Shing-Tung Yau - Shing-Tung Yau

Shing-Tung Yau
Nascer	( 04/04/1949 )4 de abril de 1949 (72 anos) Shantou , Guangdong , China
Nacionalidade	Estados Unidos (desde 1990)
Alma mater	Universidade Chinesa de Hong Kong (BA 1969) Universidade da Califórnia, Berkeley (Ph.D. 1971)
Conhecido por	Conjectura de Calabi Variedade de Calabi – Yau Teorema da energia positiva SYZ conjectura de Yau Conjectura de Yau sobre o primeiro autovalor Conjectura de Bogomolov – Miyaoka – Yau Desigualdade de Donaldson – Uhlenbeck – Yau Teorema de Yau – Tian – Donaldson Conjectura de Schoen – Yau
Cônjuge (s)	Yu-yun Kuo
Crianças	2
Prêmios	Prêmio John J. Carty (1981) Prêmio Veblen (1981) Medalha Fields (1982) Prêmio Crafoord (1994) Medalha Nacional de Ciência (1997) Prêmio Wolf (2010)
Carreira científica
Campos	Matemática
Instituições	Harvard University Stanford University Instituto de Estudos Avançados da Stony Brook University University of California, San Diego
Orientador de doutorado	Shiing-Shen Chern
Alunos de doutorado	Richard Schoen (Stanford, 1977) Robert Bartnik (Princeton, 1983) Mark Stern (Princeton, 1984) Huai-Dong Cao (Princeton, 1986) Gang Tian (Harvard, 1988) Jun Li (Stanford, 1989) Lizhen Ji (Northeastern, 1991) ) Kefeng Liu (Harvard, 1993) Mu-Tao Wang (Harvard, 1998) Chiu-Chu Melissa Liu (Harvard, 2002)

Shing-Tung Yau ( / j aʊ / ; chinês :丘成桐; pinyin : Qiū Chéngtóng ; nascido em 4 de abril de 1949) é um matemático americano e professor de matemática William Caspar Graustein na Universidade de Harvard .

Yau nasceu em Shantou , China, mudou-se para Hong Kong ainda jovem e para os Estados Unidos em 1969. Ele recebeu a Medalha Fields em 1982, em reconhecimento por suas contribuições para as equações diferenciais parciais , a conjectura de Calabi , o positivo teorema da energia e a equação de Monge-Ampère . Yau é considerado um dos maiores contribuintes para o desenvolvimento da geometria diferencial moderna e da análise geométrica . O impacto do trabalho de Yau pode ser visto nos campos matemáticos e físicos da geometria diferencial, equações diferenciais parciais , geometria convexa , geometria algébrica , geometria enumerativa , simetria de espelho , relatividade geral e teoria das cordas , enquanto seu trabalho também abordou matemática aplicada , engenharia e análise numérica .

Biografia

Yau nasceu em Shantou , Guangdong , China, com ascendência Hakka no condado de Jiaoling . Ele tem sete irmãos, incluindo Stephen Shing-Toung Yau , também matemático. Quando ele tinha apenas alguns meses de idade, sua família mudou-se para Hong Kong .

O pai de Yau, Yau Chenying, era um professor de filosofia patriótica chinesa que trabalhou contra os invasores japoneses. Sob a influência de seu pai, Yau adquiriu amplo conhecimento da literatura e história chinesa clássica, o que resultou em um ensaio Sobre Matemática e Literatura Chinesa (數學 和 中國 文學 的 比較), com referência a Sonho da Câmara Vermelha e Wang Guowei , explicando a relação estrutural entre matemática e literatura chinesa, publicada em 2006. Sua mãe veio do Condado de Mei .

Depois de se formar na Pui Ching Middle School , ele estudou matemática na Chinese University of Hong Kong de 1966 a 1969. Yau foi para a University of California, Berkeley no outono de 1969, onde recebeu seu Ph.D. em matemática dois anos depois, sob a supervisão de Shiing-Shen Chern . Ele passou um ano como membro do Institute for Advanced Study em Princeton antes de ingressar na Stony Brook University , em 1972, como professor assistente. Em 1974, ele se tornou professor associado da Universidade de Stanford .

Em 1978, Yau tornou-se "apátrida" depois que o Consulado Britânico revogou sua residência em Hong Kong devido ao seu status de residência permanente nos Estados Unidos . Quanto ao seu status ao receber a Medalha Fields em 1982, Yau declarou: "Tenho orgulho de dizer que quando recebi a Medalha Fields em matemática, não tinha passaporte de nenhum país e certamente deveria ser considerado chinês". Yau permaneceu "apátrida" até 1990, quando obteve a cidadania dos Estados Unidos.

De 1984 a 1987, ele trabalhou na Universidade da Califórnia, San Diego . Desde 1987, ele está na Universidade de Harvard .

