Glossário da teoria dos anéis - Glossary of ring theory

A teoria dos anéis é o ramo da matemática em que os anéis são estudados: isto é, estruturas que suportam uma operação de adição e multiplicação . Este é um glossário de alguns termos do assunto.

Para os itens em álgebra comutativa (a teoria dos anéis comutativos), consulte o glossário de álgebra comutativa . Para conceitos da teoria do anel na linguagem dos módulos, consulte também o Glossário da teoria do módulo .

Para tipos específicos de álgebras, consulte também: Glossário da teoria de campo e Glossário de grupos de Lie e álgebras de Lie . Como, atualmente, não existe um glossário sobre estruturas álgebra não necessariamente associativas em geral, este glossário inclui alguns conceitos que não precisam de associatividade; por exemplo, uma derivação.

UMA

Complexo de Amitsur: O complexo de Amitsur de um homomorfismo de anel é um complexo de cochain que mede até que ponto o homomorfismo de anel deixa de ser fielmente plano .
Artiniano: Um anel artiniano esquerdo é um anel que satisfaz a condição de cadeia descendente para ideais de esquerda; um anel artiniano certo é aquele que satisfaz a condição da cadeia descendente para ideais corretos. Se um anel for Artiniano esquerdo e direito, é denominado Artiniano . Os anéis artinianos são anéis noetherianos.
Teorema de Artin-Wedderbun: O teorema de Artin-Wedderburn afirma que um anel semi-simples é um produto finito de anéis de matriz (completos) sobre anéis de divisão.
associado: Em um anel conmutativo, um elemento um é chamado um associado de um elemento de b se um divide b e b divide um .
automorfismo: Um automorfismo de anel é um isomorfismo de anel entre o mesmo anel; em outras palavras, é um elemento unitário do anel de endomorfismo do anel que é multiplicativo e preserva a identidade multiplicativa.; Um automorfismo de álgebra sobre um anel comutativo R é um isomorfismo de álgebra entre a mesma álgebra; é um automorfismo em anel que também é R- linear.
Azumaya: Uma álgebra de Azumaya é uma generalização de uma álgebra central simples para um anel de base não-campo.

B

bidimension: A dimensão bidimensional de uma álgebra associativa A sobre um anel comutativo R é a dimensão projetiva de como um -módulo. Por exemplo, uma álgebra tem bidimensão zero se, e somente se, for separável. ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle A ^ {op} \ otimes _ {R} A}$
boleano: Um anel booleano é um anel em que cada elemento é multiplicativamente idempotente .
Brauer: O grupo de Brauer de um campo é um grupo abeliano que consiste em todas as classes de equivalência de álgebras simples centrais sobre o campo.

C

categoria: A categoria dos anéis é uma categoria onde os objetos são (todos) os anéis e onde os morfismos são (todos) os homomorfismos dos anéis.
Centro: 1. Um elemento r de um anel R é central de se xr = rx para todos os x em R . O conjunto de todos os elementos centrais forma uma subanel de R , conhecido como o centro de R .; 2. Uma álgebra central é uma álgebra associativa sobre o centro.; 3. Uma álgebra central simples é uma álgebra central que também é um anel simples.
centralizador: 1. O centralizador de um subconjunto S de um anel é a subanel do anel que consiste nos elementos de comutação com os elementos de S . Por exemplo, o centralizador do próprio anel é o centro do anel.; 2. O duplo centralizador de um conjunto é o centralizador do centralizador do conjunto. Cf. teorema do centralizador duplo .
característica: 1. A característica de um anel é o menor inteiro positivo n satisfazendo nx = 0 para todos os elementos x do anel, se tal n existir. Caso contrário, a característica é 0.; 2. O subanel característico de R é o subanel menor (isto é, o subanel mínimo único). É necessária a imagem do homomorphism anel único e, assim, é isomorfa a , onde n representa a característica de R . ${\ displaystyle \ mathbb {Z} \ to R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} / n}$
mudança: Uma mudança de anéis é um functor (entre categorias apropriadas) induzido por um homomorfismo de anel.
Álgebra de Clifford: Uma álgebra de Clifford é uma certa álgebra associativa útil em geometria e física.
coerente: Um anel coerente esquerdo é um anel tal que todo ideal esquerdo finitamente gerado é um módulo finitamente apresentado; em outras palavras, é coerente como um módulo esquerdo sobre si mesmo.
comutativo: 1. Um anel R é conmutativo se a multiplicação é conmutativo, ie rs = sr para todos r , s ∈ R .; 2. Um anel R é skew-comutativo se onde denota a paridade de um elemento x . ${\ displaystyle xy = (- 1) ^ {\ epsilon (x) \ epsilon (y)} yx}$ ${\ displaystyle \ epsilon (x)}$; 3. Uma álgebra comutativa é uma álgebra associativa que é um anel comutativo.; 4. Álgebra comutativa é a teoria dos anéis comutativos.

