Distribuição uniforme discreta - Discrete uniform distribution

uniforme discreto

Função de massa de probabilidade n = 5 onde n = b  -  a  + 1
Função de distribuição cumulativa
Notação	${\ displaystyle {\ mathcal {U}} \ {a, b \}}$ ou ${\ displaystyle \ mathrm {unif} \ {a, b \}}$
Parâmetros	${\ displaystyle a, b}$ inteiros com ${\ displaystyle b \ geq a}$ ${\ displaystyle n = b-a + 1}$
Apoio, suporte	${\ displaystyle k \ in \ {a, a + 1, \ dots, b-1, b \}}$
PMF	${\ displaystyle {\ frac {1} {n}}}$
CDF	${\ displaystyle {\ frac {\ lfloor k \ rfloor -a + 1} {n}}}$
Significar	${\ displaystyle {\ frac {a + b} {2}}}$
Mediana	${\ displaystyle {\ frac {a + b} {2}}}$
Modo	N / D
Variância	${\ displaystyle {\ frac {n ^ {2} -1} {12}}}$
Skewness	${\ displaystyle 0}$
Ex. curtose	${\ displaystyle - {\ frac {6 (n ^ {2} +1)} {5 (n ^ {2} -1)}}}$
Entropia	${\ displaystyle \ ln (n)}$
MGF	${\ displaystyle {\ frac {e ^ {at} -e ^ {(b + 1) t}} {n (1-e ^ {t})}}}$
CF	${\ displaystyle {\ frac {e ^ {iat} -e ^ {i (b + 1) t}} {n (1-e ^ {it})}}}$
PGF	${\ displaystyle {\ frac {z ^ {a} -z ^ {b + 1}} {n (1-z)}}}$

Em teoria de probabilidade e estatística , a distribuição uniforme discreta é uma distribuição de probabilidade simétrica em que um número finito de valores é igualmente provável de ser observado; cada um dos n valores tem probabilidade igual 1 / n . Outra maneira de dizer "distribuição uniforme discreta" seria "um número conhecido e finito de resultados igualmente prováveis ​​de acontecer".

Um exemplo simples de distribuição uniforme discreta é jogar um dado justo . Os valores possíveis são 1, 2, 3, 4, 5, 6, e cada vez que o dado é lançado, a probabilidade de uma determinada pontuação é de 1/6. Se dois dados são lançados e seus valores somados, a distribuição resultante não é mais uniforme porque nem todas as somas têm a mesma probabilidade. Embora seja conveniente descrever distribuições uniformes discretas sobre inteiros, como esta, também se pode considerar distribuições uniformes discretas sobre qualquer conjunto finito . Por exemplo, uma permutação aleatória é uma permutação gerada uniformemente a partir das permutações de um determinado comprimento, e uma árvore geradora uniforme é uma árvore gerada uniformemente a partir das árvores geradas de um determinado grafo.

A distribuição uniforme discreta em si é inerentemente não paramétrica. É conveniente, no entanto, representar seus valores geralmente por todos os inteiros em um intervalo [ a , b ], de modo que a e b se tornem os principais parâmetros da distribuição (muitas vezes, considera-se simplesmente o intervalo [1, n ] com o único parâmetro n ). Com essas convenções, a função de distribuição cumulativa (CDF) da distribuição uniforme discreta pode ser expressa, para qualquer k ∈ [ a , b ], como

${\ displaystyle F (k; a, b) = {\ frac {\ lfloor k \ rfloor -a + 1} {b-a + 1}}}$

Estimativa de máximo

Este exemplo é descrita dizendo que uma amostra de k observações é obtido a partir de uma distribuição uniforme sobre os números inteiros , com o problema de ser para estimar o máximo desconhecido N . Este problema é comumente conhecido como o problema dos tanques alemães , após a aplicação da estimativa máxima às estimativas da produção de tanques alemães durante a Segunda Guerra Mundial . ${\ displaystyle 1,2, \ dotsc, N}$

O estimador uniformemente imparcial de variância mínima (UMVU) para o máximo é dado por

${\ displaystyle {\ hat {N}} = {\ frac {k + 1} {k}} m-1 = m + {\ frac {m} {k}} - 1}$

onde m é o máximo da amostra e k é o tamanho da amostra , a amostragem, sem reposição. Isso pode ser visto como um caso muito simples de estimativa de espaçamento máximo .

Isso tem uma variação de

${\ displaystyle {\ frac {1} {k}} {\ frac {(Nk) (N + 1)} {(k + 2)}} \ approx {\ frac {N ^ {2}} {k ^ { 2}}} {\ text {para pequenas amostras}} k \ ll N}$

portanto, um desvio padrão de aproximadamente , o tamanho médio (da população) de uma lacuna entre as amostras; compare acima. ${\ displaystyle {\ tfrac {N} {k}}}$${\ displaystyle {\ tfrac {m} {k}}}$

O máximo da amostra é o estimador de máxima verossimilhança para o máximo da população, mas, como discutido acima, é enviesado.

Se as amostras não são numeradas, mas são reconhecíveis ou marcáveis, pode-se estimar o tamanho da população por meio do método de captura-recaptura .

Permutação aleatória

Veja números rencontres para um relato da distribuição de probabilidade do número de pontos fixos de uma permutação aleatória uniformemente distribuída .

Propriedades

A família de distribuições uniformes em intervalos de inteiros (com um ou ambos os limites desconhecidos) tem uma estatística suficiente de dimensão finita , ou seja, o triplo do máximo da amostra, mínimo da amostra e tamanho da amostra, mas não é uma família exponencial de distribuições, porque o suporte varia com os parâmetros. Para famílias cujo suporte não depende dos parâmetros, o teorema de Pitman – Koopman – Darmois afirma que apenas famílias exponenciais têm uma estatística suficiente cuja dimensão é limitada conforme o tamanho da amostra aumenta. A distribuição uniforme é, portanto, um exemplo simples que mostra o limite deste teorema.

Veja também

• Distribuição delta de Dirac
• Distribuição uniforme (contínua)

Referências