Álgebra - Algebra

A fórmula quadrática expressa a solução da equação ax 2 + bx + c = 0 , em que um não é zero, em termos dos seus coeficientes de um , b e c .

Álgebra (do árabe : الجبر , romanizadoal-jabr , lit. 'reunião de partes quebradas, configuração de ossos') é uma das áreas mais amplas da matemática , junto com a teoria dos números , geometria e análise . Em sua forma mais geral, álgebra é o estudo de símbolos matemáticos e as regras para manipular esses símbolos; é um fio condutor de quase toda a matemática. Inclui tudo, desde a resolução de equações elementares ao estudo de abstrações, como grupos , anéis e campos . As partes mais básicas da álgebra são chamadas de álgebra elementar ; as partes mais abstratas são chamadas de álgebra abstrata ou álgebra moderna. A álgebra elementar é geralmente considerada essencial para qualquer estudo de matemática, ciências ou engenharia, bem como aplicações como medicina e economia. A álgebra abstrata é uma área importante da matemática avançada, estudada principalmente por matemáticos profissionais.

A álgebra elementar difere da aritmética no uso de abstrações, como o uso de letras para representar números que são desconhecidos ou que podem assumir muitos valores. Por exemplo, na carta é uma incógnita, mas aplicando inversos aditivos pode revelar o seu valor: . Álgebra fornece métodos para escrever fórmulas e resolver equações que são muito mais claros e fáceis do que o método antigo de escrever tudo em palavras.

A palavra álgebra também é usada de certas maneiras especializadas. Um tipo especial de objeto matemático em álgebra abstrata é chamado de "álgebra", e a palavra é usada, por exemplo, nas frases álgebra linear e topologia algébrica .

Um matemático que faz pesquisas em álgebra é chamado de algebraist.

Etimologia

A palavra álgebra vem do título de um livro de Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi .

A palavra álgebra vem do árabe : الجبر , romanizedal-jabr , lit. 'reunião de partes quebradas, formação de ossos ' do título do livro do início do século IX c Ilm al-jabr wa l-muqābala "A Ciência da Restauração e Equilíbrio" do matemático e astrônomo persa al-Khwarizmi . Em seu trabalho, o termo al-jabr referia-se à operação de mover um termo de um lado para o outro de uma equação, المقابلة al-muqābala "balanceamento" referia-se à adição de termos iguais para ambos os lados. Encurtada para apenas algeber ou álgebra em latim, a palavra acabou entrando na língua inglesa durante o século 15, do espanhol, italiano ou latim medieval . Originalmente, referia-se ao procedimento cirúrgico de colocação de ossos quebrados ou deslocados . O significado matemático foi registrado pela primeira vez (em inglês) no século XVI.

Diferentes significados de "álgebra"

A palavra "álgebra" tem vários significados relacionados em matemática, como uma única palavra ou com qualificadores.

Álgebra como um ramo da matemática

A álgebra começou com cálculos semelhantes aos da aritmética , com letras representando números. Isso permitiu provas de propriedades que são verdadeiras, independentemente dos números envolvidos. Por exemplo, na equação quadrática

pode ser qualquer número (exceto que não pode ser ), e a fórmula quadrática pode ser usada para encontrar rápida e facilmente os valores da quantidade desconhecida que satisfazem a equação. Ou seja, encontrar todas as soluções da equação.

Historicamente, e no ensino atual, o estudo da álgebra começa com a resolução de equações, como a equação quadrática acima. Depois, perguntas mais gerais, como "uma equação tem solução?", "Quantas soluções uma equação tem?", "O que pode ser dito sobre a natureza das soluções?" são considerados. Essas questões levaram a estender a álgebra a objetos não numéricos, como permutações , vetores , matrizes e polinômios . As propriedades estruturais desses objetos não numéricos foram então abstraídas em estruturas algébricas , como grupos , anéis e campos .

