Superfície K3 - K3 surface

Uma superfície quártica lisa em 3 espaços. A figura mostra parte dos pontos reais (de dimensão real 2) em uma certa superfície K3 complexa (de dimensão complexa 2, portanto dimensão real 4).

Em matemática , uma superfície K3 analítica complexa é uma variedade complexa conectada compacta de dimensão 2 com feixe canônico trivial e irregularidade zero. Um (algébrico) K3 superfície sobre qualquer campo significa um alisar adequada geometricamente ligado superfície algébrico que satisfaz as mesmas condições. Na classificação de superfícies de Enriques-Kodaira , as superfícies K3 formam uma das quatro classes de superfícies mínimas de dimensão Kodaira zero. Um exemplo simples é a superfície quártica de Fermat

${\ displaystyle x ^ {4} + y ^ {4} + z ^ {4} + w ^ {4} = 0}$

no complexo 3-espaço projetivo .

Junto com os toros complexos compactos bidimensionais , as superfícies K3 são as variedades Calabi – Yau (e também as variedades hyperkähler ) de dimensão dois. Como tais, eles estão no centro da classificação das superfícies algébricas, entre as superfícies positivamente curvas de del Pezzo (que são fáceis de classificar) e as negativamente curvas de tipo geral (que são essencialmente inclassificáveis). As superfícies K3 podem ser consideradas as variedades algébricas mais simples, cuja estrutura não se reduz a curvas ou variedades abelianas , e ainda onde um entendimento substancial é possível. Uma superfície K3 complexa tem dimensão real 4 e desempenha um papel importante no estudo de 4 variedades lisas . As superfícies K3 foram aplicadas a álgebras de Kac-Moody , simetria de espelho e teoria das cordas .

Pode ser útil pensar em superfícies K3 algébricas complexas como parte da família mais ampla de superfícies K3 analíticas complexas. Muitos outros tipos de variedades algébricas não têm essas deformações não algébricas.

Definição

Existem várias maneiras equivalentes de definir superfícies K3. As únicas superfícies complexas compactas com feixe canônico trivial são as superfícies K3 e os toros complexos compactos e, portanto, pode-se adicionar qualquer condição excluindo o último para definir as superfícies K3. Por exemplo, é equivalente a definir uma superfície K3 analítica complexa como uma variedade complexa compacta simplesmente conectada de dimensão 2 com uma forma 2 holomórfica que não desaparece em lugar nenhum . (A última condição diz exatamente que o pacote canônico é trivial.)

Existem também algumas variantes da definição. Sobre os números complexos, alguns autores consideram apenas as superfícies algébricas K3. (Uma superfície K3 algébrica é automaticamente projetiva .) Ou pode-se permitir que as superfícies K3 tenham singularidades du Val (as singularidades canônicas da dimensão 2), em vez de serem suaves.

Cálculo dos números de Betti

Os números de Betti de uma superfície K3 analítica complexa são calculados como segue. (Um argumento semelhante dá a mesma resposta para os números de Betti de uma superfície algébrica K3 sobre qualquer campo, definido usando cohomologia l-ádica .) Por definição, o feixe canônico é trivial, e a irregularidade q ( X ) (a dimensão do grupo de cohomologia de feixe coerente ) é zero. Pela dualidade de Serre , ${\ displaystyle K_ {X} = \ Omega _ {X} ^ {2}}$${\ displaystyle h ^ {1} (X, O_ {X})}$${\ displaystyle H ^ {1} (X, O_ {X})}$

${\ displaystyle h ^ {2} (X, {\ mathcal {O}} _ {X}) = h ^ {0} (X, K_ {X}) = 1.}$

Como resultado, o gênero aritmético (ou característica holomórfica de Euler ) de X é:

${\ displaystyle \ chi (X, {\ mathcal {O}} _ {X}): = \ sum _ {i} (- 1) ^ {i} h ^ {i} (X, {\ mathcal {O} } _ {X}) = 1-0 + 1 = 2.}$