D

derivação: 1. Uma derivação de uma álgebra possivelmente não associativa A sobre um anel comutativo R é um endomorfismo R linear que satisfaz a regra de Leibniz .; 2. A álgebra de derivação de uma álgebra A é a subálgebra da álgebra de endomorfismo de A que consiste em derivações.
diferencial: Uma álgebra diferencial é uma álgebra junto com uma derivação.
direto: Um produto direto de uma família de anéis é um anel dado tomando o produto cartesiano dos anéis dados e definindo as operações algébricas por componentes.
divisor: 1. Em um domínio integral R , um elemento a é chamado de divisor do elemento b (e dizemos que a divide b ) se existe um elemento x em R com ax = b .; 2. Um elemento de r de R é um deixou divisor de zero se não existir um elemento diferente de zero x em R , tais que Rx = 0 e um certo divisor de zero ou se existe um elemento diferente de zero y em R tal que yr = 0 . Um elemento r de R é denominado divisor zero bilateral se for um divisor zero esquerdo e um divisor zero direito.
divisão: Um anel de divisão ou campo de inclinação é um anel em que cada elemento diferente de zero é uma unidade e 1 ≠ 0 .
domínio: Um domínio é um anel diferente de zero sem divisores zero exceto 0. Por uma razão histórica, um domínio comutativo é chamado de domínio integral .

E

endomorfismo: Um anel de endomorfismo é um anel formado pelos endomorfismos de um objeto com estrutura aditiva; a multiplicação é considerada uma composição de função , enquanto sua adição é uma adição pontual das imagens.
álgebra envolvente: A álgebra envolvente (universal) E de uma álgebra não necessariamente associativa A é a álgebra associativa determinada por A de alguma forma universal. O exemplo mais conhecido é a álgebra envolvente universal de uma álgebra de Lie.
extensão: Uma extensão do anel de um anel de R por um grupo abeliano I é um par que consiste de um anel E e um anel homomorphism cujo núcleo é Eu . ${\ displaystyle (E, \ varphi)}$ ${\ displaystyle \ varphi: E \ to R}$
álgebra exterior: A álgebra exterior de um espaço vetorial ou módulo V é o quociente da álgebra tensorial de V pelo ideal gerado pelos elementos da forma . ${\ displaystyle x \ otimes x}$

F

campo: Um campo é um anel de divisão comutativa; ou seja, um anel diferente de zero em que cada elemento diferente de zero é invertível.
anel filtrado: Um anel filtrado é um anel com uma filtração.
finitamente gerado: 1. Um ideal esquerdo I é finitamente gerado se existirem elementos finitos a ₁ , ..., a _n tais que I = Ra ₁ + ... + Ra _n . Um ideal direita I é finitamente gerado se não existir um número finito de elementos a ₁ , ..., um _n tal que I = a ₁ R + ... + a _n R . Um ideal frente e verso I é um número finito gerado se existe um número finito de elementos de um ₁ , ..., um _n tal que I = Ra ₁ R + ... + Ra _N R .; 2. Um anel gerado finitamente é um anel que é gerado finitamente como Z- álgebra.
finitamente apresentado: Uma álgebra finitamente apresentada sobre um anel comutativo R é uma álgebra associativa (comutativa) que é um quociente de um anel polinomial sobre R em muitas variáveis finitas por um ideal finitamente gerado .
gratuitamente: 1. Um anel ideal livre ou um abeto é um anel em que todo ideal correto é um módulo livre de grau fixo.; 2. Um semifir é um anel no qual todo ideal correto finitamente gerado é um módulo livre de classificação fixa.; 3. O produto livre de uma família de associativo é uma álgebra associativa obtida, grosso modo, pelos geradores e pelas relações das álgebras na família. A noção depende de qual categoria de álgebra associativa é considerada; por exemplo, na categoria de anéis comutativos, um produto livre é um produto tensorial.; 4. Um anel livre é um anel que é uma álgebra livre sobre os inteiros.
melhor: 1. Um elemento x de um domínio integral é um elemento primo se não for zero e não uma unidade e sempre que x divide um produto ab , x divide a ou x divide b .; 2. Um ideal P em um anel conmutativo R é primordial se P ≠ R e se por todo um e b em R com ab em P , que têm um em P ou b em P . Todo ideal máximo em um anel comutativo é primo.; 3. Um ideal P em um anel (não necessariamente comutativo) R é primo se P ≠ R e para todos os ideais A e B de R , implica ou . Isso amplia a definição de anéis comutativos. ${\ displaystyle AB \ subseteq P}$ ${\ displaystyle A \ subseteq P}$ ${\ displaystyle B \ subseteq P}$; 4. anel primo : Uma diferente de zero anel R é chamado um anel primo se por qualquer dos dois elementos um e b de R com aRb = 0 , temos ou um = 0 ou b = 0 . Isso equivale a dizer que o ideal zero é um ideal primo (no sentido não comutativo). Todo anel simples e todo domínio é um anel primo.
primitivo: 1. Um anel primitivo esquerdo é um anel que possui um módulo R esquerdo simples fiel . Cada anel simples é primitivo. Os anéis primitivos são primos .; 2. Um I ideal de um anel R é dito primitivo se for primitivo. ${\ displaystyle R / I}$
diretor: Um ideal principal : Um princípio ideal esquerda de um anel R é um ideal esquerda de forma Ra por algum elemento um de R . A princípio ideal direita é um ideal direito do formulário aR por algum elemento de um de R . Um ideal principal é um ideal de duas faces de forma a RaR por algum elemento um de R .
diretor: 1. Um domínio ideal principal é um domínio integral em que todo ideal é principal.; 2. Um anel ideal principal é um anel em que todo ideal é principal.

