Classificação Nielsen-Thurston - Nielsen–Thurston classification

Em matemática , o teorema de classificação de Thurston caracteriza os homeomorfismos de uma superfície compacta orientável . O teorema de William Thurston completa o trabalho iniciado por Jakob Nielsen  ( 1944 ).

Dado um homeomorfismo f  :  S  →  S , existe um mapa g isotópico para f tal que pelo menos um dos seguintes é válido:

• g é periódico, ou seja, alguma potência de g é a identidade;
• g preserva alguma união finita de curvas fechadas simples disjuntas em S (neste caso, g é chamado redutível ); ou
• g é pseudo-Anosov .

O caso em que S é um toro (ou seja, uma superfície cujo gênero é um) é tratado separadamente (ver feixe de toro ) e era conhecido antes do trabalho de Thurston. Se o gênero de S é dois ou mais, então S é naturalmente hiperbólico , e as ferramentas da teoria de Teichmüller tornam-se úteis. A seguir, assumimos que S tem pelo menos dois gêneros, pois este é o caso considerado por Thurston. (Observe, no entanto, que os casos em que S tem limite ou não é orientável ainda são definitivamente de interesse.)

Os três tipos nesta classificação não são mutuamente exclusivos, embora um homeomorfismo pseudo-Anosov nunca seja periódico ou redutível . Um homeomorfismo redutível g pode ser posteriormente analisado cortando a superfície ao longo da união preservada de curvas fechadas simples Γ . Cada uma das superfícies compactas resultantes com limite é acionada por algum poder (isto é, composição iterada ) de g , e a classificação pode ser novamente aplicada a este homeomorfismo.

O grupo de classes de mapeamento para superfícies de gênero superior

A classificação de Thurston se aplica a homeomorfismos de superfícies orientáveis ​​de gênero ≥ 2, mas o tipo de homeomorfismo depende apenas de seu elemento associado do grupo de classes de mapeamento Mod (S) . Na verdade, a prova do teorema de classificação leva a um representante canônico de cada classe de mapeamento com boas propriedades geométricas. Por exemplo:

• Quando g é periódico, existe um elemento da sua classe de mapeamento que é um isometría de uma estrutura hiperbólica em S .
• Quando g é pseudo-Anosov , há um elemento de sua classe de mapeamento que preserva um par de folheações transversais singulares de S , esticando as folhas de uma (a foliação instável ) enquanto contrai as folhas da outra (a foliação estável ).

Mapeando toros

A motivação original de Thurston para desenvolver esta classificação era encontrar estruturas geométricas no mapeamento de toros do tipo previsto pela conjectura da geometrização . O toro de mapeamento M _g de um homeomorfismo g de uma superfície S é a variedade 3 obtida de S × [0,1] colando S × {0} a S × {1} usando g . A estrutura geométrica de M _g está relacionada ao tipo de g na classificação da seguinte forma:

• Se g for periódico, então M _g tem uma estrutura H ² × R;
• Se g é redutível, então M _g tem toros incompressíveis , e deve ser cortado ao longo desses toros para produzir pedaços com estruturas geométricas (a decomposição JSJ );
• Se g for pseudo-Anosov , então M _g tem uma estrutura hiperbólica (isto é, H ³ ).

Os dois primeiros casos são comparativamente fáceis, enquanto a existência de uma estrutura hiperbólica no toro de mapeamento de um homeomorfismo pseudo-Anosov é um teorema profundo e difícil (também devido a Thurston ). As variedades 3 hiperbólicas que surgem dessa maneira são chamadas de fibrosas porque são feixes de superfície sobre o círculo , e essas variedades são tratadas separadamente na prova do teorema de geometrização de Thurston para variedades de Haken . As variedades 3 hiperbólicas fibrosas têm várias propriedades interessantes e patológicas; por exemplo, Cannon e Thurston mostraram que o subgrupo de superfície do grupo Kleiniano resultante tem um conjunto limite que é uma curva de preenchimento de esfera .

Classificação de ponto fixo

Os três tipos de homeomorfismos de superfície também estão relacionados à dinâmica do grupo de classes de mapeamento Mod ( S ) no espaço de Teichmüller T ( S ). Thurston introduziu uma compactificação de T ( S ) que é homeomórfica a uma bola fechada, e para a qual a ação de Mod ( S ) se estende naturalmente. O tipo de um elemento g do grupo de classes de mapeamento na classificação de Thurston está relacionado aos seus pontos fixos ao atuar na compactação de T ( S ):

• Se g é periódico, então existe um ponto fixo dentro de T ( S ); este ponto corresponde a uma estrutura hiperbólica em S cujo grupo de isometria contém um elemento isotópico ag ;
• Se g for pseudo-Anosov , então g não terá pontos fixos em T ( S ), mas terá um par de pontos fixos na fronteira de Thurston; esses pontos fixos correspondem às folheações estáveis e instáveis de S preservadas por g .
• Para algumas classes de mapeamento redutíveis g , há um único ponto fixo na fronteira de Thurston; um exemplo é uma torção múltipla ao longo de uma decomposição de calças Γ . Nesse caso, o ponto fixo de g na fronteira de Thurston corresponde a Γ .

Isso é uma reminiscência da classificação das isometrias hiperbólicas em tipos elípticos , parabólicos e hiperbólicos (que têm estruturas de pontos fixos semelhantes aos tipos periódico , redutível e pseudo-Anosov listados acima).

Veja também

• Mapa da trilha do trem

Referências

• Bestvina, M .; Handel, M. (1995). "Trilhos para homeomorfismos de superfície" (PDF) . Topologia . 34 (1): 109-140.
• Fenchel, Werner ; Nielsen, Jakob (2003). Schmidt, Asmus L. (ed.). Grupos descontínuos de isometrias no plano hiperbólico . De Gruyter Studies in mathematics. 29 . Berlim: Walter de Gruyter & Co.
• Travaux de Thurston sur les surface, Astérisque, 66-67, Soc. Matemática. França, Paris, 1979
• Handel, M .; Thurston, WP (1985). “Novas provas de alguns resultados da Nielsen” (PDF) . Avanços em Matemática . 56 (2): 173–191. doi : 10.1016 / 0001-8708 (85) 90028-3 . MR  0788938 .
• Nielsen, Jakob (1944), "Classes de transformação de superfície de tipo algebraicamente finito", Danske Vid. Selsk. Math.-Phys. Medd. , 21 (2): 89, MR  0015791
• Penner, RC (1988). "Uma construção de homeomorfismos pseudo-Anosov" . Transactions of the American Mathematical Society . 310 (1): 179–197. doi : 10.1090 / S0002-9947-1988-0930079-9 . MR  0930079 .
• Thurston, William P. (1988), "On the geometry and dynamics of diffeomorphisms of surface ", Bulletin of the American Mathematical Society , New Series, 19 (2): 417-431, doi : 10.1090 / S0273-0979-1988- 15685-6 , ISSN  0002-9904 , MR  0956596