Valor de expectativa (mecânica quântica) - Expectation value (quantum mechanics)

Na mecânica quântica , o valor esperado é o valor esperado probabilístico do resultado (medição) de um experimento. Pode ser pensado como uma média de todos os resultados possíveis de uma medição ponderados por sua probabilidade e, como tal, não é o valor mais provável de uma medição; na verdade, o valor esperado pode ter probabilidade zero de ocorrer (por exemplo, medições que só podem produzir valores inteiros podem ter uma média não inteira). É um conceito fundamental em todas as áreas da física quântica .

Definição operacional

Considere um operador . O valor esperado está então na notação de Dirac com um vetor de estado normalizado . ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ langle A \ rangle = \ langle \ psi | A | \ psi \ rangle}$${\ displaystyle | \ psi \ rangle}$

Formalismo em mecânica quântica

Na teoria quântica, uma configuração experimental é descrita pelo observável a ser medido e pelo estado do sistema. O valor esperado de no estado é denotado como . ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle \ langle A \ rangle _ {\ sigma}}$

Matematicamente, é um operador auto-adjunto em um espaço de Hilbert . No caso mais comumente usado na mecânica quântica, é um estado puro , descrito por um vetor normalizado no espaço de Hilbert. O valor esperado de no estado é definido como ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle \ psi}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ psi}$

${\ displaystyle \ langle A \ rangle _ {\ psi} = \ langle \ psi | A | \ psi \ rangle.}$

( 1 )

Se a dinâmica for considerada, o vetor ou o operador são considerados dependentes do tempo, dependendo se a imagem de Schrödinger ou a imagem de Heisenberg são usadas. A evolução do valor esperado não depende dessa escolha, entretanto. ${\ displaystyle \ psi}$${\ displaystyle A}$

Se tiver um conjunto completo de autovetores , com autovalores , então ( 1 ) pode ser expresso como ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle \ phi _ {j}}$ ${\ displaystyle a_ {j}}$

${\ displaystyle \ langle A \ rangle _ {\ psi} = \ sum _ {j} a_ {j} | \ langle \ psi | \ phi _ {j} \ rangle | ^ {2}.}$

( 2 )

Essa expressão é semelhante à média aritmética e ilustra o significado físico do formalismo matemático: Os autovalores são os resultados possíveis do experimento e seu coeficiente correspondente é a probabilidade de que esse resultado ocorra; é freqüentemente chamada de probabilidade de transição . ${\ displaystyle a_ {j}}$${\ displaystyle | \ langle \ psi | \ phi _ {j} \ rangle | ^ {2}}$

Um caso particularmente simples surge quando é uma projeção e, portanto, tem apenas os autovalores 0 e 1. Isso corresponde fisicamente a um tipo de experimento "sim-não". Neste caso, o valor esperado é a probabilidade de que o experimento resulte em "1", e pode ser calculado como ${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle \ langle A \ rangle _ {\ psi} = \ | A | \ psi \ rangle \ | ^ {2}.}$

( 3 )

Na teoria quântica, também é possível que um operador tenha um espectro não discreto, como o operador de posição na mecânica quântica. Este operador tem um espectro totalmente contínuo , com autovalores e autovetores dependendo de um parâmetro contínuo ,. Especificamente, o operador atua em um vetor espacial como . Nesse caso, o vetor pode ser escrito como uma função de valor complexo no espectro de (geralmente a linha real). Isso é formalmente obtido projetando o vetor de estado sobre os autovalores do operador, como no caso discreto . Acontece que os autovetores do operador posição formam uma base completa para o espaço vetorial de estados e, portanto, obedecem a uma relação de fechamento : ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle | x \ rangle}$${\ displaystyle X | x \ rangle = x | x \ rangle}$${\ displaystyle \ psi}$${\ displaystyle \ psi (x)}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle | \ psi \ rangle}$${\ textstyle \ psi (x) \ equiv \ langle x | \ psi \ rangle}$

O acima pode ser usado para derivar a expressão integral comum para o valor esperado ( 4 ), inserindo identidades na expressão vetorial de valor esperado e, em seguida, expandindo na base de posição:

Onde a relação de ortonormalidade dos vetores de base de posição , reduz a integral dupla a uma integral única. A última linha usa o módulo de uma função de valor complexo para substituir com , que é uma substituição comum em integrais quantum-mecânica. ${\ displaystyle \ langle x | x '\ rangle = \ delta (x-x')}$${\ displaystyle \ psi ^ {*} \ psi}$${\ displaystyle | \ psi | ^ {2}}$

O valor esperado pode então ser declarado, onde x é ilimitado, como a fórmula

${\ displaystyle \ langle X \ rangle _ {\ psi} = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \, x \, | \ psi (x) | ^ {2} \, dx.}$

( 4 )

Uma fórmula semelhante é válida para o operador de momento , em sistemas em que ele tem espectro contínuo. ${\ displaystyle P}$

Todas as fórmulas acima são válidas apenas para estados puros . Com destaque na termodinâmica e na óptica quântica , também os estados mistos são importantes; estes são descritos por um operador de classe de traço positivo , o operador estatístico ou matriz de densidade . O valor esperado, então, pode ser obtido como ${\ displaystyle \ sigma}$${\ textstyle \ rho = \ sum _ {i} \ rho _ {i} | \ psi _ {i} \ rangle \ langle \ psi _ {i} |}$

