Centro de massa - Center of mass

Este brinquedo usa os princípios do centro de massa para manter o equilíbrio em um dedo

Em física, o centro de massa de uma distribuição de massa no espaço (às vezes referido como o ponto de equilíbrio ) é o único ponto onde a posição relativa ponderada da massa distribuída é zero. Este é o ponto em que uma força pode ser aplicada para causar uma aceleração linear sem uma aceleração angular . Os cálculos em mecânica costumam ser simplificados quando formulados em relação ao centro de massa. É um ponto hipotético onde toda a massa de um objeto pode ser considerada concentrada para visualizar seu movimento. Em outras palavras, o centro de massa é a partícula equivalente a um dado objeto para aplicação das leis de movimento de Newton .

No caso de um único corpo rígido , o centro de massa é fixo em relação ao corpo, e se o corpo tiver densidade uniforme, estará localizado no centróide . O centro de massa pode estar localizado fora do corpo físico, como às vezes é o caso de objetos ocos ou de formato aberto, como uma ferradura . No caso de uma distribuição de corpos separados, como os planetas do Sistema Solar , o centro de massa pode não corresponder à posição de qualquer membro individual do sistema.

O centro de massa é um ponto de referência útil para cálculos em mecânica que envolvem massas distribuídas no espaço, como o momento linear e angular de corpos planetários e a dinâmica de corpos rígidos . Na mecânica orbital , as equações de movimento dos planetas são formuladas como massas pontuais localizadas nos centros de massa. O referencial do centro de massa é um referencial inercial no qual o centro de massa de um sistema está em repouso em relação à origem do sistema de coordenadas.

História

O conceito de centro de gravidade ou peso foi estudado extensivamente pelo antigo matemático, físico e engenheiro grego Arquimedes de Siracusa . Ele trabalhou com suposições simplificadas sobre a gravidade que equivalem a um campo uniforme, chegando assim às propriedades matemáticas do que hoje chamamos de centro de massa. Arquimedes mostrou que o torque exercido em uma alavanca por pesos apoiados em vários pontos ao longo da alavanca é o mesmo que seria se todos os pesos fossem movidos para um único ponto - seu centro de massa. Em seu trabalho On Floating Bodies , Arquimedes demonstrou que a orientação de um objeto flutuante é aquela que torna seu centro de massa o mais baixo possível. Ele desenvolveu técnicas matemáticas para encontrar os centros de massa de objetos de densidade uniforme de várias formas bem definidas.

Outros matemáticos antigos que contribuíram para a teoria do centro de massa incluem Herói de Alexandria e Pappus de Alexandria . Nos períodos Renascentista e Moderna , obra de Guido Ubaldi , Francesco Maurolico , Federico Commandino , Evangelista Torricelli , Simon Stevin , Luca Valerio , Jean-Charles de la Faille , Paul Guldin , John Wallis , Louis Carré , Pierre Varignon e Alexis Clairaut expandiu ainda mais o conceito.

A segunda lei de Newton é reformulada com respeito ao centro de massa na primeira lei de Euler .

Definição

O centro de massa é o único ponto no centro de uma distribuição de massa no espaço que tem a propriedade de que os vetores de posição ponderada em relação a esse ponto somam zero. Em analogia com as estatísticas, o centro de massa é a localização média de uma distribuição de massa no espaço.

Um sistema de partículas

No caso de um sistema de partículas P i , i = 1, ...,  n , cada uma com massa m i que estão localizadas no espaço com as coordenadas r i , i = 1, ...,  n , as coordenadas R do centro de massa satisfaça a condição

Resolver esta equação para R produz a fórmula

onde está a massa total de todas as partículas.

Um volume contínuo

Se a distribuição de massa é contínua com a densidade ρ ( r ) dentro de um sólido Q , então a integral das coordenadas de posição ponderada dos pontos neste volume em relação ao centro de massa R sobre o volume V é zero, isto é

Resolva esta equação para as coordenadas R para obter

onde M é a massa total no volume.

Se uma distribuição de massa contínua tem densidade uniforme , o que significa que ρ é constante, o centro de massa é o mesmo que o centróide do volume.

