Haken manifold - Haken manifold

Em matemática , um colector de Haken é um compacto , P²-irredutível 3-colector que é suficientemente grande , o que significa que ele contém uma adequadamente incorporado dois lados superfície incompressível . Às vezes, considera-se apenas variedades de Haken orientáveis, caso em que uma variedade de Haken é uma variedade 3 compacta, orientável e irredutível que contém uma superfície orientável e incompressível.

Diz-se que um manifold de 3 finitamente coberto por um manifold de Haken é virtualmente Haken . A conjectura de Virtually Haken afirma que cada 3-manifold compacto e irredutível com grupo fundamental infinito é virtualmente Haken. Essa conjectura foi comprovada por Ian Agol .

As variedades de Haken foram introduzidas por Wolfgang Haken  ( 1961 ). Haken (1962) provou que as variedades de Haken têm uma hierarquia , onde podem ser divididas em 3 bolas ao longo de superfícies incompressíveis. Haken também mostrou que havia um procedimento finito para encontrar uma superfície incompressível se a variedade de 3 tivesse uma. William Jaco e Ulrich Oertel ( 1984 ) forneceram um algoritmo para determinar se uma variedade de 3 era Haken.

As superfícies normais são onipresentes na teoria das variedades de Haken e sua estrutura simples e rígida leva naturalmente aos algoritmos.

Haken hierarquia

Consideraremos apenas o caso de variedades de Haken orientáveis , pois isso simplifica a discussão; uma vizinhança regular de uma superfície orientável em uma variedade 3 orientável é apenas uma versão "engrossada" da superfície, isto é, um pacote em I trivial . Portanto, a vizinhança regular é uma subvariedade tridimensional com limite contendo duas cópias da superfície.

Dada uma variedade de Haken M orientável , por definição ela contém uma superfície S incompressível e orientável . Pegue a vizinhança regular de S e exclua seu interior de M , resultando em M ' . Com efeito, nós cortamos M ao longo da superfície S . (Isso é análogo, em uma dimensão a menos, a cortar uma superfície ao longo de um círculo ou arco.) É um teorema que qualquer variedade compacta orientável com um componente de fronteira que não seja uma esfera tem um primeiro grupo de homologia infinito, o que implica que tem uma superfície incompressível não separável de 2 lados devidamente incorporada, e assim também é um coletor de Haken. Assim, podemos escolher outra superfície incompressível em M ' e cortar ao longo dela . Se eventualmente essa sequência de corte resultar em uma variedade cujas peças (ou componentes) são apenas 3 bolas, chamamos essa sequência de hierarquia.

Formulários

A hierarquia torna a prova de certos tipos de teoremas sobre variedades de Haken uma questão de indução. Um prova o teorema para 3 bolas. Então, prova-se que se o teorema é verdadeiro para peças resultantes de um corte de uma variedade de Haken, então ele é verdadeiro para aquela variedade de Haken. A chave aqui é que o corte ocorre ao longo de uma superfície que era muito "boa", ou seja, incompressível. Isso torna a prova da etapa de indução viável em muitos casos.

Haken esboçou uma prova de um algoritmo para verificar se duas variedades de Haken eram homeomórficas ou não. Seu esboço foi preenchido por esforços substantivos por Friedhelm Waldhausen , Klaus Johannson, Geoffrey Hemion, Sergeĭ Matveev, et al. Visto que existe um algoritmo para verificar se uma variedade de 3 é Haken (cf. Jaco – Oertel), o problema básico de reconhecimento de variedades de 3 pode ser considerado resolvido para variedades de Haken.

Waldhausen  ( 1968 ) provou que variedades de Haken fechadas são topologicamente rígidas : grosso modo, qualquer equivalência de homotopia de variedades de Haken é homotópica a um homeomorfismo (para o caso de fronteira, uma condição na estrutura periférica é necessária). Portanto, essas três variedades são completamente determinadas por seu grupo fundamental. Além disso, Waldhausen provou que os grupos fundamentais de variedades de Haken têm problemas de palavras solucionáveis; isso também é verdadeiro para manifolds virtualmente Haken.

A hierarquia desempenhou um papel crucial na William Thurston 's hiperbolização teorema para variedades de Haken, parte de seu programa de geometrização revolucionário para 3-variedades.

Johannson (1979) provou que as três variedades de Haken, atoroidal , ananular , irredutível de limite, têm grupos de classes de mapeamento finito . Este resultado pode ser recuperado da combinação da rigidez de Mostow com o teorema de geometrização de Thurston.

Exemplos de variedades Haken

Observe que algumas famílias de exemplos estão contidas em outras.

• Coletores de 3 compactos irredutíveis com primeiro número de Betti positivo
• Feixes de superfície sobre o círculo , este é um caso especial do exemplo acima.
• Complementos de link
• A maioria dos espaços de fibra Seifert tem muitos toros incompressíveis

Veja também

• Decomposição manifold
• P ² - coletor irredutível

Referências

• Haken, Wolfgang (1961). "Theorie der Normalflächen. Ein Isotopiekriterium für den Kreisknoten" . Acta Mathematica . 105 (3–4): 245–375. doi : 10.1007 / BF02559591 . ISSN  0001-5962 . MR  0141106 .
• Haken, Wolfgang (1968). "Alguns resultados em superfícies em 3-manifolds" . Em Hilton, Peter J. (ed.). Estudos em Topologia Moderna . Mathematical Association of America (distribuído por Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ). pp. 39–98. ISBN 978-0-88385-105-0. MR  0224071 .
• Haken, Wolfgang (1962). "Über das Homöomorphieproblem der 3-Mannigfaltigkeiten. I". Mathematische Zeitschrift . 80 : 89-120. doi : 10.1007 / BF01162369 . ISSN  0025-5874 . MR  0160196 .
• Hempel, John (1976). 3-manifolds . Annals of Mathematics Studies. 86 . Princeton University Press . ISBN 978-0-8218-3695-8. MR  0415619 .
• Jaco, William ; Oertel, Ulrich (1984). "Um algoritmo para decidir se uma variedade de 3 é uma variedade de Haken" . Topologia . 23 (2): 195–209. doi : 10.1016 / 0040-9383 (84) 90039-9 . ISSN  0040-9383 . MR  0744850 .
• Johannson, Klaus (1979). "No grupo de classes de mapeamento de 3 variedades simples". Em Fenn, Roger A. (ed.). Topology of low-dimensional manifolds (Proc. Second Sussex Conf., Chelwood Gate, 1977) . Notas de aula em matemática. 722 . Berlim, Nova York: Springer-Verlag . pp. 48–66. doi : 10.1007 / BFb0063189 . ISBN 978-3-540-09506-4. MR  0547454 .
• Waldhausen, Friedhelm (1968). "Em coletores de 3 irredutíveis que são suficientemente grandes" . Annals of Mathematics . Segunda série. 87 (1): 56–88. doi : 10.2307 / 1970594 . ISSN  0003-486X . JSTOR  1970594 . MR  0224099 .