações paramétricas, o ponto (−1, 0) não é representado por um valor real de t , mas pelo limite de x e y quando t tende ao infinito .
Elipse
Uma elipse em posição canônica (centro na origem, eixo maior ao longo do eixo X ) com semi-eixos a e b pode ser representada parametricamente como
Uma elipse em posição geral pode ser expressa como
pois o parâmetro t varia de 0 a 2 π . Aqui está o centro da elipse e é o ângulo entre o eixo e o eixo maior da elipse.
Ambas as parametrizações podem ser racionalizadas usando a fórmula do meio-ângulo tangente e configurando
Curva de Lissajous
Uma curva de Lissajous é semelhante a uma elipse, mas as sinusóides x e y não estão em fase. Em posição canônica, uma curva de Lissajous é dada por
onde e são constantes que descrevem o número de lóbulos da figura.
Hipérbole
Uma hipérbole com abertura leste-oeste pode ser representada parametricamente por
- ou, racionalmente
Uma hipérbole com abertura norte-sul pode ser representada parametricamente como
- ou, racionalmente
Em todas essas fórmulas ( h , k ) são as coordenadas do centro da hipérbole, a é o comprimento do semi-eixo maior e b é o comprimento do semi-eixo menor.
Hipotrocóide
Um hipotrocóide é uma curva traçada por um ponto ligado a um círculo de raio r rolando no interior de um círculo fixo de raio R , onde o ponto está a uma distância d do centro do círculo interior.
As equações paramétricas para os hipotrocóides são:
Algumas funções sofisticadas
Outros exemplos são mostrados:
Exemplos em três dimensões
Hélice
As equações paramétricas são convenientes para descrever curvas em espaços de dimensões superiores. Por exemplo:
descreve uma curva tridimensional, a hélice , com um raio de a e subindo 2π b unidades por volta. As equações são idênticas no plano às de um círculo. Expressões como a acima são comumente escritas como
onde r é um vetor tridimensional.
superfícies paramétricas
Um toro com raio maior R e raio menor r pode ser definido parametricamente como
onde os dois parâmetros t e u variam entre 0 e 2π.
À medida que u varia de 0 a 2π, o ponto na superfície se move em torno de um pequeno círculo que passa pelo orifício no toro. Como t varia de 0 a 2π, o ponto na superfície se move em um longo círculo ao redor do buraco no toro.
Exemplos com vetores
A equação paramétrica da reta que passa pelo ponto e paralela ao vetor é
Veja também
- Curva
- Estimativa paramétrica
- Vetor de posição
- Função com valor de vetor
- Parametrização por comprimento de arco
- Derivada paramétrica
Notas
- ^ a b c Weisstein, Eric W. "Equações paramétricas" . MathWorld .
- ^ Thomas, George B.; Finney, Ross L. (1979). Cálculo e Geometria Analítica (quinta ed.). Addison-Wesley . pág. 91.
- ^ Nykamp, Duane. "Exemplo de parametrização de plano" . mathinsight.org . Recuperado 2017-04-14 .
- ^ Spitzbart, Abraham (1975). Cálculo com Geometria Analítica . Gleview, IL: Scott, Foresman and Company. ISBN 0-673-07907-4. Acesso em 30 de agosto de 2015 .
- ^ Stewart, James (2003). Cálculo (5ª ed.). Belmont, CA: Thomson Learning, Inc. pp. 687–689 . ISBN 0-534-39339-X.
- ^ Shah, Jami J.; Martti Mantyla (1995). CAD/CAM paramétrico e baseado em recursos: conceitos, técnicas e aplicações . Nova York, NY: John Wiley & Sons, Inc. pp. 29–31. ISBN 0-471-00214-3.
- ^ Cálculo: Único e multivariável . João Wiley. 2012-10-29. pág. 919. ISBN 9780470888612. OCLC 828768012 .