Fração unitária - Unit fraction

Uma fração unitária é um número racional escrito como uma fração, onde o numerador é um e o denominador é um número inteiro positivo . Uma fração unitária é, portanto, o recíproco de um inteiro positivo, 1 / n . Os exemplos são 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, etc.

Aritmética elementar

Multiplicar quaisquer duas frações unitárias resulta em um produto que é outra fração unitária:

${\ displaystyle {\ frac {1} {x}} \ times {\ frac {1} {y}} = {\ frac {1} {xy}}.}$

No entanto, adicionar , subtrair ou dividir duas frações unitárias produz um resultado que geralmente não é uma fração unitária:

${\ displaystyle {\ frac {1} {x}} + {\ frac {1} {y}} = {\ frac {x + y} {xy}}}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {x}} - {\ frac {1} {y}} = {\ frac {yx} {xy}}}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {x}} \ div {\ frac {1} {y}} = {\ frac {y} {x}}.}$

Aritmética modular

As frações unitárias desempenham um papel importante na aritmética modular , pois podem ser usadas para reduzir a divisão modular ao cálculo dos maiores divisores comuns. Especificamente, suponha que desejamos realizar divisões por um valor x , módulo y . Para que a divisão por x seja bem definida, o módulo y , x e y devem ser relativamente primos . Então, usando o algoritmo Euclidiano estendido para os maiores divisores comuns, podemos encontrar a e b tais que

${\ displaystyle \ displaystyle ax + by = 1,}$

do qual segue-se que

${\ displaystyle \ displaystyle ax \ equiv 1 {\ pmod {y}},}$

ou equivalente

${\ displaystyle a \ equiv {\ frac {1} {x}} {\ pmod {y}}.}$

Assim, para dividir por x (módulo y ), precisamos simplesmente multiplicar por a .

Somas finitas de frações unitárias

Qualquer número racional positivo pode ser escrito como a soma de frações unitárias, de várias maneiras. Por exemplo,

${\ displaystyle {\ frac {4} {5}} = {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {4}} + {\ frac {1} {20}} = {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {5}} + {\ frac {1} {6}} + {\ frac {1} {10}}.}$

As antigas civilizações egípcias usavam somas de frações de unidades distintas em sua notação para números racionais mais gerais e, portanto, essas somas são freqüentemente chamadas de frações egípcias . Ainda hoje há interesse em analisar os métodos usados ​​pelos antigos para escolher entre as representações possíveis para um número fracionário e calcular com tais representações. O tópico das frações egípcias também despertou interesse na moderna teoria dos números ; por exemplo, a conjectura Erdős – Graham e a conjectura Erdős – Straus referem-se a somas de frações unitárias, assim como a definição dos números harmônicos do minério .

Na teoria geométrica dos grupos , os grupos de triângulos são classificados em casos euclidianos, esféricos e hiperbólicos de acordo com o fato de uma soma associada de frações unitárias ser igual a um, maior que um ou menor que um, respectivamente.

Série de frações unitárias

Muitas séries infinitas bem conhecidas têm termos que são frações unitárias. Esses incluem:

• A série harmônica , a soma de todas as frações unitárias positivas. Esta soma diverge, e suas somas parciais

${\ displaystyle {\ frac {1} {1}} + {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {3}} + \ cdots + {\ frac {1} {n}}}$

aproxime-se de ln   n  +  γ à medida que n aumenta.

• O problema Basileia refere-se à soma das fracções unitárias quadrados, que converge para pi ² /6
• A constante de Apéry é a soma das frações unitárias ao cubo.
• A série geométrica binária , que soma 2, e a constante recíproca de Fibonacci são exemplos adicionais de uma série composta de frações unitárias.

Matrizes de frações unitárias

A matriz de Hilbert é a matriz com elementos

${\ displaystyle B_ {i, j} = {\ frac {1} {i + j-1}}.}$

Ele possui a propriedade incomum de todos os elementos em sua matriz inversa serem inteiros. Da mesma forma, Richardson (2001) definiu uma matriz com elementos

${\ displaystyle C_ {i, j} = {\ frac {1} {F_ {i + j-1}}},}$

onde F _i denota o i ésimo número de Fibonacci . Ele chama essa matriz de matriz de Filbert e ela tem a mesma propriedade de ter uma inversa inteira.

Frações adjacentes

Duas frações são chamadas de adjacentes se sua diferença for uma fração unitária.

Frações unitárias em probabilidade e estatística

Em uma distribuição uniforme em um espaço discreto , todas as probabilidades são frações unitárias iguais. Devido ao princípio da indiferença , probabilidades dessa forma surgem com frequência em cálculos estatísticos. Além disso, a lei de Zipf afirma que, para muitos fenômenos observados envolvendo a seleção de itens de uma seqüência ordenada, a probabilidade de que o n º item é selecionado é proporcional à fração unidade 1 / n .

Frações unitárias em física

Os níveis de energia dos fótons que podem ser absorvidos ou emitidos por um átomo de hidrogênio são, de acordo com a fórmula de Rydberg , proporcionais às diferenças de duas frações unitárias. Uma explicação para esse fenômeno é fornecida pelo modelo de Bohr , segundo o qual os níveis de energia dos orbitais de elétrons em um átomo de hidrogênio são inversamente proporcionais às frações unitárias quadradas, e a energia de um fóton é quantizada pela diferença entre dois níveis.

Arthur Eddington argumentou que a constante de estrutura fina era uma fração unitária, primeiro 1/136 e depois 1/137. Esta afirmação foi falsificada, dado que as estimativas atuais da constante de estrutura fina são (até 6 dígitos significativos) 1 / 137,036.

Veja também

• Submúltiplo

Referências

links externos

• Weisstein, Eric W. "Unit Fraction" . MathWorld .