Função geradora de probabilidade - Probability-generating function

Na teoria da probabilidade , a função de geração de probabilidade de uma variável aleatória discreta é uma representação de série de potências (a função de geração ) da função de massa de probabilidade da variável aleatória . Funções geradoras de probabilidade são frequentemente empregadas para sua descrição sucinta da sequência de probabilidades Pr ( X = i ) na função de massa de probabilidade para uma variável aleatória X , e para disponibilizar a teoria bem desenvolvida de séries de potências com coeficientes não negativos.

Definição

Caso univariado

Se X for uma variável aleatória discreta assumindo valores nos inteiros não negativos {0,1, ...}, então a função de geração de probabilidade de X é definida como

${\ displaystyle G (z) = \ operatorname {E} (z ^ {X}) = \ sum _ {x = 0} ^ {\ infty} p (x) z ^ {x},}$

onde P é a função de densidade de probabilidade de X . Observe que as notações subscritas G _X e p _X são freqüentemente usadas para enfatizar que pertencem a uma variável aleatória particular X e à sua distribuição . A série de potências converge absolutamente pelo menos para todos os números complexos z com | z | ≤ 1; em muitos exemplos, o raio de convergência é maior.

Caso multivariado

Se X = ( X ₁ , ..., X _d  ) é uma variável aleatória discreta tomando valores na rede inteira não negativa d- dimensional {0,1, ...} ^d , então a função de geração de probabilidade de X é definido como

${\ displaystyle G (z) = G (z_ {1}, \ ldots, z_ {d}) = \ operatorname {E} {\ bigl (} z_ {1} ^ {X_ {1}} \ cdots z_ {d } ^ {X_ {d}} {\ bigr)} = \ sum _ {x_ {1}, \ ldots, x_ {d} = 0} ^ {\ infty} p (x_ {1}, \ ldots, x_ { d}) z_ {1} ^ {x_ {1}} \ cdots z_ {d} ^ {x_ {d}},}$

onde P é a função de densidade de probabilidade de X . A série de potências converge absolutamente pelo menos para todos os vetores complexos z = ( z ₁ , ..., z _d  ) ∈ ℂ ^d com max {| z ₁ |, ..., | z _d  |} ≤ 1 .

Propriedades

Série de potências

As funções geradoras de probabilidade obedecem a todas as regras das séries de potências com coeficientes não negativos. Em particular, G (1 ^- ) = 1, onde G (1 ^- ) = lim _{z → 1} G ( z ) de baixo para cima , uma vez que as probabilidades devem somar um. Portanto, o raio de convergência de qualquer função geradora de probabilidade deve ser pelo menos 1, pelo teorema de Abel para séries de potências com coeficientes não negativos.

Probabilidades e expectativas

As propriedades a seguir permitem a derivação de várias quantidades básicas relacionadas a X :

1. A função de massa de probabilidade de X é recuperada tomando as derivadas de G,

   ${\ displaystyle p (k) = \ operatorname {Pr} (X = k) = {\ frac {G ^ {(k)} (0)} {k!}}.}$

2. Segue da Propriedade 1 que se as variáveis ​​aleatórias X e Y têm funções geradoras de probabilidade que são iguais , então . Ou seja, se X e Y têm funções geradoras de probabilidade idênticas, então eles têm distribuições idênticas.${\ displaystyle G_ {X} = G_ {Y}}$${\ displaystyle p_ {X} = p_ {Y}}$
3. A normalização da função de densidade de probabilidade pode ser expressa em termos da função geradora por

   ${\ displaystyle \ operatorname {E} [1] = G (1 ^ {-}) = \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} p (i) = 1.}$

   A expectativa de é dada por ${\ displaystyle X}$

   ${\ displaystyle \ operatorname {E} [X] = G '(1 ^ {-}).}$

   Mais geralmente, o k ^th momento fatorial , de X é dada pela ${\ displaystyle \ operatorname {E} (X (X-1) \ cdots (X-k + 1))}$

   ${\ displaystyle \ operatorname {E} \ left [{\ frac {X!} {(Xk)!}} \ right] = G ^ {(k)} (1 ^ {-}), \ quad k \ geq 0 .}$

   Portanto, a variância de X é dada por

   ${\ displaystyle \ operatorname {Var} (X) = G '' (1 ^ {-}) + G '(1 ^ {-}) - \ left [G' (1 ^ {-}) \ right] ^ { 2}.}$

   Finalmente, o k- ^ésimo momento bruto de X é dado por

   ${\ displaystyle \ operatorname {E} [X ^ {k}] = \ left (z {\ frac {\ partial} {\ partial z}} \ right) ^ {k} G (z) {\ Big |} _ {z = 1 ^ {-}}}$

4. ${\ displaystyle G_ {X} (e ^ {t}) = M_ {X} (t)}$onde X é uma variável aleatória, é a função geradora de probabilidade (de X ) e é a função geradora de momento (de X ).${\ displaystyle G_ {X} (t)}$${\ displaystyle M_ {X} (t)}$

Funções de variáveis ​​aleatórias independentes

Funções geradoras de probabilidade são particularmente úteis para lidar com funções de variáveis ​​aleatórias independentes . Por exemplo:

• Se X ₁ , X ₂ , ..., X _N é uma sequência de variáveis ​​aleatórias independentes (e não necessariamente distribuídas de forma idêntica), e

${\ displaystyle S_ {N} = \ sum _ {i = 1} ^ {N} a_ {i} X_ {i},}$

em que o um _i são constantes, em seguida, a função de geração de probabilidade é dada pela