Por outro lado, o teorema de Riemann-Roch (fórmula de Noether) diz:

${\ displaystyle \ chi (X, {\ mathcal {O}} _ {X}) = {\ frac {1} {12}} \ left (c_ {1} (X) ^ {2} + c_ {2} (X) \ direita),}$

onde está a i- ésima classe Chern do feixe tangente . Como é trivial, sua primeira classe Chern é zero e assim . ${\ displaystyle c_ {i} (X)}$${\ displaystyle K_ {X}}$${\ displaystyle c_ {1} (K_ {X}) = - c_ {1} (X)}$${\ displaystyle c_ {2} (X) = 24}$

Em seguida, a sequência exponencial fornece uma sequência exata de grupos de cohomologia e assim . Assim, o número de Betti é zero e, pela dualidade de Poincaré , também é zero. Finalmente, é igual à característica topológica de Euler${\ displaystyle 0 \ a \ mathbb {Z} _ {X} \ a O_ {X} \ a O_ {X} ^ {*} \ a 0}$${\ displaystyle 0 \ a H ^ {1} (X, \ mathbb {Z}) \ a H ^ {1} (X, O_ {X})}$${\ displaystyle H ^ {1} (X, \ mathbb {Z}) = 0}$${\ displaystyle b_ {1} (X)}$${\ displaystyle b_ {3} (X)}$${\ displaystyle c_ {2} (X) = 24}$

${\ displaystyle \ chi (X) = \ sum _ {i} (- 1) ^ {i} b_ {i} (X).}$

Desde e , segue-se isso . ${\ displaystyle b_ {0} (X) = b_ {4} (X) = 1}$${\ displaystyle b_ {1} (X) = b_ {3} (X) = 0}$${\ displaystyle b_ {2} (X) = 22}$

Propriedades

• Quaisquer duas superfícies K3 analíticas complexas são difeomórficas como 4 variedades lisas, por Kunihiko Kodaira .
• Cada superfície K3 analítica complexa possui uma métrica Kähler , de Yum-Tong Siu . (Analogamente, mas muito mais fácil: toda superfície K3 algébrica sobre um campo é projetiva.) Pela solução de Shing-Tung Yau para a conjectura de Calabi , segue-se que toda superfície K3 analítica complexa tem uma métrica Kähler plana de Ricci .
• Os números de Hodge de qualquer superfície K3 estão listados no diamante Hodge:

  		1
  	0		0
  1		20		1
  	0		0
  		1

  Uma maneira de mostrar isso é calcular o ideal Jacobiano de uma superfície K3 específica e, em seguida, usar uma variação da estrutura de