Coordenadas baricêntricas

As coordenadas R do centro de massa de um sistema de duas partículas, P 1 e P 2 , com massas m 1 e m 2 são dadas por

Deixe a porcentagem da massa total dividida entre essas duas partículas variar de 100% P 1 e 0% P 2 até 50% P 1 e 50% P 2 a 0% P 1 e 100% P 2 , então o centro de massa R move-se ao longo da linha de P 1 a P 2 . As porcentagens de massa em cada ponto podem ser vistas como coordenadas projetivas do ponto R nesta linha e são chamadas de coordenadas baricêntricas. Outra forma de interpretar o processo aqui é o equilíbrio mecânico de momentos sobre um ponto arbitrário. O numerador fornece o momento total que é então equilibrado por uma força total equivalente no centro de massa. Isso pode ser generalizado para três pontos e quatro pontos para definir as coordenadas projetivas no plano e no espaço, respectivamente.

Sistemas com condições de contorno periódicas

Para partículas em um sistema com condições de contorno periódicas, duas partículas podem ser vizinhas, embora estejam em lados opostos do sistema. Isso ocorre frequentemente em simulações de dinâmica molecular , por exemplo, em que os clusters se formam em locais aleatórios e, às vezes, átomos vizinhos cruzam a fronteira periódica. Quando um cluster ultrapassa o limite periódico, um cálculo ingênuo do centro de massa estará incorreto. Um método generalizado que calcula o centro de massa para sistemas periódicos é para tratar cada coordenada, x e y e / ou z , como se fosse um círculo em vez de uma linha. O cálculo pega a coordenada x de cada partícula e mapeia em um ângulo,

onde x max é o tamanho do sistema na direção xe . Deste ângulo, dois novos pontos podem ser gerados, que podem ser ponderados pela massa da partícula para o centro de massa ou dado um valor de 1 para o centro geométrico:

No plano, essas coordenadas estão em um círculo de raio 1. A partir da coleção de valores e de todas as partículas, as médias e são calculadas.

onde M é a soma das massas de todas as partículas.

Esses valores são mapeados de volta em um novo ângulo, a partir do qual a coordenada x do centro de massa pode ser obtida:

O processo pode ser repetido para todas as dimensões do sistema para determinar o centro de massa completo. A utilidade do algoritmo é que ele permite que a matemática determine onde está o "melhor" centro de massa, em vez de adivinhar ou usar a análise de agrupamento para "desdobrar" um agrupamento abrangendo os limites periódicos. Se ambos os valores médios forem zero,, então é indefinido. Este é um resultado correto, porque só ocorre quando todas as partículas estão exatamente espaçadas uniformemente. Nessa condição, suas coordenadas x são matematicamente idênticas em um sistema periódico .

Centro de gravidade

Diagrama de um brinquedo educacional que se equilibra em um ponto: o centro de massa (C) se acomoda abaixo de seu suporte (P)

O centro de gravidade de um corpo é o ponto em torno do qual o torque resultante devido às forças da gravidade desaparece. Onde um campo de gravidade pode ser considerado uniforme, o centro de massa e o centro de gravidade serão os mesmos. No entanto, para satélites em órbita ao redor de um planeta, na ausência de outros torques sendo aplicados a um satélite, a ligeira variação (gradiente) no campo gravitacional entre mais próximo (mais forte) e mais distante (mais fraco) do planeta pode levar a um torque que tenderá a alinhar o satélite de forma que seu eixo longo seja vertical. Nesse caso, é importante fazer a distinção entre o centro de gravidade e o centro de massa. Qualquer deslocamento horizontal entre os dois resultará em um torque aplicado.

É útil notar que o centro de massa é uma propriedade fixa para um determinado corpo rígido (por exemplo, sem respingos ou articulação), enquanto o centro de gravidade pode, além disso, depender de sua orientação em um gravitacional não uniforme campo. No último caso, o centro de gravidade estará sempre localizado um pouco mais próximo do corpo atrativo principal em comparação com o centro de massa e, portanto, mudará sua posição no corpo de interesse conforme sua orientação é alterada.

No estudo da dinâmica de aeronaves, veículos e embarcações, forças e momentos precisam ser resolvidos em relação ao centro de massa. Isso é verdade independentemente de a própria gravidade ser uma consideração. Referir-se ao centro de massa como centro de gravidade é uma espécie de coloquialismo, mas é de uso comum e quando os efeitos do gradiente de gravidade são desprezíveis, o centro de gravidade e o centro de massa são os mesmos e são usados ​​alternadamente.

