Teorema de Liouville (Hamiltoniano) - Liouville's theorem (Hamiltonian)
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Na física , o teorema de Liouville , em homenagem ao matemático francês Joseph Liouville , é um teorema-chave na estatística clássica e na mecânica hamiltoniana . Ele afirma que a função de distribuição do espaço de fase é constante ao longo das trajetórias do sistema - isto é, a densidade dos pontos do sistema nas proximidades de um determinado ponto do sistema viajando através do espaço de fase é constante com o tempo. Esta densidade independente do tempo está na mecânica estatística conhecida como a probabilidade clássica a priori .
Existem resultados matemáticos relacionados em topologia simplética e teoria ergódica ; sistemas que obedecem ao teorema de Liouville são exemplos de sistemas dinâmicos incompressíveis .
Existem extensões do teorema de Liouville para sistemas estocásticos.
Equações de Liouville
A equação de Liouville descreve a evolução temporal da função de distribuição do espaço de fase . Embora a equação seja normalmente referida como a "equação de Liouville", Josiah Willard Gibbs foi o primeiro a reconhecer a importância desta equação como a equação fundamental da mecânica estatística. É referida como a equação de Liouville porque sua derivação para sistemas não canônicos utiliza uma identidade derivada pela primeira vez por Liouville em 1838. Considere um sistema dinâmico hamiltoniano com coordenadas canônicas e momentos conjugados , onde . Então, a distribuição do espaço de fase determina a probabilidade de o sistema ser encontrado no volume do espaço de fase infinitesimal . A equação de Liouville governa a evolução no tempo :
As derivadas de tempo são denotadas por pontos e avaliadas de acordo com as equações de Hamilton para o sistema. Esta equação demonstra a conservação da densidade no espaço de fase (que era o nome de Gibbs para o teorema). O teorema de Liouville afirma que
- A função de distribuição é constante ao longo de qualquer trajetória no espaço de fase.
Uma prova do teorema de Liouville usa o teorema da divergência n- dimensional . Esta prova é baseada no fato de que a evolução de obedece a uma versão n- dimensional da equação de continuidade :
Ou seja, a 3-tupla é uma corrente conservada . Observe que a diferença entre esta e a equação de Liouville são os termos
onde está o Hamiltoniano, e as equações de Hamilton, bem como a conservação do Hamiltoniano ao longo do fluxo, foram usadas. Ou seja, ver o movimento através do espaço de fase como um 'fluxo de fluido' de pontos do sistema, o teorema de que a derivada convectiva da densidade é zero segue-se da equação de continuidade, observando que o 'campo de velocidade' no espaço de fase tem divergência zero (que segue das relações de Hamilton).
Outra ilustração é considerar a trajetória de uma nuvem de pontos através do espaço de fase. É simples mostrar que, à medida que a nuvem se estende em uma coordenada - digamos, ela encolhe na direção correspondente, de modo que o produto permanece constante.
Outras formulações
Colchete de Poisson
O teorema acima é frequentemente reformulado em termos do colchete de Poisson como
ou, em termos do operador linear de Liouville ou Liouvillian ,
como
Teoria ergódica
Na teoria ergódica e nos sistemas dinâmicos , motivados pelas considerações físicas fornecidas até agora, há um resultado correspondente também conhecido como teorema de Liouville. Na mecânica hamiltoniana , o espaço de fase é uma variedade suave que vem naturalmente equipada com uma medida suave (localmente, essa medida é a medida de Lebesgue 6 n- dimensional ). O teorema diz que essa medida suave é invariante sob o fluxo hamiltoniano . De forma mais geral, pode-se descrever a condição necessária e suficiente sob a qual uma medida suave é invariante sob um fluxo. O caso hamiltoniano torna-se então um corolário.
Geometria simplética
Também podemos formular o Teorema de Liouville em termos de geometria simplética . Para um determinado sistema, podemos considerar o espaço de fase de um hamiltoniano particular como uma variedade dotada de uma forma 2 simplética
A forma de volume de nossa variedade é a potência externa superior da forma 2 simplética e é apenas outra representação da medida no espaço de fase descrito acima.
Em nossa variedade simplética de espaço de fase , podemos definir um campo vetorial hamiltoniano gerado por uma função como
Especificamente, quando a função geradora é o próprio Hamiltoniano , obtemos
onde utilizamos as equações de movimento de Hamilton e a definição da regra da cadeia.
Nesse formalismo, o Teorema de Liouville afirma que a derivada de Lie da forma de volume é zero ao longo do fluxo gerado por . Ou seja, para uma variedade simplética 2n-dimensional,
Na verdade, a estrutura simplética em si é preservada, não apenas sua potência externa superior. Ou seja, o Teorema de Liouville também dá
Equação quântica de Liouville
O análogo da equação de Liouville na mecânica quântica descreve a evolução temporal de um estado misto . A quantização canônica produz uma versão em mecânica quântica desse teorema, a equação de Von Neumann . Este procedimento, freqüentemente usado para desenvolver análogos quânticos de sistemas clássicos, envolve a descrição de um sistema clássico usando a mecânica hamiltoniana. As variáveis clássicas são então reinterpretadas como operadores quânticos, enquanto os colchetes de Poisson são substituídos por comutadores . Neste caso, a equação resultante é
onde ρ é a matriz de densidade .
Quando aplicada ao valor esperado de um observável , a equação correspondente é dada pelo teorema de Ehrenfest e assume a forma
onde é um observável. Observe a diferença de sinal, que segue da suposição de que o operador está estacionário e o estado é dependente do tempo.