Contribuições técnicas para a matemática

Yau contribuiu para o desenvolvimento da geometria diferencial moderna e da análise geométrica . Conforme dito por William Thurston em 1981:

Raramente tivemos a oportunidade de presenciar o espetáculo do trabalho de um matemático afetando, em um curto espaço de anos, a direção de áreas inteiras de pesquisa. No campo da geometria, um dos exemplos mais notáveis ​​de tal ocorrência durante a última década é dado pelas contribuições de Shing-Tung Yau.

A conjectura de Calabi

Em 1978, ao estudar a complexa equação de Monge-Ampère , Yau resolveu a conjectura de Calabi , que havia sido apresentada por Eugenio Calabi em 1954. Isso mostrou que as métricas Kähler-Einstein existem em qualquer variedade Kähler fechada cuja primeira classe Chern é não positiva. O método de Yau baseou-se na descoberta de adaptações apropriadas de trabalhos anteriores de Calabi, Jürgen Moser e Aleksei Pogorelov , desenvolvido para equações diferenciais parciais elípticas quasilineares e a equação real de Monge-Ampère , para a configuração da equação complexa de Monge-Ampère.

Na geometria diferencial , o teorema de Yau é significativo em provar a existência geral de variedades fechadas de holonomia especial ; qualquer variedade de Kähler fechada de conexão simples que seja plana de Ricci deve ter seu grupo de holonomia contido no grupo unitário especial , de acordo com o teorema de Ambrose-Singer . Exemplos de variedades Riemannianas compactas com outros grupos especiais de holonomia foram encontrados por Dominic Joyce e Peter Kronheimer , embora nenhuma proposta para resultados de existência geral, análoga à conjectura de Calabi, tenha sido identificada com sucesso no caso dos outros grupos.

Na geometria algébrica , a existência de métricas canônicas propostas por Calabi permite dar representantes igualmente canônicos de classes características por formas diferenciais . Devido aos esforços iniciais de Yau em refutar a conjectura de Calabi, mostrando que isso levaria a contradições em tais contextos, ele foi capaz de desenhar corolários impressionantes para seu teorema primário. Em particular, a conjectura de Calabi implica a desigualdade Miyaoka-Yau nos números de superfícies de Chern , bem como caracterizações homotópicas das estruturas complexas do plano projetivo complexo e dos quocientes da esfera unitária complexa bidimensional .

Na teoria das cordas , foi descoberto em 1985 por Philip Candelas , Gary Horowitz , Andrew Strominger e Edward Witten que as variedades de Calabi-Yau, devido à sua holonomia especial, são os espaços de configuração apropriados para as supercordas. Por esse motivo, o teorema da existência de Yau para as variedades de Calabi-Yau é considerado de fundamental importância na moderna teoria das cordas.

Curvatura escalar e teorema da energia positiva

O teorema da energia positiva, obtido por Yau em colaboração com seu ex-aluno de doutorado Richard Schoen , é frequentemente descrito em termos físicos:

Na teoria da relatividade geral de Einstein , a energia gravitacional de um sistema físico isolado não é negativa.

No entanto, é um teorema preciso da geometria diferencial e da análise geométrica . A abordagem de Schoen e Yau é baseada em seu estudo das variedades Riemannianas de curvatura escalar positiva, que são consideradas de interesse por si mesmas.

Schoen e Yau identificaram uma maneira simples, mas nova de inserir as equações de Gauss-Codazzi na fórmula de segunda variação para a área de uma hipersuperfície mínima estável de uma variedade Riemanniana tridimensional, que pelo teorema de Gauss-Bonnet restringe altamente a possível topologia de tal superfície quando a variedade 3 tem curvatura escalar positiva.

Schoen e Yau exploraram essa observação descobrindo novas construções de hipersuperfícies mínimas estáveis ​​com várias propriedades controladas. Alguns dos resultados de sua existência foram desenvolvidos simultaneamente com resultados renomados de Jonathan Sacks e Karen Uhlenbeck . Seu resultado mais conhecido está na configuração de certos conjuntos de dados iniciais assintoticamente planos na relatividade geral , onde eles mostraram que a negatividade da massa permitiria invocar o problema do Platô para construir superfícies mínimas estáveis ​​cuja topologia é contradita por uma extensão de sua observação original sobre o teorema de Gauss-Bonnet. Essa contradição provou ser uma formulação Riemanniana do teorema da massa positiva na relatividade geral.

Schoen e Yau estenderam isso para a formulação Lorentziana padrão do teorema da massa positiva estudando uma equação diferencial parcial proposta por Pong-Soo Jang. Eles provaram que as soluções para a equação de Jang existem fora dos horizontes aparentes dos buracos negros, nos quais as soluções podem divergir até o infinito. Ao relacionar a geometria de um conjunto de dados inicial Lorentziano com a geometria do gráfico de uma solução para a equação de Jang, interpretada como um conjunto de dados inicial Riemanniano, Schoen e Yau reduziram a formulação Lorentziana geral do teorema da massa positiva ao seu previamente provado Formulação Riemanniana.