Na física, os benefícios de usar o centro de massa para modelar uma distribuição de massa podem ser vistos considerando a resultante das forças de gravidade em um corpo contínuo. Considere um corpo Q de volume V com densidade ρ ( r ) em cada ponto r no volume. Em um campo de gravidade paralelo, a força f em cada ponto r é dada por,

onde dm é a massa no ponto r , g é a aceleração da gravidade e é um vetor unitário que define a direção vertical.

Escolha um ponto de referência R no volume e calcule a força e o torque resultantes neste ponto,

e

Se o ponto de referência R for escolhido de modo que seja o centro de massa, então

o que significa que o torque resultante T = 0. Como o torque resultante é zero, o corpo se moverá como se fosse uma partícula com sua massa concentrada no centro da massa.

Ao selecionar o centro de gravidade como ponto de referência para um corpo rígido, as forças da gravidade não farão com que o corpo gire, o que significa que o peso do corpo pode ser considerado concentrado no centro de massa.

Momento linear e angular

O momento linear e angular de uma coleção de partículas pode ser simplificado medindo a posição e a velocidade das partículas em relação ao centro de massa. Seja o sistema de partículas P i , i = 1, ..., n de massas m i localizado nas coordenadas r i com velocidades v i . Selecione um ponto de referência R e calcule a posição relativa e os vetores de velocidade,

O momento linear total e o momento angular do sistema são

e

Se R for escolhido como o centro de massa, essas equações simplificam para

onde m é a massa total de todas as partículas, p é o momento linear e L é o momento angular.

A lei da conservação do momento prediz que para qualquer sistema não sujeito a forças externas, o momento do sistema permanecerá constante, o que significa que o centro de massa se moverá com velocidade constante. Isso se aplica a todos os sistemas com forças internas clássicas, incluindo campos magnéticos, campos elétricos, reações químicas e assim por diante. Mais formalmente, isso é verdade para quaisquer forças internas que se cancelam de acordo com a Terceira Lei de Newton .

Localizando o centro de massa

Método de linha de prumo

A determinação experimental do centro de massa de um corpo faz uso de forças de gravidade no corpo e é baseada no fato de que o centro de massa é o mesmo que o centro de gravidade no campo de gravidade paralelo próximo à superfície da Terra.

O centro de massa de um corpo com eixo de simetria e densidade constante deve estar neste eixo. Assim, o centro de massa de um cilindro circular de densidade constante tem seu centro de massa no eixo do cilindro. Da mesma forma, o centro de massa de um corpo esférico simétrico de densidade constante está no centro da esfera. Em geral, para qualquer simetria de um corpo, seu centro de massa será um ponto fixo dessa simetria.

Em duas dimensões

Um método experimental para localizar o centro de massa é suspender o objeto em dois locais e soltar fios de prumo dos pontos de suspensão. A intersecção das duas linhas é o centro de massa.

A forma de um objeto pode já ter sido determinada matematicamente, mas pode ser muito complexa para usar uma fórmula conhecida. Nesse caso, pode-se subdividir a forma complexa em formas mais simples e elementares, cujos centros de massa são fáceis de encontrar. Se a massa total e o centro de massa podem ser determinados para cada área, então o centro de massa do todo é a média ponderada dos centros. Esse método pode funcionar até mesmo para objetos com orifícios, que podem ser contabilizados como massas negativas.

Um desenvolvimento direto do planímetro conhecido como integraph, ou integerometer, pode ser usado para estabelecer a posição do centróide ou centro de massa de uma forma bidimensional irregular. Este método pode ser aplicado a uma forma com um contorno irregular, suave ou complexo onde outros métodos são muito difíceis. Era regularmente usado por construtores de navios para comparar com o deslocamento necessário e o centro de flutuabilidade de um navio e garantir que ele não virasse.

Em três dimensões

Um método experimental para localizar as coordenadas tridimensionais do centro de massa começa apoiando o objeto em três pontos e medindo as forças F 1 , F 2 e F 3 que resistem ao peso do objeto ( é o vetor unitário na direção vertical). Sejam r 1 , r 2 e r 3 as coordenadas de posição dos pontos de apoio, então as coordenadas R do centro de massa satisfazem a condição de que o torque resultante é zero,

ou

Esta equação produz as coordenadas do centro de massa R * no plano horizontal como,

O centro de massa encontra-se na linha vertical L, dada por

As coordenadas tridimensionais do centro de massa são determinadas realizando este experimento duas vezes com o objeto posicionado de forma que essas forças sejam medidas para dois planos horizontais diferentes através do objeto. O centro de massa será a intersecção das duas linhas L 1 e L 2 obtidas nos dois experimentos.