  Hodge nos módulos das superfícies K3 algébricas para mostrar que todas essas superfícies K3 têm os mesmos números de Hodge. Um cálculo mais simples pode ser feito usando o cálculo dos números de Betti junto com as partes da estrutura de Hodge computadas para uma superfície K3 arbitrária. Nesse caso, a simetria de Hodge força , portanto . Para superfícies K3 na característica p > 0, isso foi mostrado pela primeira vez por Alexey Rudakov e Igor Shafarevich .${\ displaystyle H ^ {2} (X; \ mathbb {Z})}$${\ displaystyle H ^ {0} (X; \ Omega _ {X} ^ {2}) \ cong \ mathbb {C}}$${\ displaystyle H ^ {1} (X, \ Omega _ {X}) \ cong \ mathbb {C} ^ {20}}$
• Para uma superfície analítica K3 complexa X , a forma de interseção (ou produto da xícara ) em é uma forma bilinear simétrica com valores em inteiros, conhecida como rede K3 . Isso é isomórfico para a rede uniforme unimodular , ou equivalentemente , onde U é a rede hiperbólica de classificação 2 e é a rede E8 .${\ displaystyle H ^ {2} (X, \ mathbb {Z}) \ cong \ mathbb {Z} ^ {22}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {II} _ {3,19}}$${\ displaystyle E_ {8} (- 1) ^ {\ oplus 2} \ oplus U ^ {\ oplus 3}}$${\ displaystyle E_ {8}}$
• A conjectura 11/8 de Yukio Matsumoto prevê que toda variedade de 4 orientada suave X com forma de interseção par tem o segundo número de Betti pelo menos 11/8 vezes o valor absoluto da assinatura . Isso seria ótimo se verdadeiro, uma vez que a igualdade vale para uma superfície K3 complexa, que tem assinatura 3−19 = −16. A conjectura implicaria que toda variedade 4 lisa simplesmente conectada com forma de interseção uniforme é homeomórfica a uma soma conectada de cópias da superfície K3 e de .${\ displaystyle S ^ {2} \ times S ^ {2}}$
• Cada superfície complexa que é difeomórfica a uma superfície K3 é uma superfície K3, de Robert Friedman e John Morgan . Por outro lado, existem superfícies lisas complexas (algumas delas projetivas) que são homeomórficas, mas não difeomórficas a uma superfície K3, de Kodaira e Michael Freedman . Todas essas "superfícies homotópicas K3" têm a dimensão 1 de Kodaira.

Exemplos

• A dupla cobertura X do plano projetivo ramificado ao longo de uma curva sêxtica lisa (grau 6) é uma superfície K3 do gênero 2 (isto é, grau 2 g −2 = 2). (Esta terminologia significa que a imagem inversa em X de um hiperplano geral em é uma curva suave do gênero 2.)${\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {2}}$
• Uma superfície quártica lisa (grau 4) em é uma superfície K3 do gênero 3 (isto é, grau 4).${\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {3}}$
• Uma superfície de Kummer é o quociente de uma variedade abeliana bidimensional A pela ação . Isto resulta em 16 singularidades, nos pontos 2-torção de um . A resolução mínima dessa superfície singular também pode ser chamada de superfície de Kummer; essa resolução é uma superfície K3. Quando A é o Jacobiano de uma curva do gênero 2, Kummer mostrou que o quociente pode ser incorporado como uma superfície quártica com 16 nós .${\ displaystyle a \ mapsto -a}$${\ displaystyle A / (\ pm 1)}$${\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {3}}$
• Mais genericamente: para qualquer superfície quártica Y com singularidades du Val, a resolução mínima de Y é uma superfície K3 algébrica.
• A interseção de uma quádrica e uma cúbica em é uma superfície K3 do gênero 4 (ou seja, grau 6).${\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {4}}$
• A interseção de três quádricas em é uma superfície K3 do gênero 5 (ou seja, grau 8).${\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {5}}$
• Existem vários bancos de dados de superfícies K3 com singularidades du Val em espaços projetivos ponderados .

A treliça de Picard

O Picard grupo Pic ( X ) de um complexo analítico superfície K3 X significa o grupo abeliano de complexos feixes de linha analíticos sobre X . Para obter uma superfície K3 algébrico, Pic ( X ) significa o grupo de feixes de linha algébricas em X . As duas definições concordam em uma superfície K3 algébrica complexa, por Jean-Pierre Serre 's GAGA teorema.

O grupo de Picard de uma superfície K3 X é sempre um grupo abeliano livre finitamente gerado ; sua classificação é chamada de número de Picard . No caso complexo, Pic ( X ) é um subgrupo de . É uma característica importante das superfícies K3 que muitos números de Picard diferentes possam ocorrer. Para X, uma superfície K3 algébrica complexa, pode ser qualquer número inteiro entre 1 e 20. No caso analítico complexo, também pode ser zero. (Nesse caso, X não contém nenhuma curva complexa fechada. Em contraste, uma superfície algébrica sempre contém muitas famílias contínuas de curvas.) Sobre um campo algebraicamente fechado de característica p > 0, há uma classe especial de superfícies K3, supersingular Superfícies K3 , com Picard número 22. ${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle H ^ {2} (X, \ mathbb {Z}) \ cong \ mathbb {Z} ^ {22}}$${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle \ rho}$