Devido ao uso do teorema de Gauss-Bonnet, esses resultados foram originalmente restritos ao caso de variedades Riemannianas tridimensionais e variedades Lorentzianas quadridimensionais. Schoen e Yau estabeleceram uma indução na dimensão construindo métricas Riemannianas de curvatura escalar positiva em hipersuperfícies mínimas de variedades Riemannianas que têm curvatura escalar positiva. Essas hipersuperfícies mínimas, que foram construídas por meio da teoria da medida geométrica por Frederick Almgren e Herbert Federer , geralmente não são suaves em grandes dimensões, de modo que esses métodos só se aplicam diretamente a variedades Riemannianas de dimensão inferior a oito. Em 2017, Schoen e Yau publicaram um preprint pretendendo resolver essas dificuldades, comprovando assim a indução sem restrição dimensional e verificando o teorema de massa positiva de Riemann em dimensão arbitrária.

O princípio máximo de Omori-Yau

Em 1975, Yau estendeu parcialmente um resultado de Hideki Omori que permite a aplicação do princípio do máximo em espaços não compactos, onde os máximos não são garantidos.

Seja ( M , g ) uma variedade Riemanniana completa e suave cuja curvatura de Ricci é limitada abaixo, e seja u uma função C ² em M que é limitada acima. Então existe uma sequência p _k em M tal que

${\ displaystyle \ lim _ {k \ to \ infty} u (p_ {k}) = \ sup _ {M} u, \ qquad \ lim _ {k \ to \ infty} {\ big |} du (p_ { k}) {\ big |} _ {g} \ to 0, \ qquad \ limsup _ {k \ to \ infty} \ Delta ^ {g} u (p_ {k}) \ leq 0.}$

A formulação de Omori exigia a suposição mais restritiva de que as curvaturas seccionais de g são delimitadas abaixo por uma constante, embora permitisse uma conclusão mais forte, na qual o laplaciano de u pode ser substituído por seu hessiano.

Uma aplicação direta do princípio Omori-Yau, publicado em 1978, fornece a generalização de Yau do clássico lema de Schwarz da análise complexa.

Cheng e Yau mostraram que a suposição da curvatura de Ricci no princípio máximo de Omori-Yau pode ser substituída pela suposição da existência de funções de corte suaves de certa geometria controlável. Usando isso como a principal ferramenta para estender parte do trabalho de Yau em provar a conjectura de Calabi, eles foram capazes de construir análogos geométricos complexos para o modelo da bola de Poincaré do espaço hiperbólico . Em particular, eles mostraram que métricas Kähler-Einstein completas de curvatura escalar negativa existem em qualquer subconjunto limitado, suave e estritamente pseudoconvexo de um espaço vetorial complexo de dimensão finita.

Desigualdades diferenciais de Harnack

No artigo de Yau sobre o princípio do máximo de Omori-Yau, sua aplicação principal foi estabelecer estimativas de gradiente para várias equações diferenciais parciais elípticas de segunda ordem . Dada uma variedade Riemanniana completa e suave ( M , g ) e uma função f em M que satisfaça uma condição relacionando Δ f a f e df , Yau aplicou o princípio do máximo a expressões como

${\ displaystyle u = {\ frac {f + c_ {1}} {\ sqrt {| df | _ {g} ^ {2} + c_ {2}}}}}$

para mostrar que u deve ser limitado abaixo por uma constante positiva. Tal conclusão equivale a um limite superior no tamanho do gradiente de log ( f + c ₁ ) .

Essas novas estimativas passaram a ser chamadas de "desigualdades diferenciais de Harnack", uma vez que podem ser integradas ao longo de caminhos arbitrários em M para recuperar desigualdades que têm a forma das clássicas desigualdades de Harnack , comparando diretamente os valores de uma solução para uma equação diferencial em dois diferentes pontos de entrada.

Fazendo uso do estudo de Calabi da função de distância em uma variedade Riemanniana, Yau e Shiu-Yuen Cheng deram uma localização poderosa das estimativas de gradiente de Yau, usando os mesmos métodos para simplificar a prova do princípio máximo de Omori-Yau. Tais estimativas são amplamente citadas no caso particular de funções harmônicas em uma variedade Riemanniana, embora os resultados originais de Yau e Cheng-Yau cubram cenários mais gerais.