Antes do século 16, a matemática era dividida em apenas dois subcampos, aritmética e geometria . Ainda que alguns métodos, desenvolvidos muito antes, possam ser considerados hoje como álgebra, o surgimento da álgebra e, logo depois, do cálculo infinitesimal como subcampos da matemática data apenas do século XVI ou XVII. A partir da segunda metade do século 19, surgiram muitos novos campos da matemática, a maioria dos quais fazia uso tanto da aritmética quanto da geometria, e quase todos usavam álgebra.

Hoje, a álgebra cresceu até incluir muitos ramos da matemática, como pode ser visto na Classificação de Matemática, onde nenhuma das áreas de primeiro nível (entradas de dois dígitos) é chamada de álgebra . Hoje a álgebra inclui a seção 08-Sistemas algébricos gerais, 12- Teoria de campo e polinômios , 13- Álgebra comutativa , 15- Álgebra linear e multilinear ; teoria das matrizes , 16- Anéis e álgebras associativos , 17- Anéis e álgebras não associativos , 18- Teoria das categorias ; álgebra homológica , 19- teoria K e 20- Teoria de grupos . A álgebra também é amplamente utilizada na teoria dos números 11 e na geometria algébrica 14 .

História

História inicial da álgebra

As raízes da álgebra remontam aos antigos babilônios , que desenvolveram um sistema aritmético avançado com o qual eram capazes de fazer cálculos de forma algorítmica . Os babilônios desenvolveram fórmulas para calcular soluções para problemas normalmente resolvidos hoje usando equações lineares , equações quadráticas e equações lineares indeterminadas . Em contraste, a maioria dos egípcios desta época, bem como grego e matemática chineses no 1º milénio aC, geralmente resolvido tais equações por métodos geométricos, como os descritos no papiro matemático de Rhind , de Euclides Elements , e os capítulos nove na Matemática Art . O trabalho geométrico dos gregos, tipificado nos Elementos , forneceu a estrutura para generalizar fórmulas além da solução de problemas particulares em sistemas mais gerais de formulação e resolução de equações, embora isso não fosse realizado até o desenvolvimento da matemática no Islã medieval .

Na época de Platão , a matemática grega havia sofrido uma mudança drástica. Os gregos criaram uma álgebra geométrica em que os termos eram representados por lados de objetos geométricos, geralmente linhas, que tinham letras associadas a eles. Diofanto (século III dC) foi um matemático grego alexandrino e autor de uma série de livros chamada Aritmética . Esses textos tratam da solução de equações algébricas e levaram, na teoria dos números , à noção moderna de equação diofantina .

As tradições anteriores discutidas acima tiveram uma influência direta sobre o matemático persa Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī (c. 780–850). Mais tarde, ele escreveu The Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing , que estabeleceu a álgebra como uma disciplina matemática que é independente da geometria e da aritmética .

Os matemáticos helenísticos Heróis de Alexandria e Diofanto, bem como os matemáticos indianos como Brahmagupta , continuaram as tradições do Egito e da Babilônia, embora a Aritmética de Diofanto e o Brāhmasphuṭasiddhānta de Brahmagupta estejam em um nível superior. Por exemplo, a primeira solução aritmética completa escrita em palavras em vez de símbolos, incluindo soluções zero e negativa, para equações quadráticas foi descrita por Brahmagupta em seu livro Brahmasphutasiddhanta, publicado em 628 DC. Mais tarde, os matemáticos persas e árabes desenvolveram métodos algébricos com um grau de sofisticação muito mais alto. Embora Diofanto e os babilônios usassem principalmente métodos especiais ad hoc para resolver equações, a contribuição de Al-Khwarizmi foi fundamental. Ele resolveu equações lineares e quadráticas sem simbolismo algébrico, números negativos ou zero , portanto, ele teve que distinguir vários tipos de equações.