A rede de Picard de uma superfície K3 significa o grupo abeliano Pic ( X ) junto com sua forma de interseção, uma forma bilinear simétrica com valores em inteiros. (Acima , a forma de interseção significa a restrição da forma de interseção . Em um campo geral, a forma de interseção pode ser definida usando a teoria de interseção das curvas em uma superfície, identificando o grupo de Picard com o grupo de classes divisórias .) O Picard a estrutura de uma superfície K3 é sempre par , o que significa que o inteiro é par para cada um . ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$${\ displaystyle H ^ {2} (X, \ mathbb {Z})}$${\ displaystyle u ^ {2}}$${\ displaystyle u \ in \ operatorname {Pic} (X)}$

O teorema do índice de Hodge implica que a rede de Picard de uma superfície algébrica K3 tem assinatura . Muitas propriedades de uma superfície K3 são determinadas por sua rede de Picard, como uma forma bilinear simétrica sobre os inteiros. Isso leva a uma forte conexão entre a teoria das superfícies K3 e a aritmética das formas bilineares simétricas. Como um primeiro exemplo dessa conexão: uma superfície K3 analítica complexa é algébrica se e somente se houver um elemento com . ${\ displaystyle (1, \ rho -1)}$${\ displaystyle u \ in \ operatorname {Pic} (X)}$${\ displaystyle u ^ {2}> 0}$

Grosso modo, o espaço de todas as superfícies K3 analíticas complexas tem dimensão complexa 20, enquanto o espaço das superfícies K3 com número de Picard tem dimensão (excluindo o caso supersingular). Em particular, as superfícies algébricas K3 ocorrem em famílias de 19 dimensões. Mais detalhes sobre espaços de módulos de superfícies K3 são fornecidos abaixo. ${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle 20- \ rho}$

A descrição precisa de quais redes podem ocorrer como redes de Picard de superfícies K3 é complicada. Uma declaração clara, devida a Viacheslav Nikulin e David Morrison , é que cada estrutura uniforme de assinatura com é a estrutura de Picard de alguma superfície K3 projetiva complexa. O espaço de tais superfícies tem dimensão . ${\ displaystyle (1, \ rho -1)}$${\ displaystyle \ rho \ leq 11}$${\ displaystyle 20- \ rho}$

Superfícies elípticas K3

Uma importante subclasse de superfícies K3, mais fáceis de analisar do que o caso geral, consiste nas superfícies K3 com uma fibração elíptica . "Elíptico" significa que quase todas as fibras desse morfismo são curvas suaves do gênero 1. As fibras singulares são uniões de curvas racionais , com os possíveis tipos de fibras singulares classificadas por Kodaira. Sempre existem algumas fibras singulares, pois a soma das características topológicas de Euler das fibras singulares é . Uma superfície elíptica K3 geral tem exatamente 24 fibras singulares, cada uma do tipo (uma curva cúbica nodal). ${\ displaystyle X \ to \ mathbf {P} ^ {1}}$${\ displaystyle \ chi (X) = 24}$${\ displaystyle I_ {1}}$

Se uma superfície K3 é elíptica, pode-se ler a partir de sua rede de Picard. Nomeadamente, na característica não 2 ou 3, uma superfície K3 X tem uma fibração elíptica se e somente se houver um elemento diferente de zero com . (Na característica 2 ou 3, a última condição também pode corresponder a uma fibrilação quase elíptica .) Segue-se que ter uma fibração elíptica é uma condição de codimensão-1 em uma superfície K3. Portanto, existem 19 famílias dimensionais de superfícies K3 analíticas complexas com uma fibração elíptica e espaços de módulos 18 dimensionais de superfícies K3 projetivas com uma fibração elíptica. ${\ displaystyle u \ in \ operatorname {Pic} (X)}$${\ displaystyle u ^ {2} = 0}$