${\ displaystyle G_ {S_ {N}} (z) = \ operatorname {E} (z ^ {S_ {N}}) = \ operatorname {E} \ left (z ^ {\ sum _ {i = 1} ^ {N} a_ {i} X_ {i},} \ direita) = G_ {X_ {1}} (z ^ {a_ {1}}) G_ {X_ {2}} (z ^ {a_ {2}} ) \ cdots G_ {X_ {N}} (z ^ {a_ {N}}).}$

Por exemplo, se

${\ displaystyle S_ {N} = \ sum _ {i = 1} ^ {N} X_ {i},}$

então a função geradora de probabilidade, G _{S N} ( z ), é dada por

${\ displaystyle G_ {S_ {N}} (z) = G_ {X_ {1}} (z) G_ {X_ {2}} (z) \ cdots G_ {X_ {N}} (z).}$

Segue-se também que a função geradora de probabilidade da diferença de duas variáveis ​​aleatórias independentes S = X ₁ - X ₂ é

${\ displaystyle G_ {S} (z) = G_ {X_ {1}} (z) G_ {X_ {2}} (1 / z).}$

• Suponha-se que N é também uma variável independente, discreta aleatório tendo valores sobre os inteiros não negativos, com função de gerador de probabilidade L _N . Se X ₁ , X ₂ , ..., X _N são independentes e distribuídos de forma idêntica com a função geradora de probabilidade comum G _X , então

${\ displaystyle G_ {S_ {N}} (z) = G_ {N} (G_ {X} (z)).}$

Isso pode ser visto, usando a lei da expectativa total , como segue:

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} G_ {S_ {N}} (z) & = \ operatorname {E} (z ^ {S_ {N}}) = \ operatorname {E} (z ^ {\ sum _ { i = 1} ^ {N} X_ {i}}) \\ [4pt] & = \ operatorname {E} {\ big (} \ operatorname {E} (z ^ {\ sum _ {i = 1} ^ { N} X_ {i}} \ mid N) {\ big)} = \ operatorname {E} {\ big (} (G_ {X} (z)) ^ {N} {\ big)} = G_ {N} (G_ {X} (z)). \ End {alinhado}}}$

Este último fato é útil no estudo de processos Galton-Watson e processos compostos de Poisson .

• Suponha novamente que N também é uma variável aleatória independente e discreta assumindo valores nos inteiros não negativos, com função geradora de probabilidade G _N e densidade de probabilidade . Se os X ₁ , X ₂ , ..., X _N forem independentes, mas não variáveis ​​aleatórias distribuídas de forma idêntica, onde denota a função geradora de probabilidade de , então${\ displaystyle f_ {i} = \ Pr \ {N = i \}}$${\ displaystyle G_ {X_ {i}}}$${\ displaystyle X_ {i}}$

${\ displaystyle G_ {S_ {N}} (z) = \ sum _ {i \ geq 1} f_ {i} \ prod _ {k = 1} ^ {i} G_ {X_ {i}} (z). }$

Para X _i distribuído de forma idêntica, isso simplifica a identidade declarada anteriormente. O caso geral às vezes é útil para obter uma decomposição de S _N por meio de funções geradoras.

Exemplos

• A função de geração de probabilidade de uma variável aleatória quase certamente constante , ou seja, uma com Pr ( X = c ) = 1, é

${\ displaystyle G (z) = z ^ {c}.}$

• A função de geração de probabilidade de uma variável aleatória binomial , o número de sucessos em n tentativas, com probabilidade p de sucesso em cada tentativa, é

${\ displaystyle G (z) = \ left [(1-p) + pz \ right] ^ {n}.}$

Observe que este é o produto n vezes da função geradora de probabilidade de uma variável aleatória de Bernoulli com o parâmetro p .

Portanto, a função geradora de probabilidade de uma moeda justa é

${\ displaystyle G (z) = 1/2 + z / 2.}$

• A função geradora de probabilidade de uma variável aleatória binomial negativa em {0,1,2 ...}, o número de falhas até o r ésimo sucesso com probabilidade de sucesso em cada tentativa p , é

${\ displaystyle G (z) = \ left ({\ frac {p} {1- (1-p) z}} \ right) ^ {r}.}$

(Convergência para ).${\ displaystyle | z | <{\ frac {1} {1-p}}}$

Observe que este é o produto r vezes da função geradora de probabilidade de uma variável aleatória geométrica com parâmetro 1 -  p em {0,1,2, ...}.

• A função de geração de probabilidade de uma variável aleatória de Poisson com parâmetro de taxa λ é

${\ displaystyle G (z) = e ^ {\ lambda (z-1)}.}$

Conceitos relacionados

A função geradora de probabilidade é um exemplo de função geradora de uma sequência: veja também séries de potências formais . É equivalente e às vezes chamada de transformada z da função de massa de probabilidade.

Outras funções geradoras de variáveis ​​aleatórias incluem a função geradora de momento , a função característica e a função geradora cumulante . A função geradora de probabilidade também é equivalente à função geradora de momento fatorial , que também pode ser considerada para variáveis ​​contínuas e outras variáveis ​​aleatórias. ${\ displaystyle \ operatorname {E} \ left [z ^ {X} \ right]}$

Notas

Referências

• Johnson, NL; Kotz, S .; Kemp, AW (1993) Univariate Discrete distributions (2ª edição). Wiley. ISBN  0-471-54897-9 (Seção 1.B9)