Módulo (matemática) - Module (mathematics)

Em matemática , um módulo é uma das estruturas algébricas fundamentais usadas na álgebra abstrata . Um módulo sobre um anel é uma generalização da noção de espaço vetorial sobre um campo , em que escalares são elementos de um determinado anel , e uma operação chamada multiplicação escalar é definida entre elementos do anel e elementos do módulo. Um módulo que obtém seus escalares de um anel R é chamado de R- módulo.

Como um espaço vetorial, um módulo é um grupo abeliano aditivo , e a multiplicação escalar é distributiva sobre a operação de adição entre os elementos do anel ou módulo e é compatível com a multiplicação do anel.

Os módulos estão intimamente relacionados com a teoria da representação de grupos . Eles também são uma das noções centrais da álgebra comutativa e da álgebra homológica , e são amplamente usados em geometria algébrica e topologia algébrica .

Introdução e definição

Motivação

Em um espaço vetorial, o conjunto de escalares é um campo e atua sobre os vetores por multiplicação escalar, sujeito a certos axiomas, como a lei distributiva . Em um módulo, os escalares precisam ser apenas um anel , portanto, o conceito de módulo representa uma generalização significativa. Na álgebra comutativa, tanto os anéis ideais quanto os quocientes são módulos, de modo que muitos argumentos sobre os ideais ou anéis quocientes podem ser combinados em um único argumento sobre os módulos. Na álgebra não comutativa, a distinção entre ideais da esquerda, ideais e módulos torna-se mais pronunciada, embora algumas condições da teoria dos anéis possam ser expressas tanto sobre ideais da esquerda quanto sobre módulos da esquerda.

Grande parte da teoria dos módulos consiste em estender o máximo possível das propriedades desejáveis dos espaços vetoriais ao reino dos módulos em um anel " bem comportado ", como um domínio ideal principal . No entanto, os módulos podem ser um pouco mais complicados do que os espaços vetoriais; por exemplo, nem todos os módulos têm uma base , e mesmo aqueles que têm, módulos livres , não precisam ter uma classificação única se o anel subjacente não satisfizer a condição de número de base invariável , ao contrário dos espaços vetoriais, que sempre têm um (possivelmente infinito) base cuja cardinalidade é então única. (Essas duas últimas afirmações requerem o axioma da escolha em geral, mas não no caso de espaços de dimensão finita, ou certos espaços de dimensão infinita bem comportados, como espaços L ^p .)

Definição formal

Suponha que R seja um anel e 1 seja sua identidade multiplicativa. Uma esquerda R -module M consiste em um grupo abeliano ( H +) e uma operação ⋅: R × M → M de tal modo que para todos os r , s em R e x , y em H , temos

${\ displaystyle r \ cdot (x + y) = r \ cdot x + r \ cdot y}$
${\ displaystyle (r + s) \ cdot x = r \ cdot x + s \ cdot x}$
${\ displaystyle (rs) \ cdot x = r \ cdot (s \ cdot x)}$
${\ displaystyle 1 \ cdot x = x.}$

A operação ⋅ é chamada de multiplicação escalar . Muitas vezes o símbolo ⋅ é omitido, mas neste artigo vamos usá-lo e justaposição de reserva para a multiplicação em R . Pode-se escrever _R M para enfatizar que M é um módulo R esquerdo. Um certo R -module H _R é definido de forma semelhante, em termos de uma operação ⋅: M × R → M .

Autores que não exigem que os anéis sejam unitais omitem a condição 4 na definição acima; eles chamariam as estruturas definidas acima de " módulos R esquerdos unitais". Neste artigo, de acordo com o glossário da teoria dos anéis , todos os anéis e módulos são considerados unitais.

Um (R, S) - bimódulo é um grupo abeliano junto com uma multiplicação escalar esquerda ⋅ por elementos de R e uma multiplicação escalar direita * por elementos de S , tornando-o simultaneamente um módulo R esquerdo e um módulo S direito , satisfazendo a condição adicional para todos r em R , X em M , e s em s . ${\ displaystyle (r \ cdot x) \ ast s = r \ cdot (x \ ast s)}$

Se R for comutativo , então os módulos R à esquerda são iguais aos módulos R à direita e são simplesmente chamados de módulos R.