Exemplo: Cada suavizar quártico superfície X em que contém uma linha de L tem um fibraç~ao elíptica , dada por que se projecta longe da L . O espaço dos módulos de todas as superfícies quárticas lisas (até o isomorfismo) tem dimensão 19, enquanto o subespaço das superfícies quárticas contendo uma linha tem dimensão 18. ${\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {3}}$${\ displaystyle X \ to \ mathbf {P} ^ {1}}$

Curvas racionais em superfícies K3

Em contraste com variedades com curvas positivas, como as superfícies del Pezzo, uma superfície K3 algébrica complexa X não é unilateral ; ou seja, não é coberto por uma família contínua de curvas racionais. Por outro lado, em contraste com variedades de curvas negativas, como superfícies de tipo geral, X contém um grande conjunto discreto de curvas racionais (possivelmente singulares). Em particular, Fedor Bogomolov e David Mumford mostraram que cada curva em X é linearmente equivalente a uma combinação linear positiva de curvas racionais.

Outro contraste com as variedades com curvas negativas é que a métrica Kobayashi em uma superfície analítica K3 complexa X é identicamente zero. A prova afirma que uma superfície K3 algébrica X é sempre coberta por uma família contínua de imagens de curvas elípticas. (Essas curvas são singulares em X , a menos que X seja uma superfície elíptica K3.) Uma questão mais forte que permanece em aberto é se cada superfície K3 complexa admite um mapa holomórfico não degenerado (onde "não degenerado" significa que a derivada do mapa é um isomorfismo em algum ponto). ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {2}}$

O mapa do período

Defina uma marcação de uma superfície analítica K3 complexa X como um isomorfismo de reticulados de para o reticulado K3 . O espaço N de superfícies K3 complexas marcadas é uma variedade complexa não- Hausdorff de dimensão 20. O conjunto de classes de isomorfismo de superfícies K3 analíticas complexas é o quociente de N pelo grupo ortogonal , mas este quociente não é um espaço de módulos geometricamente significativo, porque a ação de está longe de ser propriamente descontínua . (Por exemplo, o espaço de superfícies quárticas lisas é irredutível de dimensão 19, e ainda assim toda superfície K3 analítica complexa na família de 20 dimensões N tem deformações arbitrariamente pequenas que são isomórficas a quárticas lisas.) Pela mesma razão, não há um espaço de módulos significativo de toros complexos compactos de dimensão de pelo menos 2. ${\ displaystyle H ^ {2} (X, \ mathbb {Z})}$${\ displaystyle \ Lambda = E_ {8} (- 1) ^ {\ oplus 2} \ oplus U ^ {\ oplus 3}}$ ${\ displaystyle O (\ Lambda)}$${\ displaystyle O (\ Lambda)}$

O mapeamento do período envia uma superfície K3 para sua estrutura Hodge . Quando declarado cuidadosamente, o teorema de Torelli é válido: uma superfície K3 é determinada por sua estrutura de Hodge. O domínio do período é definido como a variedade complexa de 20 dimensões

${\ displaystyle D = \ {u \ in P (\ Lambda \ otimes \ mathbb {C}): u ^ {2} = 0, \, u \ cdot {\ overline {u}}> 0 \}.}$

O mapeamento do período envia uma superfície K3 marcada X para a linha complexa . Isso é sobrejetivo e um isomorfismo local, mas não um isomorfismo (em particular porque D é Hausdorff e N não é). No entanto, o teorema global de Torelli para superfícies K3 diz que o mapa de quociente de conjuntos ${\ displaystyle N \ a D}$${\ displaystyle H ^ {0} (X, \ Omega ^ {2}) \ subset H ^ {2} (X, \ mathbb {C}) \ cong \ Lambda \ otimes \ mathbb {C}}$