Q

quase Frobenius: anel quase-Frobenius : um tipo especial de anel Artinian que também é um anel auto-injetável em ambos os lados. Cada anel semi-simples é quase Frobenius.; anel quociente ou anel fator : Dado um anel R e um I ideal de R , o anel quociente é o anel formado pelo conjunto R / I dos cosets { a + I : a ∈ R } junto com as operações ( a + I ) + ( b + I ) = ( a + b ) + I e ( um + I ) ( b + I ) = ab + I . A relação entre ideais, homomorfismos e anéis de fatores é resumida no teorema fundamental dos homomorfismos .

R

radical

O radical de um ideal I em um anel conmutativo consiste em todos os elementos do anel de um poder de que se situa em I . É igual a interseção de todos os ideais primos contendo I .

anel

1. Um conjunto R com duas operações binárias , geralmente chamadas de adição (+) e multiplicação (×), de modo que R é um grupo abeliano sob adição, R é um monóide sob multiplicação e a multiplicação é distributiva à esquerda e à direita sob adição. Presume-se que os anéis tenham identidades multiplicativas, a menos que seja indicado o contrário. A identidade aditivo é indicado por 0 e a identidade multiplicativo em 1. ( Aviso : alguns livros, especialmente livros mais antigos, usam o termo "anel" para significar o que aqui vai ser chamado de um RNG , ou seja, eles não exigem um anel de ter uma identidade multiplicativa.)

2. Um homomorfismo de anel : Uma função f : R → S entre os anéis ( R , +, ∗) e ( S , ⊕, ×) é um homomorfismo de anel se satisfizer

f ( a + b ) = f ( a ) ⊕ f ( b )

f ( a ∗ b ) = f ( a ) × f ( b )

f (1) = 1

para todos os elementos um e b de R .

3. isomorfismo de anel : Um homomorfismo de anel que é bijetivo é um isomorfismo de anel . O inverso de um isomorfismo de anel também é um isomorfismo de anel. Dois anéis são isomórficos se houver um isomorfismo de anel entre eles. Os anéis isomórficos podem ser considerados essencialmente os mesmos, apenas com rótulos diferentes nos elementos individuais.

rng

Um rng zero quadrado : Um rng em que XY = 0 para todos os x e y . Estas são algumas vezes também chamado de zero anéis , embora eles geralmente não têm a 1. O termo "RNG" pretende sugerir que ele é um "r i ng" sem um " i dentidade".