Em 1986, Yau e Peter Li fizeram uso dos mesmos métodos para estudar equações diferenciais parciais parabólicas em variedades Riemannianas. Richard Hamilton generalizou seus resultados em certas configurações geométricas para desigualdades matriciais. Análogos das desigualdades de Li-Yau e Hamilton-Li-Yau são de grande importância na teoria do fluxo de Ricci , onde Hamilton provou uma desigualdade de Harnack diferencial de matriz para o operador de curvatura de certos fluxos de Ricci, e Grigori Perelman provou uma desigualdade de Harnack diferencial para as soluções de uma equação de calor reversa juntamente com um fluxo de Ricci.

Curiosamente, Cheng e Yau foram capazes de usar suas estimativas diferenciais de Harnack para mostrar que, sob certas condições geométricas, subvariedades fechadas de espaços Riemannianos completos ou pseudo-Riemannianos são eles próprios completos. Por exemplo, eles mostraram que se M é uma hipersuperfície semelhante a um espaço do espaço de Minkowski que é topologicamente fechada e tem curvatura média constante, então a métrica Riemanniana induzida em M está completa. Analogamente, eles mostraram que se M é uma hiperesfera afim de espaço afim que é topologicamente fechada, então a métrica afim induzida em M está completa. Esses resultados são obtidos derivando uma desigualdade de Harnack diferencial para a função de distância (ao quadrado) até um determinado ponto e integrando ao longo de caminhos intrinsecamente definidos.

Teorema de Donaldson-Uhlenbeck-Yau

Em 1985, Simon Donaldson mostrou que se M é uma variedade projetiva não singular de dimensão complexa dois, então um pacote vetorial holomórfico sobre M admite uma conexão hermitiana Yang-Mills se e somente se o pacote for estável. Um resultado de Yau e Karen Uhlenbeck generalizou o resultado de Donaldson para permitir que M seja uma variedade Kähler compacta de qualquer dimensão. O método Uhlenbeck-Yau baseou-se em equações diferenciais parciais elípticas enquanto Donaldson usou equações diferenciais parciais parabólicas, aproximadamente em paralelo ao trabalho epocal de Eells e Sampson em mapas harmônicos .

Os resultados de Donaldson e Uhlenbeck-Yau foram estendidos por outros autores. O artigo de Uhlenbeck e Yau é importante para dar uma razão clara de que a estabilidade do pacote vetorial holomórfico pode estar relacionada aos métodos analíticos usados ​​na construção de uma conexão hermitiana Yang-Mills. O mecanismo essencial é que, se uma sequência aproximada de conexões hermitianas falhar em convergir para a conexão Yang-Mills necessária, então elas podem ser redimensionadas para convergir para uma subespha que pode ser verificada como desestabilizadora pela teoria de Chern-Weil .

O teorema de Donaldson-Uhlenbeck-Yau, relacionando a existência de soluções de uma equação diferencial parcial geométrica com estabilidade algebro-geométrica, pode ser visto como um precursor da última conjectura de Yau-Tian-Donaldson, discutida abaixo.

Problemas variacionais geométricos

Em 1982, Li e Yau provaram a seguinte declaração:

Seja f  : M → S ³ uma imersão suave que não é uma imersão. Se S ³ recebe sua métrica Riemanniana padrão e M é uma superfície bidimensional lisa fechada, então

${\ displaystyle \ int _ {M} H ^ {2} \, d \ mu \ geq 8 \ pi}$

onde H é a curvatura média de f e dμ é a forma de volume de Riemannian induzida em H .

Isso é complementado por um resultado de 2012 de Fernando Marques e André Neves , que diz que no caso alternativo que f é uma incorporação suave de S ¹ × S ¹ , então a conclusão é válida com 8π substituído por 2π ² . Juntos, esses resultados compõem a conjectura de Willmore , originalmente formulada por Thomas Willmore em 1965.

Embora suas suposições e conclusões sejam semelhantes, os métodos de Li-Yau e Marques-Neves são distintos. Marques e Neves fizeram um novo uso da teoria min-max de Almgren-Pitts da teoria da medida geométrica . Li e Yau introduziram um novo "invariante conforme": dada uma variedade Riemanniana ( M , g ) e um inteiro positivo n , eles definem

${\ displaystyle V_ {c} {\ big (} (M, g), n {\ big)} = \ inf _ {f: M \ a S ^ {n}} \ left \ {\ sup _ {F: S ^ {n} \ para S ^ {n}} {\ Big \ {} \ int _ {M} {\ big |} d (F \ circ \ varphi) {\ big |} ^ {2} \, d \ mu _ {g}: F {\ text {um difeomorfismo conformal}} {\ Grande \}}: f {\ text {conformal}} \ right \}.}$

O principal trabalho de seu artigo é relacionar sua invariante conforme a outras grandezas geométricas. É interessante que, apesar da independência lógica das provas de Li-Yau e Marques-Neves, ambas contam com esquemas minimax conceitualmente semelhantes.