${\ displaystyle N / O (\ Lambda) \ to D / O (\ Lambda)}$

é bijetivo. Segue-se que duas superfícies K3 analíticas complexas X e Y são isomórficas se e somente se houver uma isometria de Hodge de a , ou seja, um isomorfismo de grupos abelianos que preserva a forma de interseção e envia para . ${\ displaystyle H ^ {2} (X, \ mathbb {Z})}$${\ displaystyle H ^ {2} (Y, \ mathbb {Z})}$${\ displaystyle H ^ {0} (X, \ Omega ^ {2}) \ subset H ^ {2} (X, \ mathbb {C})}$${\ displaystyle H ^ {0} (Y, \ Omega ^ {2})}$

Espaços de módulos de superfícies K3 projetivas

Uma superfície K3 polarizada X do gênero g é definida como uma superfície K3 projetiva junto com um amplo feixe de linhas L tal que L é primitivo (isto é, não 2 ou mais vezes outro feixe de linhas) e . Isso também é chamado de superfície K3 polarizada de grau 2 g −2. ${\ displaystyle c_ {1} (L) ^ {2} = 2g-2}$

Sob essas suposições, L é livre de ponto base . Na característica zero, o teorema de Bertini implica que existe uma curva suave C no sistema linear | L |. Todas essas curvas têm gênero g , o que explica por que ( X , L ) é dito ter gênero g .

O espaço vetorial das seções de L tem dimensão g + 1, e então L dá um morfismo de X para o espaço projetivo . Na maioria dos casos, esse morfismo é um embedding, de modo que X é isomórfico a uma superfície de grau 2 g −2 pol . ${\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {g}}$${\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {g}}$

Há um espaço irredutível de módulos grosseiros de superfícies K3 do complexo polarizado do gênero g para cada uma ; pode ser visto como um subconjunto aberto Zariski de uma variedade Shimura para o grupo SO (2,19) . Para cada g , é uma variedade complexa quase projetiva de dimensão 19. Shigeru Mukai mostrou que este espaço de módulos é uniracional se ou . Em contraste, Valery Gritsenko, Klaus Hulek e Gregory Sankaran mostraram que é do tipo geral se ou . Um levantamento desta área foi feito por Voisin (2008) . ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {g}}$${\ displaystyle g \ geq 2}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {g}}$${\ displaystyle g \ leq 13}$${\ displaystyle g = 18,20}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {g}}$${\ displaystyle g \ geq 63}$${\ displaystyle g = 47,51,55,58,59,61}$

Os diferentes espaços dos módulos 19-dimensionais se sobrepõem de uma maneira intrincada. De fato, há um conjunto infinito contável de subvariedades de codimensão-1 de cada uma correspondendo a superfícies K3 de número de Picard pelo menos 2. Essas superfícies K3 têm polarizações de infinitamente muitos graus diferentes, não apenas 2 g –2. Portanto, pode-se dizer que infinitamente muitos dos outros espaços de módulos se encontram . Isso é impreciso, uma vez que não existe um espaço bem comportado contendo todos os espaços dos módulos . No entanto, uma versão concreta dessa ideia é o fato de que quaisquer duas superfícies algébricas K3 complexas são equivalentes à deformação por meio de superfícies K3 algébricas. ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {g}}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {g}}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {h}}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {g}}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {g}}$