No contexto em que a álgebra é identificada com a teoria das equações , o matemático grego Diophantus é tradicionalmente conhecido como o "pai da álgebra" e no contexto em que é identificado com as regras de manipulação e resolução de equações, o matemático persa al-Khwarizmi é considerado como "o pai da álgebra". Agora existe um debate se quem (no sentido geral) tem mais direito de ser conhecido como "o pai da álgebra". Aqueles que apóiam Diofanto apontam para o fato de que a álgebra encontrada em Al-Jabr é ligeiramente mais elementar do que a álgebra encontrada em Aritmética e que a Aritmética é sincopada, enquanto Al-Jabr é totalmente retórica. Aqueles que apóiam Al-Khwarizmi apontam para o fato de que ele introduziu os métodos de " redução " e "balanceamento" (a transposição de termos subtraídos para o outro lado de uma equação, ou seja, o cancelamento de termos semelhantes em lados opostos do equação) a que o termo al-jabr se referia originalmente, e que ele deu uma explicação exaustiva da resolução de equações quadráticas, apoiada por provas geométricas, enquanto tratava a álgebra como uma disciplina independente em seu próprio direito. Sua álgebra também não estava mais preocupada "com uma série de problemas a serem resolvidos, mas uma exposição que começa com termos primitivos em que as combinações devem dar todos os protótipos possíveis para as equações, que daí em diante explicitamente constituem o verdadeiro objeto de estudo". Ele também estudou uma equação por si mesma e "de uma maneira genérica, na medida em que ela não surge simplesmente no curso da resolução de um problema, mas é especificamente chamado para definir uma classe infinita de problemas".

Outro matemático persa, Omar Khayyam, é responsável por identificar os fundamentos da geometria algébrica e encontrar a solução geométrica geral da equação cúbica . Seu livro Tratado sobre Demonstrações de Problemas de Álgebra (1070), que estabeleceu os princípios da álgebra, faz parte do corpo da matemática persa que acabou sendo transmitido para a Europa. Ainda outro matemático persa, Sharaf al-Dīn al-Tūsī , encontrou soluções algébricas e numéricas para vários casos de equações cúbicas. Ele também desenvolveu o conceito de função . Os matemáticos indianos Mahavira e Bhaskara II , o matemático persa Al-Karaji e o matemático chinês Zhu Shijie resolveram vários casos de equações cúbicas, quárticas , quínticas e polinomiais de ordem superior usando métodos numéricos. No século 13, a solução de uma equação cúbica por Fibonacci é representativa do início de um renascimento na álgebra europeia. Abū al-Ḥasan ibn ʿAlī al-Qalaṣādī (1412–1486) deu "os primeiros passos em direção à introdução do simbolismo algébrico". Ele também calculou Σ n 2 , Σ n 3 e usou o método de aproximação sucessiva para determinar raízes quadradas.

História moderna da álgebra

O matemático italiano Girolamo Cardano publicou as soluções para as equações cúbicas e quárticas em seu livro de 1545 Ars magna .

O trabalho de François Viète em nova álgebra no final do século 16 foi um passo importante para a álgebra moderna. Em 1637, René Descartes publicou La Géométrie , inventando a geometria analítica e introduzindo a notação algébrica moderna. Outro evento chave no desenvolvimento da álgebra foi a solução algébrica geral das equações cúbicas e quárticas, desenvolvida em meados do século XVI. A ideia de um determinante foi desenvolvida pelo matemático japonês Seki Kōwa no século XVII, seguido de forma independente por Gottfried Leibniz dez anos depois, com o objetivo de resolver sistemas de equações lineares simultâneas por meio de matrizes . Gabriel Cramer também fez alguns trabalhos sobre matrizes e determinantes no século XVIII. As permutações foram estudadas por Joseph-Louis Lagrange em seu artigo de 1770 " Réflexions sur la résolution algébrique des équations ", dedicado a soluções de equações algébricas, no qual ele introduziu os resolventes de Lagrange . Paolo Ruffini foi a primeira pessoa a desenvolver a teoria dos grupos de permutação e, como seus predecessores, também no contexto da resolução de equações algébricas.