Meeks e Yau produziram alguns resultados fundamentais em superfícies mínimas em variedades tridimensionais, revisitando pontos deixados em aberto por trabalhos mais antigos de Jesse Douglas e Charles Morrey . Seguindo essas bases, Meeks, Simon e Yau deram uma série de resultados fundamentais em superfícies em variedades Riemannianas tridimensionais que minimizam a área dentro de sua classe de homologia. Eles foram capazes de dar uma série de aplicações surpreendentes. Por exemplo:

Se H é um orientável 3-colector de tal modo que cada smooth incorporado 2-esfera é a fronteira de uma regi difeomórfico de uma bola aberta em ℝ ³ , em seguida, o mesmo é verdadeiro para qualquer espaço que cobre de M .

Curiosamente, o artigo de Meeks-Simon-Yau e o artigo fundamental de Hamilton sobre o fluxo de Ricci , publicado no mesmo ano, têm um resultado em comum: qualquer variedade Riemanniana tridimensional compacta conectada de forma simples com curvatura de Ricci positiva é difeomórfica para a esfera tridimensional.

Teoremas de rigidez geométrica

O seguinte é um resultado bem conhecido, conhecido como problema de Bernstein :

Seja u uma função com valor real em ℝ ⁿ . Suponha que o gráfico de u tenha curvatura média evanescente como uma hipersuperfície de ℝ ^{n +1} . Se n for menor que nove, isso implica que u é da forma u ( x ) = a ⋅ x + b , enquanto essa implicação não é válida se n for maior ou igual a nove.

O ponto chave da prova é a inexistência de hipersuperfícies cônicas e não planas estáveis ​​de espaços euclidianos de baixa dimensão; essa foi uma prova simples de Schoen, Leon Simon e Yau. Dada a dimensão de "limiar" de nove no resultado acima, é um fato um tanto surpreendente, devido a Cheng e Yau, que não haja restrição dimensional na versão Lorentziana:

Seja u uma função com valor real em ℝ ⁿ . Suponha que o gráfico de u seja uma hipersuperfície semelhante a um espaço do espaço de Minkowski ℝ ^{n , 1} que tem curvatura média evanescente. Então u tem a forma u ( x ) = a ⋅ x + b .

A prova deles faz uso das técnicas de princípio máximo que eles usaram anteriormente para provar estimativas diferenciais de Harnack. Em um artigo publicado em 1986, eles fizeram uso de técnicas semelhantes para dar uma nova prova da classificação de hiperesferas parabólicas ou elípticas afins completas.

Ao adaptar o método de Jürgen Moser de provar as desigualdades de Caccioppoli, Yau provou novos resultados de rigidez para funções em variedades Riemannianas completas, por exemplo, mostrando que se u é uma função suave e positiva em uma variedade Riemanniana completa, então ∆ u ≥ 0 junto com o L ^p integrabilidade de u implica que u deve ser constante. Da mesma forma, em uma variedade de Kähler completa, toda função holomórfica de valor complexo que é L ^p -integrável deve ser constante.

Por meio de uma extensão da identidade diferencial de Hermann Weyl usada na solução do problema de incorporação isométrica de Weyl, Cheng e Yau produziram novos teoremas de rigidez caracterizando hipersuperfícies de formas espaciais por sua geometria intrínseca.

O artigo de Yau de 1974, de acordo com a revisão de Robert Osserman , contém uma "variedade surpreendente" de resultados em subvariedades de formas espaciais que têm vetor de curvatura média de comprimento constante ou paralelo. Os principais resultados são na redução da codimensão.

A verdadeira equação Monge-Ampère

Em 1953, Louis Nirenberg deu a solução para o problema bidimensional de Minkowski da geometria diferencial clássica. Em 1976 e 1977, Cheng e Yau deram soluções para o problema de Minkowski multidimensional e o problema do valor de contorno para a equação de Monge-Ampère . A solução da equação de Monge-Ampère fez uso do problema de Minkowski, via transformada de Legendre , a observação sendo que a transformada de Legendre de uma solução da equação de Monge-Ampère tem a curvatura gaussiana de seu gráfico prescrita por uma fórmula simples dependendo do " lado direito "da equação de Monge – Ampère. Essa abordagem não é mais comumente vista na literatura sobre a equação de Monge-Ampère, que tende a se basear em métodos mais diretos e puramente analíticos. No entanto, os artigos de Cheng e Yau foram os primeiros resultados publicados que deram uma solução completa para esses resultados; na forma esquemática, eles seguiram o trabalho anterior de Aleksei Pogorelov , embora seus trabalhos publicados tenham falhado em abordar alguns detalhes técnicos significativos.