Mais geralmente, uma superfície K3 quasi-polarizada do gênero g significa uma superfície K3 projetiva com um nef primitivo e feixe de linha grande L tal que . Tal feixe de linhas ainda dá um morfismo a , mas agora pode contrair finitamente muitas (−2) -curvas, de modo que a imagem Y de X é singular. (A (−2) -curva em uma superfície significa uma curva isomórfica com autointerseção −2.) O espaço de módulos de superfícies K3 quasi-polarizadas do gênero g ainda é irredutível de dimensão 19 (contendo o espaço de módulos anterior como um subconjunto aberto). Formalmente, funciona melhor visualizá-lo como um espaço de módulos de superfícies K3 Y com singularidades du Val. ${\ displaystyle c_ {1} (L) ^ {2} = 2g-2}$${\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {g}}$${\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {1}}$

O amplo cone e o cone de curvas

Uma característica notável das superfícies algébricas K3 é que a rede de Picard determina muitas propriedades geométricas da superfície, incluindo o cone convexo de divisores amplos (até automorfismos da rede de Picard). O amplo cone é determinado pela rede de Picard como segue. Pelo teorema do índice de Hodge, a forma de interseção no espaço vetorial real tem assinatura . Segue-se que o conjunto de elementos de com autointerseção positiva tem dois componentes conectados . Chame o cone positiva o componente que contém qualquer um amplo divisor em X . ${\ displaystyle N ^ {1} (X): = \ operatorname {Pic} (X) \ otimes \ mathbb {R}}$${\ displaystyle (1, \ rho -1)}$${\ displaystyle N ^ {1} (X)}$

Caso 1: Não há elemento u de Pic ( X ) com . Então o cone amplo é igual ao cone positivo. Portanto, é o cone redondo padrão. ${\ displaystyle u ^ {2} = - 2}$

Caso 2: Caso contrário, vamos , o conjunto de raízes da rede de Picard. Os complementos ortogonais das raízes formam um conjunto de hiperplanos que passam todos pelo cone positivo. Então o cone amplo é um componente conectado do complemento desses hiperplanos no cone positivo. Quaisquer dois desses componentes são isomórficos através do grupo ortogonal da rede Pic ( X ), uma vez que contém a reflexão em cada hiperplano raiz. Nesse sentido, a rede de Picard determina o cone amplo até o isomorfismo. ${\ displaystyle \ Delta = \ {u \ in \ operatorname {Pic} (X): u ^ {2} = - 2 \}}$

Um comunicado relacionado, devido à Sándor Kovács, é que conhecer um divisor ampla A em Pic ( X ) determina todo o cone de curvas de X . Ou seja, suponha que X tenha o número de Picard . Se o conjunto de raízes estiver vazio, o cone de curvas fechado é o fechamento do cone positivo. Caso contrário, o cone fechado de curvas é o cone convexo fechado estendido por todos os elementos com . No primeiro caso, X não contém curvas (−2); no segundo caso, o cone fechado de curvas é o cone convexo fechado estendido por todas as (−2) -curvas. (Se houver uma outra possibilidade: o cone de curvas pode ser medido por uma (−2) -curva e uma curva com auto-intersecção 0.) Portanto, o cone de curvas é o cone redondo padrão, ou então tem "cantos agudos" (porque cada (-2) -curva abrange um raio externo isolado do cone das curvas). ${\ displaystyle \ rho \ geq 3}$${\ displaystyle \ Delta}$${\ displaystyle u \ in \ Delta}$${\ displaystyle A \ cdot u> 0}$${\ displaystyle \ rho = 2}$

Grupo de automorfismo

As superfícies K3 são um tanto incomuns entre as variedades algébricas, pois seus grupos de automorfismo podem ser infinitos, discretos e altamente não-fabianos. Por uma versão do teorema de Torelli, a rede de Picard de uma superfície K3 algébrica complexa X determina o grupo de automorfismo de X até a comensurabilidade . A saber, seja o grupo de Weyl W o subgrupo do grupo ortogonal O (Pic ( X )) gerado por reflexos no conjunto de raízes . Em seguida, W é um subgrupo normal de ó (Pic ( X )), e o grupo de automorphism X é comensurável com o grupo quociente O (Pic ( X )) / W . Uma afirmação relacionada, devido a Hans Sterk, é que Aut ( X ) atua no cone nef de X com um domínio fundamental poliédrico racional . ${\ displaystyle \ Delta}$