A álgebra abstrata foi desenvolvida no século 19, decorrente do interesse em resolver equações, inicialmente com foco no que hoje se chama de teoria de Galois , e em questões de construtibilidade . George Peacock foi o fundador do pensamento axiomático em aritmética e álgebra. Augustus De Morgan descobriu a álgebra de relação em seu Syllabus of a Proposed System of Logic . Josiah Willard Gibbs desenvolveu uma álgebra de vetores no espaço tridimensional e Arthur Cayley desenvolveu uma álgebra de matrizes (esta é uma álgebra não comutativa).

Áreas da matemática com a palavra álgebra no nome

Algumas subáreas da álgebra têm a palavra álgebra em seu nome; a álgebra linear é um exemplo. Outros não: teoria dos grupos , teoria dos anéis e teoria do campo são exemplos. Nesta seção, listamos algumas áreas da matemática com a palavra "álgebra" no nome.

Muitas estruturas matemáticas são chamadas de álgebras :

Álgebra elementar

Notação de expressão algébrica:
  1 - potência (expoente)
  2 - coeficiente
  3 - termo
  4 - operador
  5 - termo constante
  x y c - variáveis ​​/ constantes

A álgebra elementar é a forma mais básica de álgebra. É ensinado a alunos que não têm nenhum conhecimento de matemática além dos princípios básicos da aritmética . Na aritmética, apenas os números e suas operações aritméticas (como +, -, ×, ÷) ocorrem. Na álgebra, os números são freqüentemente representados por símbolos chamados de variáveis (como a , n , x , y ou z ). Isso é útil porque:

  • Ele permite que a formulação geral da leis aritméticas (tal como um + b = b + um para todo um e b ), e, portanto, é o primeiro passo para uma exploração sistemática das propriedades do sistema de números reais .
  • Permite a referência a números "desconhecidos", a formulação de equações e o estudo de como as resolver. (Por exemplo, "Encontre um número x tal que 3 x + 1 = 10" ou indo um pouco mais longe "Encontre um número x tal que ax + b = c ". Esta etapa leva à conclusão de que não é a natureza de os números específicos que nos permitem resolvê-lo, mas o das operações envolvidas.)
  • Permite a formulação de relações funcionais . (Por exemplo, "Se você vender x ingressos, seu lucro será de 3 x - 10 dólares, ou f ( x ) = 3 x - 10, onde f é a função e x é o número ao qual a função é aplicada ".)

Polinômios

O gráfico de uma função polinomial de grau 3

Um polinômio é uma expressão que é a soma de um número finito de termos diferentes de zero , cada termo consistindo no produto de uma constante e um número finito de variáveis elevadas a potências de números inteiros. Por exemplo, x 2 + 2 x - 3 é um polinômio na variável única x . Uma expressão polinomial é uma expressão que pode ser reescrita como um polinômio, usando comutatividade, associatividade e distributividade de adição e multiplicação. Por exemplo, ( x - 1) ( x + 3) é uma expressão polinomial, que, falando propriamente, não é um polinômio. Uma função polinomial é uma função que é definida por um polinômio ou, equivalentemente, por uma expressão polinomial. Os dois exemplos anteriores definem a mesma função polinomial.

Dois problemas importantes e relacionados em álgebra são a fatoração de polinômios , isto é, expressar um determinado polinômio como um produto de outros polinômios que não podem ser fatorados mais, e o cálculo dos maiores divisores comuns de polinômios . O polinômio de exemplo acima pode ser fatorado como ( x - 1) ( x + 3). Uma classe de problemas relacionada é encontrar expressões algébricas para as raízes de um polinômio em uma única variável.

Educação

Foi sugerido que a álgebra elementar deveria ser ensinada a alunos a partir dos onze anos de idade, embora nos últimos anos seja mais comum que as aulas públicas comecem no nível da oitava série (≈ 13 anos) nos Estados Unidos. No entanto, em algumas escolas dos Estados Unidos, a álgebra é iniciada na nona série.