Simetria de espelho

Um "coletor de Calabi-Yau" refere-se a um coletor de Kähler compacto que é plano de Ricci; de acordo com a verificação de Yau da conjectura de Calabi, sabe-se da existência de tais variedades. A simetria de espelho, que é uma proposta dos físicos a partir do final dos anos 80, postula que variedades de Calabi-Yau de dimensão complexa 3 podem ser agrupadas em pares que compartilham características, como os números de Euler e Hodge. Com base nesse quadro conjectural, os físicos Philip Candelas , Xenia de la Ossa , Paul Green e Linda Parkes propuseram uma fórmula de geometria enumerativa que, dado qualquer inteiro positivo d , codifica o número de curvas racionais de grau d em uma hipersuperfície quântica geral do espaço projetivo complexo quadridimensional. Bong Lian, Kefeng Liu e Yau deram uma prova rigorosa de que essa fórmula é válida. Alexander Givental já havia dado uma prova das fórmulas do espelho; de acordo com Lian, Liu e Yau, os detalhes de sua prova só foram preenchidos com sucesso após sua própria publicação.

As abordagens de Givental e de Lian-Liu-Yau são formalmente independentes da imagem conjectural de se as variedades tridimensionais de Calabi-Yau podem de fato ser agrupadas como os físicos afirmam. Com Andrew Strominger e Eric Zaslow , Yau propôs uma imagem geométrica de como esse agrupamento pode ser sistematicamente compreendido. A ideia essencial é que uma variedade de Calabi-Yau com dimensão complexa três deve ser foliada por tori "Lagrangianos especiais", que são certos tipos de subvariedades mínimas tridimensionais da variedade Riemanniana de seis dimensões subjacente à estrutura de Calabi-Yau. Dada uma variedade de Calabi-Yau tridimensional, constrói-se seu "espelho" olhando sua foliação de toro, dualizando cada toro e reconstruindo a variedade de Calabi-Yau tridimensional, que agora terá uma nova estrutura.

A proposta Strominger-Yau-Zaslow (SYZ), embora não seja afirmada com muita precisão, é agora entendida como excessivamente otimista. Deve-se permitir várias degenerações e singularidades; mesmo assim, ainda não existe uma única forma precisa da conjectura SYZ. No entanto, sua imagem conceitual foi enormemente influente no estudo da simetria do espelho, e a pesquisa em suas várias facetas é atualmente um campo ativo. Pode ser contrastada com uma alternativa (e igualmente influente) proposta de Maxim Kontsevich conhecida como simetria de espelho homológica , que lida com estruturas puramente algébricas.

Geometria espectral

Dada uma variedade Riemanniana compacta e suave, com ou sem fronteira, a geometria espectral estuda os autovalores do operador Laplace-Beltrami , que no caso de a variedade ter uma fronteira é acoplada com uma escolha de condição de contorno, geralmente condições de Dirichlet ou Neumann. Paul Yang e Yau mostraram que, no caso de uma variedade bidimensional sem limite, o primeiro autovalor é delimitado acima por uma fórmula explícita dependendo apenas do gênero e do volume da variedade.

Hermann Weyl , na década de 1910, mostrou que no caso das condições de contorno de Dirichlet em um subconjunto aberto suave e limitado do plano, os autovalores têm um comportamento assintótico que é ditado inteiramente pela área contida na região. Em 1960, George Pólya conjecturou que o comportamento de Weyl dá o controle de cada autovalor individual, e não apenas de sua distribuição assintótica. Li e Yau, em 1983, provaram ser uma versão enfraquecida controlando a média dos primeiros k autovalores para k arbitrário . Até o momento, a conjectura não calculada da Polya permanece em aberto.

O artigo de Li e Yau de 1980 deu uma série de desigualdades para autovalores (para ambos os tipos padrão de condições de contorno, além do caso sem fronteira), todas baseadas no princípio do máximo e nas estimativas diferenciais pontuais de Harnack, introduzidas cinco anos antes por Yau e por Cheng -Yau.

Formulação de conjecturas

Yau compilou conjuntos influentes de problemas abertos em geometria diferencial , incluindo conjecturas antigas e bem conhecidas com novas propostas e problemas. Duas das listas de problemas mais citadas de Yau da década de 1980 foram atualizadas com notas sobre o progresso recente de 2014.

Provando a conjectura de geometrização via fluxo de Ricci

Em 1982, William Thurston publicou sua conjectura de geometrização renomada , afirmando que em uma variedade 3 fechada arbitrária, pode-se encontrar esferas bidimensionais embutidas e toros que desconectam a variedade 3 em pedaços que admitem estruturas "geométricas" uniformes. No mesmo ano, Richard Hamilton publicou seu trabalho de época sobre o fluxo de Ricci , usando um teorema de convergência para uma equação diferencial parcial parabólica para provar que certas estruturas geométricas não uniformes em 3 variedades podem ser deformadas em estruturas geométricas uniformes.