Relação com a dualidade das cordas

As superfícies K3 aparecem quase onipresente na dualidade das cordas e fornecem uma ferramenta importante para sua compreensão. As compactações de cordas nessas superfícies não são triviais, mas são simples o suficiente para analisar a maioria de suas propriedades em detalhes. A corda do tipo IIA, a corda do tipo IIB, a corda heterótica E ₈ × E _8, a corda heterótica Spin (32) / Z2 e a teoria M estão relacionadas por compactação em uma superfície K3. Por exemplo, a corda Tipo IIA compactada em uma superfície K3 é equivalente à corda heterótica compactada em um toro 4 ( Aspinwall (1996) ). erro harvtxt: sem alvo: CITEREFAspinwall1996 ( ajuda )

História

As superfícies quárticas foram estudadas por Ernst Kummer , Arthur Cayley , Friedrich Schur e outros geômetras do século XIX. De forma mais geral, Federigo Enriques observou em 1893 que para vários números g , existem superfícies de grau 2 g −2 com feixe canônico trivial e irregularidade zero. Em 1909, Enriques mostrou que tais superfícies existem para todos , e Francesco Severi mostrou que o espaço dos módulos de tais superfícies tem dimensão 19 para cada g . ${\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {3}}$${\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {g}}$${\ displaystyle g \ geq 3}$

André Weil (1958) deu às superfícies K3 seu nome (veja a citação acima) e fez várias conjecturas influentes sobre sua classificação. Kunihiko Kodaira completou a teoria básica por volta de 1960, em particular fazendo o primeiro estudo sistemático de superfícies K3 analíticas complexas que não são algébricas. Ele mostrou que quaisquer duas superfícies K3 analíticas complexas são equivalentes à deformação e, portanto, difeomórficas, o que era novo mesmo para superfícies K3 algébricas. Um importante avanço posterior foi a prova do teorema de Torelli para superfícies K3 algébricas complexas por Ilya Piatetski-Shapiro e Igor Shafarevich (1971), estendido a superfícies K3 analíticas complexas por Daniel Burns e Michael Rapoport (1975).

Veja também

• Superfície de Enriques
• Conjectura de Tate
• Mathieu moonshine , uma relação misteriosa entre as superfícies K3 e o grupo Mathieu M24 .

Notas

Referências

• Aspinwall, Paul (1997), "K3 surface and string duality", Fields, strings and duality (Boulder, CO, 1996) , World Scientific, pp. 421–540, arXiv : hep-th / 9611137 , MR  1479699
• Barth, Wolf P .; Hulek, Klaus ; Peters, Chris AM; Van de Ven, Antonius (2004) [1984], Compact complex surface , Springer , doi : 10.1007 / 978-3-642-57739-0 , ISBN 978-3-540-00832-3, MR  2030225
• Beauville, Arnaud (1983), "Surfaces K3", Seminário Bourbaki, Vol. 1982/83 Exp 609 , Astérisque, 105 , Paris: Société Mathématique de France , pp. 217-229, MR  0728990
• Beauville, A .; Bourguignon, J.-P. ; Demazure, M. (1985), Géométrie des surface K3: modules et périodes, Séminaire Palaiseau , Astérisque, 126 , Paris: Société Mathématique de France , MR  0785216
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• Burns, Daniel; Rapoport, Michael (1975), "On the Torelli problem for kählerian K-3 surface" , Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , Série 4, 8 (2): 235-273, doi : 10.24033 / asens.1287 , MR  0447635
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links externos

• Página inicial do banco de dados Graded Ring para um catálogo de superfícies K3
• Banco de dados K3 para o sistema de álgebra computacional Magma
• A geometria das superfícies K3 , palestras de David Morrison (1988).