Na formulação do espaço de fase da mecânica quântica, substituir os colchetes de Moyal por colchetes de Poisson no análogo do espaço de fase da equação de von Neumann resulta na compressibilidade do fluido de probabilidade e, portanto, em violações da incompressibilidade do teorema de Liouville. Isso, então, leva a dificuldades concomitantes na definição de trajetórias quânticas significativas.
Exemplos
Volume do espaço da fase SHO
Considere um sistema de partículas em três dimensões e concentre-se apenas na evolução das partículas. Dentro do espaço de fase, essas partículas ocupam um volume infinitesimal dado por
Queremos permanecer os mesmos ao longo do tempo, de forma que seja constante ao longo das trajetórias do sistema. Se permitirmos que nossas partículas evoluam em um intervalo de tempo infinitesimal , vemos que a localização de cada fase do espaço de partícula muda conforme
onde e denotam e respectivamente, e mantivemos apenas os termos lineares em . Estendendo isso ao nosso hipercubo infinitesimal , os comprimentos laterais mudam conforme
Para encontrar o novo volume do espaço de fase infinitesimal , precisamos do produto das quantidades acima. Para fazer o primeiro pedido , temos o seguinte.
Até o momento, ainda não fizemos nenhuma especificação sobre nosso sistema. Vamos agora nos especializar no caso de osciladores harmônicos isotrópicos -dimensionais. Ou seja, cada partícula em nosso conjunto pode ser tratada como um oscilador harmônico simples . O hamiltoniano para este sistema é dado por
Ao usar as equações de Hamilton com o hamiltoniano acima, descobrimos que o termo entre parênteses acima é igual a zero, resultando assim
A partir disso, podemos encontrar o volume infinitesimal do espaço de fase.
Assim, em última análise, descobrimos que o volume do espaço de fase infinitesimal é inalterado, produzindo
demonstrando o Teorema de Liouville é válido para este sistema.
A questão que permanece é como o volume do espaço de fase realmente evolui no tempo. Acima, mostramos que o volume total é conservado, mas não dissemos nada sobre sua aparência. Para uma única partícula, podemos ver que sua trajetória no espaço de fase é dada pela elipse da constante . Explicitamente, pode-se resolver as equações de Hamilton para o sistema e encontrar
onde e denotam a posição inicial e o momento da partícula. Para um sistema de partículas múltiplas, cada uma terá uma trajetória de espaço de fase que traça uma elipse correspondente à energia da partícula. A frequência com que a elipse é traçada é dada pelo no hamiltoniano, independente de quaisquer diferenças de energia. Como resultado, uma região do espaço de fase simplesmente girará em torno do ponto com a frequência dependente . Isso pode ser visto na animação acima.
Oscilador harmônico amortecido
Um dos pressupostos fundamentais do Teorema de Liouville é que o sistema obedece à conservação de energia. No contexto do espaço de fase, isso quer dizer que é constante nas superfícies do espaço de fase de energia constante . Se quebrarmos esse requisito considerando um sistema no qual a energia não é conservada, descobriremos que também falha em ser constante.
Como exemplo disso, considere novamente o sistema de partículas, cada uma em um potencial harmônico isotrópico -dimensional, o hamiltoniano para o qual é dado no exemplo anterior. Desta vez, adicionamos a condição de que cada partícula experimente uma força de atrito. Como esta é uma força não conservadora , precisamos estender as equações de Hamilton como
onde é uma constante positiva ditando a quantidade de atrito. Seguindo um procedimento muito semelhante ao caso do oscilador harmônico não amortecido, chegamos novamente a
Conectando nossas equações de Hamilton modificadas, encontramos
Calculando nosso novo volume de espaço de fase infinitesimal, e mantendo apenas a primeira ordem , encontramos o seguinte resultado.
Descobrimos que o volume do espaço de fase infinitesimal não é mais constante e, portanto, a densidade do espaço de fase não é conservada. Como pode ser visto na equação, à medida que o tempo aumenta, esperamos que nosso volume do espaço de fase diminua para zero à medida que o atrito afeta o sistema.
Quanto a como o volume do espaço de fase evolui no tempo, ainda teremos a rotação constante como no caso não amortecido. No entanto, o amortecimento introduzirá uma diminuição constante nos raios de cada elipse. Mais uma vez, podemos resolver as trajetórias explicitamente usando as equações de Hamilton, tendo o cuidado de usar as modificadas acima. Locando por conveniência, encontramos
onde os valores e denotam a posição inicial e o momento da partícula. À medida que o sistema evolui, o volume total do espaço de fase irá espiralar até a origem. Isso pode ser visto na figura acima.
Observações
- A equação de Liouville é válida para sistemas de equilíbrio e não-equilíbrio. É uma equação fundamental da mecânica estatística de desequilíbrio .
- A equação de Liouville é parte integrante da prova do teorema da flutuação a partir do qual a segunda lei da termodinâmica pode ser derivada. É também o componente chave da derivação das relações de Green-Kubo para coeficientes de transporte linear , como viscosidade de cisalhamento , condutividade térmica ou condutividade elétrica .
- Praticamente qualquer livro sobre mecânica hamiltoniana , mecânica estatística avançada ou geometria simplética derivará o teorema de Liouville.
Veja também
- Algoritmo de propagação do sistema de referência reversível (r-RESPA)
- Equação de transporte de Boltzmann
Referências
Leitura adicional
- Murugeshan, R. Modern Physics . S. Chand.
- Misner; Thorne; Wheeler (1973). "Teoria cinética no espaço-tempo curvo" . Gravitação . Freeman. pp. 583–590. ISBN 9781400889099.