Embora seja frequentemente atribuído a Hamilton, ele observou que Yau é responsável pelo insight de que um entendimento preciso da falha de convergência para a equação diferencial de Hamilton poderia ser suficiente para provar a existência das esferas e toros relevantes na conjectura de Thurston. Essa percepção estimulou novas pesquisas de Hamilton na década de 1990 sobre as singularidades do fluxo de Ricci e culminou com as pré-impressões de Grigori Perelman sobre o problema em 2002 e 2003. A conjectura da geometrização é agora comumente reconhecida como tendo sido resolvida através do trabalho de Hamilton e Perelman .

Existência de hipersuperfícies mínimas

Em 1981, a teoria mín-máx de Almgren-Pitts na teoria da medida geométrica foi usada para provar a existência de pelo menos uma hipersuperfície mínima de qualquer variedade Riemanniana tridimensional lisa fechada. Yau, em 1982, conjeturou que infinitamente muitas dessas hipersuperfícies imersas devem sempre existir. Kei Irie, Fernando Codá Marques e André Neves resolveram esse problema, para variedades de dimensão três a sete, no caso genérico . Mais tarde, Antoine Song lançou um preprint (ainda não publicado) alegando que a conjectura de Yau se mantém sem a suposição de genericidade no mesmo intervalo de dimensão.

Métricas Kähler-Einstein e estabilidade de variedades complexas

A solução de Yau da conjectura de Calabi deu uma resposta essencialmente completa à questão de como as métricas Kähler em variedades complexas de primeira classe Chern não positiva podem ser deformadas em métricas Kähler-Einstein. Akito Futaki mostrou que a existência de campos vetoriais holomórficos pode atuar como uma obstrução à extensão desses resultados para o caso em que a variedade complexa possui primeira classe de Chern positiva. Uma proposta de Calabi, aparecendo na "seção Problema" de Yau, era que as métricas Kähler-Einstein existissem em qualquer variedade Kähler compacta com primeira classe Chern positiva que não admitisse campos vetoriais holomórficos. Durante a década de 1980, Yau passou a acreditar que esse critério não seria suficiente, e que a existência de métricas Kähler-Einstein neste cenário deve estar ligada à estabilidade da variedade complexa no sentido da teoria invariante geométrica . O entendimento de Yau sobre essa questão foi atualizado na publicação dos anos 1990 "Problemas abertos na geometria". Pesquisas subsequentes de Gang Tian e Simon Donaldson refinaram essa conjectura, que ficou conhecida como a "conjectura de Yau-Tian-Donaldson". O problema foi resolvido em 2015 devido a Xiuxiong Chen , Donaldson e Song Sun , que receberam o prêmio Oswald Veblen por seu trabalho.

Conjuntos nodais de autofunções

Em 1980, Yau conjecturou que em uma variedade Riemanniana fechada suave, o tamanho do conjunto zero de autofunções do Laplaciano cresceria a uma taxa de preço de acordo com o tamanho do autovalor. Após uma série de resultados parciais, a conjectura foi resolvida em 2018 por Alexander Logunov e Eugenia Malinnikova , que receberam o prêmio de pesquisa Clay em parte por seu trabalho.

Outro

Outras contribuições importantes de Yau incluem a resolução da conjectura de Frankel com Yum-Tong Siu (uma solução mais geral devido a Shigefumi Mori e uma extensão devido a Ngaiming Mok ), trabalho com William Meeks sobre a imersão e equivariância de soluções do problema do Platô (que se tornou uma parte fundamental da solução da conjectura de Smith em topologia geométrica ), extensões parciais da conjectura de Calabi para configurações não compactas com Gang Tian e um estudo da existência de grandes esferas de curvatura média constante em variedades Riemannianas assintoticamente planas com Gerhard Huisken .

Algumas das contribuições notáveis ​​mais recentes de Yau incluem o trabalho com Ji-Xiang Fu e Jun Li no sistema Strominger , trabalho com Yong Lin na curvatura de gráficos de Ricci, trabalho com Kefeng Liu e Xiaofeng Sun na geometria do espaço de módulos das superfícies de Riemann , trabalhe com Dario Martelli e James Sparks nas métricas de Sasaki-Einstein , e trabalhe com Mu-Tao Wang em quantidades conservadas na relatividade geral .

Iniciativas na China Continental e Taiwan

Depois que a China entrou na era de reforma e abertura , Yau revisitou a China em 1979 a convite de Hua Luogeng .