S

auto-injetivo: Um anel R é deixado auto-injetivo se o módulo _R R for um módulo injetivo . Enquanto os anéis com unidade são sempre projetivos como módulos, eles nem sempre são injetivos como módulos.
semiperfeito: Um anel semiperfeito é um anel R tal que, para o radical Jacobson de R , (1) é semisimples e (2) idempotentes elevam o módulo . ${\ displaystyle J (R)}$ ${\ displaystyle R / J (R)}$ ${\ displaystyle J (R)}$
semiprimário: Um anel semiprimário é um anel R tal que, para o radical Jacobson de R , (1) é semisimples e (2) é um ideal nilpotente . ${\ displaystyle J (R)}$ ${\ displaystyle R / J (R)}$ ${\ displaystyle J (R)}$
semiprime: 1. Um anel semiprime é um anel em que o único ideal nilpotente é o ideal trivial . Um anel comutativo é semiprime se, e somente se, for reduzido. ${\ displaystyle \ {0 \}}$; 2. Um ideal I de um anel R é semiprime se para qualquer ideal A de R , implica . Equivalentemente, I é semiprime se e somente se for um anel semiprime. ${\ displaystyle A ^ {n} \ subseteq I}$ ${\ displaystyle A \ subseteq I}$ ${\ displaystyle R / I}$
semiprimitivo: Um anel semiprimitivo ou anel semi-simples de Jacobson é um anel cujo radical Jacobson é zero. Os anéis regulares de Von Neumann e os anéis primitivos são semiprimitivos, entretanto os anéis quase-Frobenius e os anéis locais geralmente não são semiprimitivos.
semirante: Uma semifiação : uma estrutura algébrica que satisfaz as mesmas propriedades de um anel, exceto que a adição precisa ser apenas uma operação monóide abeliana , em vez de uma operação de grupo abeliana. Ou seja, os elementos em um semiring não precisam ter inversos aditivos.
semisimples: Um anel semi-simples é um anel Artiniano R que é um produto finito de anéis Artinianos simples; em outras palavras, é um módulo R esquerdo semi - simples .
separável: Uma álgebra separável é uma álgebra associativa cujo tensor-quadrado admite uma idempotência de separabilidade .
serial: Um anel serial direito é um anel que é um módulo serial correto sobre si mesmo.
Severi – Brauer: A variedade Severi – Brauer é uma variedade algébrica associada a uma dada álgebra central simples.
simples: 1. Um anel simples é um anel diferente de zero que possui apenas ideais bilaterais triviais (o ideal zero, o próprio anel e nada mais) é um anel simples .; 2. Uma álgebra simples é uma álgebra associativa que é um anel simples.
subanimado: Um subanel é um subconjunto S do anel ( R , +, ×), que continua a ser um anel quando + e × estão restritos a S e contém a identidade multiplicativo 1 de R .
álgebra simétrica: 1. A álgebra simétrica de um espaço vetorial ou módulo V é o quociente da álgebra tensorial de V pelo ideal gerado pelos elementos da forma . ${\ displaystyle x \ otimes yy \ otimes x}$; 2. A álgebra simétrica graduada de um espaço vetorial ou módulo V é uma variante da álgebra simétrica que é construída levando-se em consideração a graduação.
Domínio Sylvester: Um domínio de Sylvester é um anel no qual se aplica a lei da nulidade de Sylvester .

T

tensor: A álgebra de produto tensorial de álgebras associativas é o produto tensorial das álgebras como os módulos com multiplicação de componentes; A álgebra tensorial de um espaço vetorial ou módulo V é a soma direta de todas as potências tensoriais com a multiplicação dada pelo produto tensorial. ${\ displaystyle V ^ {\ otimes n}}$
trivial: 1. Um ideal trivial é o zero ou o ideal da unidade.; 2. O anel trivial ou anel zero é o anel que consiste em um único elemento 0 = 1 .

você

unidade: unidade ou elemento invertível : Um elemento r do anel R é uma unidade se existe um elemento r ⁻¹ tal que rr ⁻¹ = r ⁻¹ r = 1 . Este elemento r ⁻¹ é determinado exclusivamente por r e é chamado de inverso multiplicativo de r . O conjunto de unidades forma um grupo em multiplicação.
unidade: O termo "unidade" é outro nome para a identidade multiplicativa.
único: Um domínio fatorial ou anel fatorial é um domínio integral R em que cada zero, não-não- unidade de elemento pode ser escrito como um produto de elementos principais de R .
unisserial: Um anel unisserial direito é um anel que é um módulo unisserial correto sobre si mesmo. Um anel comutativo unisserial também é chamado de anel de avaliação .

V

Elemento regular de von Neumann: 1. Elemento regular de von Neumann : Um elemento r de um anel R é regular de von Neumann se existe um elemento x de R tal que r = rxr .; 2. Um anel regular de von Neumann : Um anel para o qual cada elemento a pode ser expresso como a = axa para outro elemento x no anel. Os anéis semisimples são regulares de von Neumann.

Z

zero: Um anel zero : O anel que consiste apenas em um único elemento 0 = 1 , também chamado de anel trivial . Às vezes, "anel zero" é alternativamente usado para significar rng do zero quadrado .

Veja também

Glossário da teoria do módulo

Notas

Referências

Anderson, Frank W .; Fuller, Kent R. (1992), Rings and categories of modules , Graduate Texts in Mathematics , 13 (2 ed.), New York: Springer-Verlag, pp. X + 376, doi : 10.1007 / 978-1-4612- 4418-9 , ISBN 0-387-97845-3 , MR 1245487
Artin, Michael (1999). "Anéis não comutativos" (PDF) .
Grothendieck, Alexandre ; Dieudonné, Jean (1964). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Première partie" . Publicações Mathématiques de l'IHÉS . 20 . doi : 10.1007 / bf02684747 . MR 0173675 .
Jacobson, Nathan (2009), Basic Algebra 1 (2ª ed.), Dover
Jacobson, Nathan (2009), Basic Algebra 2 (2ª ed.), Dover
Nathan Jacobson, Estrutura dos Anéis

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