Exemplos

Se K for um campo , então K - espaços vetoriais (espaços vetoriais sobre K ) e K- módulos são idênticos.
Se K é um campo, e K [ x ] univariada um anel polinomial , em seguida, um K [ x ] -module M é um K -module com uma acção adicional de x em M que comuta com a acção de K em H . Em outras palavras, um K [ x ] é um -module K espaço -vector H combinado com um mapa linear de M a M . A aplicação do teorema da estrutura para módulos gerados finitamente sobre um domínio ideal principal a este exemplo mostra a existência das formas racional e canônica de Jordan .
O conceito de módulo Z concorda com a noção de grupo abeliano. Ou seja, cada grupo abeliano é um módulo sobre o anel de inteiros Z de uma maneira única. Para n > 0 , seja n ⋅ x = x + x + ... + x ( n somas), 0 ⋅ x = 0 e (- n ) ⋅ x = - ( n ⋅ x ) . Tal módulo não precisa ter uma base - grupos que contêm elementos de torção não. (Por exemplo, no grupo de inteiros módulo 3, não se pode encontrar nem mesmo um elemento que satisfaça a definição de um conjunto linearmente independente, pois quando um inteiro como 3 ou 6 multiplica um elemento, o resultado é 0. No entanto, se um conjunto finito campo é considerado como um módulo sobre o mesmo corpo finito tomado como um anel, é um espaço vetorial e tem uma base.)
As frações decimais (incluindo as negativas) formam um módulo sobre os inteiros. Apenas singletons são conjuntos linearmente independentes, mas não há singleton que possa servir de base, portanto, o módulo não tem base nem classificação.
Se R é qualquer anel e n um número natural , então o produto cartesiano R ⁿ é um módulo R esquerdo e direito sobre R se usarmos as operações componentes. Portanto, quando n = 1 , R é um módulo- R , onde a multiplicação escalar é apenas a multiplicação de anéis. O caso n = 0 produz o módulo R trivial {0} que consiste apenas em seu elemento de identidade. Módulos desse tipo são chamados de livres e se R tem número de base invariável (por exemplo, qualquer anel ou campo comutativo) o número n é então a classificação do módulo livre.
Se M _n ( R ) é o anel de N × n matrizes ao longo de um anel R , M é um M _n ( R ) -module, e um e _i é o n x n matricial com um no ( i , i ) -Entrada (e zeros em qualquer outro local), seguida de e _i M é um R -module, uma vez re _i m = e _i rm ∈ e _i M . Então M rompe-se como a soma direta de R -modules, M = e ₁M ⊕ ... ⊕ e _n M . Inversamente, dado um módulo R M ₀ , então M ₀^{⊕ n} é um módulo M _n ( R ). Na verdade, a categoria dos módulos R e a categoria dos módulos M _n ( R ) são equivalentes . O caso especial é que o módulo M é apenas R como um módulo sobre si mesmo, então R ⁿ é um módulo M _n ( R ).
Se S é um conjunto não vazio , M é um módulo R esquerdo, e M ^S é a coleção de todas as funções f : S → M , então com adição e multiplicação escalar em M ^S definida pontualmente por ( f + g ) ( s ) = f ( s ) + g ( s ) e ( rf ) ( s ) = rf ( s ) , M ^S é um módulo R esquerdo. O caso certo do módulo R é análogo. Em particular, se R é comutativo, então a coleção de homomorfismos do módulo R h : M → N (veja abaixo) é um módulo R (e de fato um submódulo de N ^M ).
Se X for uma variedade suave , então as funções suaves de X para os números reais formam um anel C ^∞ ( X ). O conjunto de todas as lisas campos vectoriais definidos em X formam um módulo sobre C ^∞ ( X ), e o mesmo acontece com os campos tensores e as formas diferenciais em X . De maneira mais geral, as seções de qualquer feixe vetorial formam um módulo projetivo sobre C ^∞ ( X ) e, pelo teorema de Swan , todo módulo projetivo é isomórfico ao módulo de seções de algum feixe; a categoria dos módulos C ^∞ ( X ) e a categoria dos feixes de vetores sobre X são equivalentes .
Se R é qualquer anel e I é qualquer ideal esquerdo em R , então I é um módulo R esquerdo, e analogamente ideais direitos em R são módulos R direito .
Se R é um anel, podemos definir o anel oposto R ^op que tem o mesmo conjunto subjacente e a mesma operação de adição, mas a multiplicação oposta: se ab = c em R , então ba = c em R ^op . Qualquer esquerda R -module M pode, então, ser visto como um direito módulo sobre R ^op , e qualquer direito módulo sobre R pode ser considerado um módulo de esquerda sobre R ^op .
Módulos sobre uma álgebra de Lie são módulos (álgebra associativa) sobre sua álgebra universal envolvente .
Se R e S são anéis com um homomorfismo de anel φ : R → S , então todo módulo S M é um módulo R definindo rm = φ ( r ) m . Em particular, o próprio S é um tal R- módulo.

