Helix - Helix

A hélice destra (cos t , sin t , t ) de t = 0 a 4π com pontas de seta mostrando a direção de aumento de t

Uma hélice ( / h i l ɪ k s / ), plurais hélices ou as hélices ( / h ɛ l ɪ s i z / ), é uma forma semelhante a um saca-rolhas ou escada em espiral. É um tipo de curva de espaço suave com linhas tangentes em um ângulo constante a um eixo fixo. As hélices são importantes na biologia , pois a molécula de DNA é formada como duas hélices entrelaçadas e muitas proteínas têm subestruturas helicoidais, conhecidas como hélices alfa . A palavra hélice vem da palavra grega ἕλιξ , "torcida, curva". Uma hélice "preenchida" - por exemplo, uma rampa "espiral" (helicoidal) - é chamada de helicoide .

Tipos

As hélices podem ser destras ou canhotas. Com a linha de visão ao longo do eixo da hélice, se um movimento de aparafusamento no sentido horário move a hélice para longe do observador, então é chamada de hélice destra; se em direção ao observador, então é uma hélice canhota. A destreza (ou quiralidade ) é uma propriedade da hélice, não da perspectiva: uma hélice destra não pode ser girada para se parecer com uma canhota a menos que seja vista em um espelho, e vice-versa.

Dois tipos de hélice mostrados em comparação . Isso mostra as duas quiralidades das hélices. Um é canhoto e o outro é destro. Cada linha compara as duas hélices de uma perspectiva diferente. A quiralidade é uma propriedade do objeto, não da perspectiva (ângulo de visão)

A maioria das roscas de parafuso de hardware são hélices destras. A hélice alfa em biologia, bem como as formas A e B do DNA, também são hélices destras. A forma Z do DNA é canhota.

O passo de uma hélice é a altura de uma volta completa da hélice, medida paralela ao eixo da hélice.

Uma dupla hélice consiste em duas (normalmente congruentes ) hélices com o mesmo eixo, diferindo por uma translação ao longo do eixo.

Uma hélice cônica pode ser definida como uma espiral em uma superfície cônica, com a distância ao vértice uma função exponencial do ângulo que indica a direção do eixo. Um exemplo é a montanha-russa Corkscrew no parque de diversões Cedar Point .

Uma hélice circular (ou seja, uma com raio constante) tem curvatura de banda constante e torção constante .

Uma curva é chamada de hélice geral ou hélice cilíndrica se sua tangente formar um ângulo constante com uma linha fixa no espaço. Uma curva é uma hélice geral se e somente se a razão da curvatura para a torção for constante.

O passo geométrico é a distância que um elemento da hélice de um avião avançaria em uma revolução se estivesse se movendo ao longo de uma hélice com um ângulo igual àquele entre a corda do elemento e um plano perpendicular ao eixo da hélice.

Uma curva é chamada de hélice inclinada se sua normal principal formar um ângulo constante com uma linha fixa no espaço. Ele pode ser construído aplicando uma transformação ao quadro móvel de uma hélice geral.

Algumas curvas encontradas na natureza consistem em várias hélices de diferentes mãos, unidas por transições conhecidas como perversões de gavinhas .

Descrição matemática

Uma hélice composta por componentes senoidais x e y

Em matemática , uma hélice é uma curva no espaço tridimensional . A seguinte parametrização em coordenadas cartesianas define uma hélice particular; talvez a equação mais simples para um seja

À medida que o parâmetro t aumenta, o ponto ( x ( t ), y ( t ), z ( t )) traça uma hélice destra de passo 2 π (ou inclinação 1) e raio 1 sobre o eixo z , em um sistema de coordenadas destro.

Em coordenadas cilíndricas ( r , θ , h ), a mesma hélice é parametrizada por:

Uma hélice circular de raio a e inclinação b / a (ou passo 2 πb ) é descrita pela seguinte parametrização:

Outra maneira de construir matematicamente uma hélice é plotar a função de valor complexo e xi como uma função do número real x (veja a fórmula de Euler ). O valor de xe as partes reais e imaginárias do valor da função fornecem a este gráfico três dimensões reais.

Exceto por rotações , translações e mudanças de escala, todas as hélices destras são equivalentes à hélice definida acima. A hélice canhota equivalente pode ser construída de várias maneiras, sendo a mais simples negar qualquer uma das componentes x , y ou z .

Comprimento do arco, curvatura e torção

O comprimento de uma hélice circular de raio um e inclinação b / um (ou passo 2 πb ) expressos em coordenadas rectangulares quanto

igual , sua curvatura é e sua torção é Uma hélice tem curvatura e torção constantes diferentes de zero.

Uma hélice é a função com valor vetorial

Assim, uma hélice pode ser reparametrizada em função de , que deve ser uma velocidade unitária:

O vetor tangente unitário é

O vetor normal é

Sua curvatura é .

O vetor normal unitário é

O vetor binormal é


Sua torção é .

Exemplos

Na música , o espaço do diapasão é frequentemente modelado com hélices ou hélices duplas, na maioria das vezes estendendo-se para fora de um círculo, como o círculo das quintas , de modo a representar a equivalência de oitava .

Veja também

Referências

< https://www.merriam-webster.com/dictionary/geometrical%20pitch