Álgebra abstrata

A álgebra abstrata estende os conceitos familiares encontrados na álgebra elementar e na aritmética dos números para conceitos mais gerais. Aqui estão os conceitos fundamentais listados em álgebra abstrata.

Conjuntos : em vez de apenas considerar os diferentes tipos de números , a álgebra abstrata lida com o conceito mais geral de conjuntos : uma coleção de todos os objetos (chamados de elementos ) selecionados por propriedade específica para o conjunto. Todas as coleções dos tipos familiares de números são conjuntos. Outros exemplos de conjuntos incluem o conjunto de todas as matrizes dois por dois , o conjunto de todos os polinômios de segundo grau ( ax 2 + bx + c ), o conjunto de todos os vetores bidimensionais no plano e os vários grupos finitos, tais como os grupos cíclicos , que são os grupos de inteiros módulo n . A teoria dos conjuntos é um ramo da lógica e não tecnicamente um ramo da álgebra.

Operações binárias : a noção de adição (+) é abstraída para fornecer uma operação binária , ∗ digamos. A noção de operação binária não tem sentido sem o conjunto no qual a operação é definida. Para dois elementos um e b em conjunto um S , a * b é um outro elemento do conjunto; esta condição é chamada de fechamento . Adição (+), subtração (-), multiplicação (×) e divisão (÷) podem ser operações binárias quando definidas em conjuntos diferentes, assim como adição e multiplicação de matrizes, vetores e polinômios.

Elementos de identidade : os números zero e um são abstraídos para dar a noção de um elemento de identidade para uma operação. Zero é o elemento de identidade para adição e um é o elemento de identidade para multiplicação. Para um operador binário geral ∗ o elemento de identidade e deve satisfazer ae = a e ea = a , e é necessariamente único, se existir. Isto é válido para a adição de um + 0 = um e 0 + um = um e multiplicação um × 1 = um e 1 × um = um . Nem todos os conjuntos e combinações de operadores possuem um elemento de identidade; por exemplo, o conjunto de números naturais positivos (1, 2, 3, ...) não tem nenhum elemento de identidade para adição.

Elementos inversos : Os números negativos dão origem ao conceito de elementos inversos . Para adição, o inverso de a é escrito - a , e para multiplicação o inverso é escrito a −1 . Um elemento geral de dois lados inversa uma -1 satisfaz a propriedade de que uma * uma -1 = e e uma -1 * um = E , onde E é o elemento de identidade.

Associatividade : a adição de inteiros possui uma propriedade chamada associatividade. Ou seja, o agrupamento dos números a serem somados não afeta a soma. Por exemplo: (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) . Em geral, isso se torna ( ab ) ∗ c = a ∗ ( bc ). Esta propriedade é compartilhada pela maioria das operações binárias, mas não pela subtração, divisão ou multiplicação de octonion .

Comutatividade : adição e multiplicação de números reais são ambas comutativas. Ou seja, a ordem dos números não afeta o resultado. Por exemplo: 2 + 3 = 3 + 2. Em geral, isso se torna ab = ba . Esta propriedade não é válida para todas as operações binárias. Por exemplo, a multiplicação de matrizes e a multiplicação de quatérnios são ambas não comutativas.

Grupos

Combinar os conceitos acima dá uma das estruturas mais importantes da matemática: um grupo . Um grupo é uma combinação de um conjunto S e uma única operação binária ∗, definida da maneira que você escolher, mas com as seguintes propriedades:

  • Existe um elemento de identidade e , de modo que para cada membro a de S , ea e ae são ambos idênticos a a .
  • Cada elemento tem um inverso: para cada membro a de S , existe um membro a −1 tal que aa −1 e a −1a são ambos idênticos ao elemento identidade.
  • A operação é associativa: se um , b e c são membros de S , então ( a * b ) * c é idêntico a um * ( b * c ).

Se um grupo é também conmutativo - isto é, por quaisquer dois membros um e b de S , um * b é idêntico a b * um - em seguida, o grupo é dito ser abeliano .

