Triângulo harmônico de Leibniz - Leibniz harmonic triangle

O triângulo harmônico de Leibniz é um arranjo triangular de frações unitárias em que as diagonais mais externas consistem nos recíprocos dos números das linhas e cada célula interna é a célula diagonalmente acima e à esquerda menos a célula à esquerda. Para colocá-lo algebricamente , L ( r , 1) = 1 / r (onde r é o número da linha, começando em 1, ec é o número da coluna, nunca mais do que r ) e L ( r , c ) = L ( r - 1, c - 1) - L ( r , c - 1).

Valores

As primeiras oito linhas são:

${\ displaystyle {\ begin {array} {cccccccccccccccccc} &&&&&&&&&& 1 &&&&&&&&& \\ &&&&&&&&& {\ frac {1} {2}} && {\ frac {1} {2}} &&&&&&& \\ && {&} &&&&& {\ frac {1} {2}} } && {\ frac {1} {6}} && {\ frac {1} {3}} &&&&&& \\ &&&&&& {\ frac {1} {4}} && {\ frac {1} {12}} && { \ frac {1} {12}} && {\ frac {1} {4}} &&&&& \\ &&&&& {\ frac {1} {5}} && {\ frac {1} {20}} && {\ frac { 1} {30}} && {\ frac {1} {20}} && {\ frac {1} {5}} &&&& \\ &&&& {\ frac {1} {6}} && {\ frac {1} { 30}} && {\ frac {1} {60}} && {\ frac {1} {60}} && {\ frac {1} {30}} && {\ frac {1} {6}} &&& \\ &&& {\ frac {1} {7}} && {\ frac {1} {42}} && {\ frac {1} {105}} && {\ frac {1} {140}} && {\ frac {1 } {105}} && {\ frac {1} {42}} && {\ frac {1} {7}} && \\ && {\ frac {1} {8}} && {\ frac {1} {56 }} && {\ frac {1} {168}} && {\ frac {1} {280}} && {\ frac {1} {280}} && {\ frac {1} {168}} && {\ frac {1} {56}} && {\ frac {1} {8}} & \\ &&&&& \ vdots &&&& \ vdots &&&&& \ vdots &&&& \\\ end {array}}}$

Os denominadores são listados em (sequência A003506 no OEIS ), enquanto os numeradores são todos 1s.

Termos

Os termos são dados pelas recorrências

${\ displaystyle a_ {n, 1} = {1 \ escolha n}}$

${\ displaystyle a_ {n, k} = \ left ({\ frac {1} {n {\ binom {n-1} {k-1}}}} \ right),}$

e explicitamente por

${\ displaystyle a_ {n, k} = {\ frac {1} {{\ binom {n} {k}} k}}}$

onde é um coeficiente binomial . ${\ displaystyle {\ binom {n} {k}}}$

Relação com o triângulo de Pascal

Enquanto cada entrada no triângulo de Pascal é a soma das duas entradas na linha acima, cada entrada no triângulo de Leibniz é a soma das duas entradas na linha abaixo dele. Por exemplo, na 5ª linha, a entrada (1/30) é a soma dos dois (1/60) s na 6ª linha.

Assim como o triângulo de Pascal pode ser calculado usando coeficientes binomiais, o: de Leibniz também pode . Além disso, as entradas desse triângulo podem ser calculadas a partir de Pascal : "Os termos em cada linha são o termo inicial dividido pelas entradas correspondentes do triângulo Pascal." Na verdade, cada diagonal está relacionada às diagonais do Triângulo Pascal correspondentes: A primeira diagonal de Leibniz consiste em 1 / (1x números naturais ), a segunda de 1 / (2x números triangulares ), a terceira de 1 / (3x números tetraédricos ) e assim por diante . ${\ displaystyle L (r, c) = {\ frac {1} {r {r-1 \ escolha c-1}}}}$

Propriedades

Se alguém leva os denominadores do n º linha e adiciona-los, então o resultado será igual . Por exemplo, para a 3ª linha, temos 3 + 6 + 3 = 12 = 3 × 2 ² . ${\ displaystyle n2 ^ {n-1}}$

Nós temos ${\ displaystyle L (r, c) = \ int _ {0} ^ {1} \! x ^ {c-1} (1-x) ^ {rc} \, dx.}$

Referências