No Equilíbrio de Planos - On the Equilibrium of Planes
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On the Equilibrium of Planes ( grego : Περὶ ἐπιπέδων ἱσορροπιῶν ) é um tratado de Arquimedes em dois volumes. O primeiro livro estabelece a lei da alavanca e localiza o centro de gravidade do triângulo e do trapézio . De acordo com Pappus de Alexandria , o trabalho de Arquimedes nas alavancas o levou a comentar: "Dê-me um lugar para pisar e moverei a Terra". ( Grego : δῶς μοι πᾶ στῶ καὶ τὰν γᾶν κινάσω ). O segundo livro, que contém dez proposições, examina os centros de gravidade dos segmentos parabólicos.
Estrutura do texto
O livro um contém quinze proposições com sete postulados. Na proposição seis, Arquimedes estabelece a lei da alavanca , concluindo que “as magnitudes estão em equilíbrio a distâncias reciprocamente proporcionais aos seus pesos”. Nas proposições dez e quatorze, respectivamente, Arquimedes localiza o centro de gravidade do paralelogramo e do triângulo . Além disso, na proposição 15, ele estabelece o centro de gravidade do trapézio . O segundo livro, que contém dez proposições, estuda exclusivamente segmentos parabólicos. Ele examina esses segmentos substituindo-os por retângulos de áreas iguais; uma troca possibilitada pelos resultados obtidos na Quadratura da Parábola .
Teorema Principal
A prova de Arquimedes da lei da alavanca é executada dentro da proposição seis. É para magnitudes comensuráveis apenas e se baseia nas proposições quatro e cinco e no postulado um.
Introdução
No postulado, um Arquimedes afirma que "Pesos iguais em distâncias iguais estão em equilíbrio" (significando um peso igual em cada lado do braço de alavanca). Nas proposições quatro e cinco, ele expande essa observação para incluir o conceito de centro de gravidade ; em que é provado que o centro de gravidade de qualquer sistema consistindo em um número par de pesos iguais, igualmente distribuídos, estará localizado no ponto médio entre os dois pesos centrais (portanto, introduzindo vários pesos em cada lado do braço de alavanca).
Declaração
Dados dois pesos desiguais, mas comensuráveis, e um braço de alavanca dividido em duas porções desiguais, mas comensuráveis (ver esboço ao lado), a proposição seis afirma simplesmente que se as magnitudes A e B forem aplicadas nos pontos E e D, respectivamente, o sistema irá estar em equilíbrio se os pesos forem inversamente proporcionais aos comprimentos:
Prova
Portanto, suponha que as linhas e os pesos sejam construídos para obedecer à regra usando uma medida comum (ou unidade) N, e em uma proporção de quatro para três (conforme o esboço). Agora, dobre o comprimento do ED duplicando o braço mais longo à esquerda e o braço mais curto à direita.
Para fins de demonstração, reordene as linhas de modo que CD fique adjacente a LE (as duas linhas vermelhas juntas) e justapor com o original (como abaixo):
É claro, então, que ambas as linhas têm o dobro do comprimento da linha original ED, que LH tem seu centro em E (ver linhas vermelhas adjacentes), e HK seu centro em D. Observe, adicionalmente, que EH (que é igual a CD) carrega o divisor comum (ou unidade) N, um número exato de vezes, assim como EC e, portanto, por inferência, CH também. Resta então provar que A aplicado em E, e B aplicado em D, terão seu centro de gravidade em C.
Portanto, como a proporção de LH para HK não é de quatro para três, mas de oito para seis, divida da mesma forma as magnitudes A e B (uma transformação que conserva sua proporção original de quatro para três) e alinhe-as conforme o diagrama ao lado. A centrado em E e B centrado em D.
Agora, como um número par de pesos iguais, igualmente espaçados, tem seu centro de gravidade entre os dois pesos médios, A é de fato aplicado em E, e B em D, conforme a proposição exige. Além disso, o sistema total consiste em um número par de pesos iguais distribuídos igualmente e, portanto, seguindo a mesma lei, C deve ser o centro de gravidade de todo o sistema. Assim, A aplicado em E, e B aplicado em D, têm seu centro de gravidade em C.
Autenticidade
Embora a autenticidade do segundo livro não seja posta em dúvida, várias pesquisas destacaram inconsistências na apresentação do livro. Berggren, em particular, questiona a validade do livro um como um todo; destacando, inter alia, a redundância das proposições um a três, onze e doze. No entanto, Berggren segue Dijksterhuis , ao rejeitar a crítica de Mach à proposição seis. Acrescentando que seu verdadeiro significado reside no fato de que demonstra que "se um sistema de pesos suspenso em uma trave de equilíbrio está em equilíbrio quando apoiado em um ponto particular, então qualquer redistribuição desses pesos, que preserva seu centro de gravidade comum, também preserva o equilíbrio. " Além disso, a proposição sete está incompleta em sua forma atual, de modo que o livro um demonstra a lei da alavanca apenas para magnitudes comensuráveis.