Por exemplo, o conjunto de inteiros sob a operação de adição é um grupo. Nesse grupo, o elemento de identidade é 0 e o inverso de qualquer elemento a é sua negação, - a . O requisito de associatividade é atendido, porque para quaisquer inteiros a , b e c , ( a + b ) + c = a + ( b + c )

Os números racionais diferentes de zero formam um grupo sob multiplicação. Aqui, o elemento de identidade é 1, uma vez que 1 × a = a × 1 = a para qualquer número racional a . O inverso de a é1/uma, uma vez que a ×1/uma = 1.

Os inteiros sob a operação de multiplicação, no entanto, não formam um grupo. Isso ocorre porque, em geral, o inverso multiplicativo de um inteiro não é um inteiro. Por exemplo, 4 é um número inteiro, mas seu inverso multiplicativo é1/4, que não é um número inteiro.

A teoria de grupos é estudada em teoria grupo . Um dos principais resultados dessa teoria é a classificação de grupos simples finitos , publicados principalmente entre 1955 e 1983, que separa os grupos simples finitos em cerca de 30 tipos básicos.

Semi-grupos , quase-grupos e estruturas monóides semelhantes a grupos, mas mais gerais. Eles compreendem um conjunto e uma operação binária fechada, mas não necessariamente satisfazem as outras condições. Um semigrupo tem uma operação binária associativa , mas pode não ter um elemento de identidade. Um monóide é um semigrupo que possui uma identidade, mas pode não ter uma inversa para cada elemento. Um quase grupo satisfaz o requisito de que qualquer elemento pode ser transformado em qualquer outro por meio de uma única multiplicação à esquerda ou à direita; no entanto, a operação binária pode não ser associativa.

Todos os grupos são monoides e todos os monoides são semigrupos.

Exemplos
Definir Números naturais N Z inteiros Números racionais Q (também R reais e números C complexos ) Números inteiros módulo 3: Z 3 = {0, 1, 2}
Operação + × (sem zero) + × (sem zero) + - × (sem zero) ÷ (sem zero) + × (sem zero)
Fechadas sim sim sim sim sim sim sim sim sim sim
Identidade 0 1 0 1 0 N / D 1 N / D 0 1
Inverso N / D N / D - um N / D - um N / D 1 / a N / D 0, 2, 1, respectivamente N / A, 1, 2, respectivamente
Associativo sim sim sim sim sim Não sim Não sim sim
Comutativo sim sim sim sim sim Não sim Não sim sim
Estrutura monóide monóide grupo abeliano monóide grupo abeliano quase grupo grupo abeliano quase grupo grupo abeliano grupo abeliano (Z 2 )

Anéis e campos

Os grupos têm apenas uma operação binária. Para explicar completamente o comportamento dos diferentes tipos de números, estruturas com dois operadores precisam ser estudadas. Os mais importantes são anéis e campos .

Um anel tem duas operações binárias (+) e (×), com × distributivo sobre +. Sob o primeiro operador (+), ele forma um grupo abeliano . Sob o segundo operador (×) é associativo, mas não precisa ter uma identidade, ou inversa, portanto, a divisão não é necessária. O elemento de identidade aditivo (+) é escrito como 0 e o inverso aditivo de a é escrito como - a .

A distributividade generaliza a lei distributiva dos números. Para os inteiros ( a + b ) × c = a × c + b × c e c × ( a + b ) = c × a + c × b , e × é dito ser distributivo sobre +.

Os inteiros são um exemplo de um anel. Os inteiros têm propriedades adicionais que os tornam um domínio integral .

Um campo é um anel com a propriedade adicional de que todos os elementos, exceto 0, formam um grupo abeliano sob ×. A identidade multiplicativa (×) é escrita como 1 e o inverso multiplicativo de a é escrito como a -1 .

Os números racionais, os números reais e os números complexos são todos exemplos de campos.

Veja também

Referências

Citações

Trabalhos citados

Leitura adicional

links externos