${\ displaystyle \ langle A \ rangle _ {\ rho} = \ operatorname {Trace} (\ rho A) = \ sum _ {i} \ rho _ {i} \ langle \ psi _ {i} | A | \ psi _ {i} \ rangle = \ sum _ {i} \ rho _ {i} \ langle A \ rangle _ {\ psi _ {i}}.}$

( 5 )

Formulação geral

Em geral, os estados quânticos são descritos por funcionais lineares normalizados positivos no conjunto de observáveis, matematicamente frequentemente considerados como uma álgebra C * . O valor esperado de um observável é então dado por ${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle \ langle A \ rangle _ {\ sigma} = \ sigma (A).}$

( 6 )

Se a álgebra de observáveis ​​atua irredutivelmente em um espaço de Hilbert , e se é um funcional normal , ou seja, é contínua na topologia ultrafaca , então ela pode ser escrita como ${\ displaystyle \ sigma}$

com um operador de classe de traço positivo de traço 1. Isso dá a fórmula ( 5 ) acima. No caso de um estado puro , é uma projeção em um vetor unitário . Então , o que dá a fórmula ( 1 ) acima. ${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle \ rho = | \ psi \ rangle \ langle \ psi |}$${\ displaystyle \ psi}$${\ displaystyle \ sigma = \ langle \ psi | \ cdot \; \ psi \ rangle}$

${\ displaystyle A}$é considerado um operador auto-adjunto. No caso geral, seu espectro não será totalmente discreto nem totalmente contínuo. Ainda assim, pode-se escrever em uma decomposição espectral , ${\ displaystyle A}$

com uma medida avaliada por projetor . Para o valor esperado de em um estado puro , isso significa ${\ displaystyle P}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ sigma = \ langle \ psi | \ cdot \, \ psi \ rangle}$ que pode ser visto como uma generalização comum das fórmulas ( 2 ) e ( 4 ) acima.

Em teorias não relativísticas de partículas finitas (mecânica quântica, no sentido estrito), os estados considerados são geralmente normais. No entanto, em outras áreas da teoria quântica, também estados não normais estão em uso: eles aparecem, por exemplo. na forma de estados KMS na mecânica estatística quântica de meios infinitamente estendidos e como estados carregados na teoria quântica de campos . Nestes casos, o valor esperado é determinado apenas pela fórmula mais geral ( 6 ).

Exemplo no espaço de configuração

Como exemplo, considere uma partícula de mecânica quântica em uma dimensão espacial, na representação do espaço de configuração . Aqui está o espaço de Hilbert , o espaço das funções quadradas integráveis ​​na linha real. Os vetores são representados por funções , chamadas funções de onda . O produto escalar é dado por . As funções de onda têm uma interpretação direta como uma distribuição de probabilidade: ${\ displaystyle {\ mathcal {H}} = L ^ {2} (\ mathbb {R})}$${\ displaystyle \ psi \ in {\ mathcal {H}}}$${\ displaystyle \ psi (x)}$${\ textstyle \ langle \ psi _ {1} | \ psi _ {2} \ rangle = \ int \ psi _ {1} ^ {\ ast} (x) \ psi _ {2} (x) \, dx}$

fornece a probabilidade de encontrar a partícula em um intervalo infinitesimal de comprimento em torno de algum ponto . ${\ displaystyle dx}$${\ displaystyle x}$

Como um observável, considere o operador de posição , que atua nas funções de onda por ${\ displaystyle Q}$${\ displaystyle \ psi}$

O valor esperado, ou valor médio das medições, de realizadas em um grande número de sistemas idênticos independentes será dado por ${\ displaystyle Q}$

O valor esperado só existe se a integral convergir, o que não é o caso para todos os vetores . Isso ocorre porque o operador de posição é ilimitado e deve ser escolhido em seu domínio de definição . ${\ displaystyle \ psi}$${\ displaystyle \ psi}$

Em geral, a expectativa de qualquer observável pode ser calculada substituindo -se pelo operador apropriado. Por exemplo, para calcular a força média, um usa o operador impulso no espaço de configuração , . Explicitamente, seu valor esperado é ${\ displaystyle Q}$${\ textstyle P = -i \ hbar \, {\ frac {d} {dx}}}$

Nem todos os operadores em geral fornecem um valor mensurável. Um operador que tem um valor de expectativa real puro é chamado de observável e seu valor pode ser medido diretamente no experimento.

Veja também

• Quociente de Rayleigh
• Princípio da incerteza
• Teorema Virial

Notas

Referências

Leitura adicional

O valor esperado, em particular conforme apresentado na seção " Formalismo em mecânica quântica ", é abordado na maioria dos livros didáticos elementares de mecânica quântica.

Para uma discussão dos aspectos conceituais, consulte:

• Isham, Chris J (1995). Aulas teóricas de Teoria Quântica: Fundamentos Matemáticos e Estruturais . Imperial College Press. ISBN 978-1-86094-001-9.