Submódulos e homomorfismos

Suponhamos que M é um esquerdo R -module e N é um subgrupo de M . Em seguida, N é um sub-módulo (ou mais explicitamente um R -submodule) se por qualquer n em N e qualquer de R em R , o produto r ⋅ N (ou n ⋅ r para um certo R -module) é em N .

Se X for qualquer subconjunto de um R -módulo, então o submódulo estendido por X é definido como onde N corre sobre os submódulos de M que contêm X , ou explicitamente , o que é importante na definição de produtos tensores. ${\ textstyle \ langle X \ rangle = \, \ bigcap _ {N \ supseteq X} N}$ ${\ textstyle \ left \ {\ sum _ {i = 1} ^ {k} r_ {i} x_ {i} \ mid r_ {i} \ in R, x_ {i} \ in X \ right \}}$

O conjunto de submódulos de um dado módulo M , junto com as duas operações binárias + e ∩, forma uma rede que satisfaz a lei modular : Dados os submódulos U , N ₁ , N ₂ de M tais que N ₁ ⊂ N ₂ , então o os dois submódulos seguintes são iguais: ( N ₁ + U ) ∩ N ₂ = N ₁ + ( U ∩ N ₂ ) .

Se M e N são os módulos R restantes, então um mapa f : M → N é um homomorfismo de módulos R se para qualquer m , n em M e r , s em R ,

{\ displaystyle f (r \ cdot m + s \ cdot n) = r \ cdot f (m) + s \ cdot f (n)}

.

Este, como qualquer homomorfismo de objetos matemáticos, é apenas um mapeamento que preserva a estrutura dos objetos. Outro nome para um homomorfismo de R -modules é um R - mapa linear .

Um bijective módulo homomorphism f : M → N é chamado um módulo isomorfismo , e os dois módulos M e N são chamados isomorfos . Dois módulos isomórficos são idênticos para todos os fins práticos, diferindo apenas na notação de seus elementos.

O núcleo de um homomorfismo de módulo f : M → N é o submódulo de M consistindo em todos os elementos que são enviados a zero por f , e a imagem de f é o submódulo de N consistindo em valores f ( m ) para todos os elementos m de M . Os teoremas de isomorfismo familiares de grupos e espaços vetoriais também são válidos para módulos- R .

Dado um anel R , o conjunto de todos os módulos R esquerdos junto com seus homomorfismos de módulo formam uma categoria abeliana , denotada por R - Mod (ver categoria de módulos ).

Tipos de módulos

Finitamente gerado: Um R -module M é um número finito gerado se existe um número finito de elementos x ₁ , ..., x _n em M de tal modo que cada elemento de M é uma combinação linear dos elementos com coeficientes do anel R .
Cíclico: Um módulo é denominado módulo cíclico se for gerado por um elemento.
gratuitamente: Um livre R -module é um módulo que tem uma base, ou equivalentemente, uma que é isomorfa a uma soma directa de cópias do anel R . Esses são os módulos que se comportam de maneira muito semelhante a espaços vetoriais.
Projetiva: Módulos projetivos são somas diretas de módulos livres e compartilham muitas de suas propriedades desejáveis.
Injetivo: Módulos injetivos são definidos duplamente para módulos projetivos.
Apartamento: Um módulo é chamado plano se tomar o produto tensorial dele com qualquer sequência exata de módulos R preserva a exatidão.
Sem torção: Um módulo é denominado sem torção se ele se encaixar em seu dual algébrico.
Simples: Um módulo simples S é um módulo que não é {0} e cuja única submódulos são {0} e S . Módulos simples às vezes são chamados de irredutíveis .
Semisimples: Um módulo semi-simples é uma soma direta (finita ou não) de módulos simples. Historicamente, esses módulos também são chamados de completamente redutíveis .
Indecomponível: Um módulo indecomponível é um módulo diferente de zero que não pode ser escrito como uma soma direta de dois submódulos diferentes de zero. Cada módulo simples é indecomponível, mas existem módulos indecomponíveis que não são simples (por exemplo, módulos uniformes ).
Fiel: Um módulo fiel M é aquele em que a ação de cada r ≠ 0 em R em M é não trivial (ou seja, r ⋅ x ≠ 0 para algum x em M ). Equivalentemente, o aniquilador de M é o ideal zero .
Livre de torção: Um módulo livre de torção é um módulo sobre um anel tal que 0 é o único elemento aniquilado por um elemento regular (não divisor de zero ) do anel, equivalentemente implica ou . ${\ displaystyle rm = 0}$ ${\ displaystyle r = 0}$ ${\ displaystyle m = 0}$
Noetheriano: Um módulo Noetherian é um módulo que satisfaz a condição de cadeia ascendente em submódulos, ou seja, toda cadeia crescente de submódulos torna-se estacionária após um número finito de passos. Equivalentemente, cada submódulo é gerado finitamente.
Artiniana: Um módulo Artinian é um módulo que satisfaz a condição de cadeia descendente em submódulos, ou seja, toda cadeia decrescente de submódulos torna-se estacionária após um número finito de passos.
Classificado: Um módulo graduado é um módulo com uma decomposição como uma soma direta M = ⨁ _x M _x sobre um anel graduado R = ⨁ _x R _x tal que R _x M _y ⊂ M _{x + y} para todos os x e y .
Uniforme: Um módulo uniforme é um módulo no qual todos os pares de submódulos diferentes de zero têm interseção diferente de zero.