Formulários

Projetos de engenharia

Aplicações automotivas

Os engenheiros tentam projetar um carro esportivo de modo que seu centro de massa seja rebaixado para melhorar o controle do carro , ou seja, manter a tração enquanto executa curvas relativamente fechadas.

O perfil baixo característico do Humvee militar dos EUA foi projetado em parte para permitir que ele se incline mais do que os veículos mais altos, sem capotar , porque seu baixo centro de massa ficaria sobre o espaço delimitado pelas quatro rodas, mesmo em ângulos distantes da horizontal .

Aeronáutica

O centro de massa é um ponto importante em uma aeronave , que afeta significativamente a estabilidade da aeronave. Para garantir que a aeronave esteja estável o suficiente para voar com segurança, o centro de massa deve estar dentro dos limites especificados. Se o centro de massa estiver à frente do limite de avanço , a aeronave será menos manobrável, possivelmente ao ponto de ser incapaz de girar para decolagem ou flare para pouso. Se o centro de massa estiver atrás do limite de popa, a aeronave será mais manobrável, mas também menos estável e possivelmente instável o suficiente para ser impossível voar. O braço de momento do elevador também será reduzido, o que torna mais difícil se recuperar de uma condição de paralisação .

Para helicópteros em foco , o centro de massa é sempre diretamente abaixo do rotorhead . Em vôo para a frente, o centro de massa se moverá para frente para equilibrar o torque de inclinação negativo produzido pela aplicação do controle cíclico para impulsionar o helicóptero para frente; conseqüentemente, um helicóptero de cruzeiro voa "com o nariz para baixo" em vôo nivelado.

Astronomia

Dois corpos orbitando seu baricentro (cruz vermelha)

O centro de massa desempenha um papel importante na astronomia e astrofísica, onde é comumente referido como baricentro . O baricentro é o ponto entre dois objetos onde eles se equilibram; é o centro de massa onde dois ou mais corpos celestes orbitam um ao outro. Quando uma lua orbita um planeta , ou um planeta orbita uma estrela , ambos os corpos orbitam um ponto que fica longe do centro do corpo primário (maior). Por exemplo, a Lua não orbita o centro exato da Terra , mas um ponto em uma linha entre o centro da Terra e a Lua, aproximadamente 1.710 km (1.062 milhas) abaixo da superfície da Terra, onde suas respectivas massas se equilibram . Este é o ponto sobre o qual a Terra e a Lua orbitam enquanto viajam ao redor do Sol . Se as massas forem mais semelhantes, por exemplo, Plutão e Caronte , o baricentro ficará fora de ambos os corpos.

Rigging e segurança

Saber a localização do centro de gravidade durante a montagem é crucial, podendo resultar em ferimentos graves ou morte se assumido incorretamente. Um centro de gravidade que está no ou acima do ponto de levantamento provavelmente resultará em um incidente de capotamento. Em geral, quanto mais longe o centro de gravidade abaixo do ponto de seleção, mais seguro é o levantamento. Há outras coisas a serem consideradas, como deslocamento de cargas, força da carga e massa, distância entre os pontos de seleção e o número de pontos de seleção. Especificamente, ao selecionar pontos de elevação, é muito importante colocar o centro de gravidade no centro e bem abaixo dos pontos de elevação.

Movimento do corpo

Em cinesiologia e biomecânica, o centro de massa é um parâmetro importante que auxilia as pessoas a compreender sua locomoção humana. Normalmente, o centro de massa de um ser humano é detectado com um de dois métodos: o método da placa de reação é uma análise estática que envolve a pessoa deitada naquele instrumento e o uso de sua equação de equilíbrio estático para encontrar seu centro de massa; o método de segmentação baseia-se em uma solução matemática baseada no princípio físico de que a soma dos torques das seções individuais do corpo, em relação a um eixo especificado , deve ser igual ao torque de todo o sistema que constitui o corpo, medido em relação ao mesmo eixo.

Veja também

Notas

Referências

links externos