Outras noções

Relação com a teoria da representação

Uma representação de um grupo G sobre um campo k é um módulo sobre o anel de grupo k [ G ].

Se M é um módulo R esquerdo, então a ação de um elemento r em R é definida como o mapa M → M que envia cada x para rx (ou xr no caso de um módulo direito), e é necessariamente um grupo endomorfismo do grupo abeliano ( M , +) . O conjunto de todos os endomorfismos de grupo de M é denotado como Fim _Z ( M ) e forma um anel sob adição e composição , e o envio de um elemento de anel r de R para sua ação na verdade define um homomorfismo de anel de R a Fim _Z ( M ).

Tal homomorfismo de anel R → Fim _Z ( M ) é chamado de representação de R sobre o grupo abeliano M ; uma maneira alternativa e equivalente de definir os módulos R esquerdos é dizer que um módulo R esquerdo é um grupo abeliano M junto com uma representação de R sobre ele. Tal uma representação $R \to Fim Z (M)$ podem também ser chamado uma acção anel de $R$ em $H$ .

Uma representação é chamada de fiel se e somente se o mapa R → End _Z ( M ) for injetivo . Em termos de módulos, isso significa que se r é um elemento de R tal que rx = 0 para todo x em M , então r = 0 . Cada grupo abeliano é um módulo de fiéis ao longo dos inteiros ou sobre alguma modular aritmética Z / n Z .

Generalizações

Um anel R corresponde a uma categoria R pré - aditiva com um único objeto . Com este entendimento, um módulo R esquerdo é apenas um functor aditivo covariante de R para a categoria Ab de grupos abelianos , e os módulos R direito são functores aditivos contravariantes. Isto sugere que, se C é qualquer categoria preadditive, um functor aditivo covariante de C para Ab deve ser considerado um módulo esquerda generalizada sobre C . Esses functores formam uma categoria de functor C - Mod, que é a generalização natural da categoria de módulo R - Mod .

Módulos sobre anéis comutativos podem ser generalizados em uma direção diferente: pegue um espaço anelado ( X , O _X ) e considere os feixes de O _{X -} módulos (veja o feixe de módulos ). Estes formam uma categoria O _X - Mod e desempenham um papel importante na geometria algébrica moderna . Se X tem apenas um único ponto, então esta é uma categoria de módulo no antigo sentido sobre o anel comutativo O _X ( X ).

Também se pode considerar módulos ao longo de uma semirreção . Módulos sobre anéis são grupos abelianos, mas módulos sobre semirings são apenas monóides comutativos . A maioria das aplicações de módulos ainda são possíveis. Em particular, para qualquer semiring S , as matrizes sobre S formam uma semiring sobre a qual as tuplas de elementos de S são um módulo (apenas neste sentido generalizado). Isso permite uma nova generalização do conceito de espaço vetorial incorporando os semirings da ciência da computação teórica.

Sobre os quase-anéis , pode-se considerar os módulos do quase-anel, uma generalização não-babeliana de módulos.

Veja também

Notas

Referências

FW Anderson e KR Fuller: Anéis e categorias de módulos , textos de graduação em matemática, vol. 13, 2ª Ed., Springer-Verlag, New York, 1992, ISBN 0-387-97845-3 , ISBN 3-540-97845-3
Nathan Jacobson . Estrutura de anéis . Publicações do Colloquium, vol. 37, 2ª Ed., AMS Bookstore, 1964, ISBN 978-0-8218-1037-8

links externos

"Module" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
Por que é uma boa ideia estudar os módulos de um anel? no MathOverflow
módulo em nLab

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