Para ajudar a desenvolver a matemática chinesa, Yau começou educando alunos da China. Ele então começou a estabelecer institutos e centros de pesquisa matemática, organizando conferências em todos os níveis, iniciando programas de alcance externo e levantando fundos privados para esses fins. John Coates comentou sobre o sucesso de Yau como arrecadador de fundos. A primeira das iniciativas de Yau é o Instituto de Ciências Matemáticas da Universidade Chinesa de Hong Kong em 1993. O objetivo é "organizar atividades relacionadas a uma ampla variedade de campos, incluindo matemática pura e aplicada, computação científica , processamento de imagens , física matemática e estatísticas . A ênfase está na interação e ligações com as ciências físicas , engenharia , indústria e comércio . "

A segunda grande iniciativa de Yau é o Centro de Matemática Morningside em Pequim, estabelecido em 1996. Parte do dinheiro para a construção e operações regulares foi levantada por Yau da Fundação Morningside em Hong Kong. Yau também propôs organizar o Congresso Internacional de Matemáticos Chineses, que agora é realizado a cada três anos. O primeiro congresso foi realizado no Morningside Center de 12 a 18 de dezembro de 1998.

Sua terceira iniciativa é o Centro de Ciências Matemáticas da Universidade de Zhejiang , estabelecido em 2002. Yau é o diretor de todos os três institutos de matemática e os visita regularmente.

Yau foi a Taiwan para participar de uma conferência em 1985. Em 1990, ele foi convidado por Liu Chao-shiuan , então presidente da National Tsinghua University , para visitar a universidade por um ano. Alguns anos depois, ele convenceu Liu, então presidente do National Science Council , a criar o National Center of Theoretical Sciences (NCTS), que foi estabelecido em Hsinchu em 1998. Ele foi o presidente do Conselho Consultivo do NCTS até 2005 .

Atividades profissionais e divulgação

Em Hong Kong, com o apoio de Ronnie Chan , Yau criou o Prêmio Hang Lung para alunos do ensino médio. Ele também organizou e participou de reuniões para alunos do ensino médio e universitários, como os painéis de discussão Por que matemática? Pergunte aos Mestres! em Hangzhou , julho de 2004, e The Wonder of Mathematics em Hong Kong, dezembro de 2004. Yau também co-iniciou uma série de livros sobre matemática popular, "Mathematics and Mathematical People".

Yau organiza a conferência anual "Journal of Differential Geometry", bem como a conferência anual "Current Developments in Mathematics". Ele é o diretor fundador do Centro de Ciências Matemáticas e Aplicações da Universidade de Harvard , um centro de pesquisa multidisciplinar. Ele é editor-chefe do Journal of Differential Geometry , do Asian Journal of Mathematics e do Advances in Theoretical and Mathematical Physics .

Ele aconselhou mais de setenta Ph.D. alunos.

Polêmica de conjecturas de Poincaré

Em agosto de 2006, um artigo da New Yorker , Manifold Destiny , alegou que Yau estava minimizando o trabalho de Grigori Perelman na conjectura de Poincaré . Yau alegou que este artigo era difamatório e ameaçou entrar com um processo. A New Yorker manteve a história e nenhum processo foi aberto. Em setembro de 2006, Yau criou um site de relações públicas, que disputava pontos nele. Dezessete matemáticos, incluindo dois citados no artigo da New Yorker , postaram cartas de forte apoio.

Em 17 de outubro de 2006, um perfil mais simpático de Yau apareceu no The New York Times . Ele dedicou cerca de metade de seu comprimento ao caso Perelman. O artigo afirmava que Yau havia alienado alguns colegas, mas representava a posição de Yau como que a prova de Perelman não era geralmente entendida e ele "tinha o dever de desenterrar a verdade da prova".

Honras e prêmios

Yau recebeu cátedras honorárias de muitas universidades chinesas, incluindo a Hunan Normal University , a Peking University , a Nankai University e a Tsinghua University . Ele tem títulos honorários de várias universidades internacionais, incluindo a Harvard University , a Chinese University of Hong Kong e a University of Waterloo . Ele é um membro estrangeiro das Academias Nacionais de Ciências da China, Índia e Rússia.

Seus prêmios incluem:

• 1975–1976, Sloan Fellow .
• 1981, Prêmio Oswald Veblen de Geometria .
• 1981, Prêmio John J. Carty pelo Avanço da Ciência , Academia Nacional de Ciências dos Estados Unidos .
• 1982, Fields Medal , por "suas contribuições para equações diferenciais parciais, para a conjectura de Calabi em geometria algébrica , para a conjectura de massa positiva da teoria da relatividade geral e para equações reais e complexas de Monge-Ampère."
• 1982, eleito para a Academia Americana de Artes e Ciências
• 1982, Guggenheim Fellowship .
• 1984–1985, MacArthur Fellow .
• 1991 Prêmio de Pesquisa Humboldt , Alexander von Humboldt Foundation , Alemanha.
• 1993, eleito para a Academia Nacional de Ciências dos Estados Unidos
• 1994, Prêmio Crafoord .
• 1997, Medalha Nacional de Ciência dos Estados Unidos .
• 2003, Prêmio de Cooperação Científica e Tecnológica Internacional da China, por "sua notável contribuição para a RPC em aspectos de progresso em ciências e tecnologia, treinamento de pesquisadores".
• 2010, Prêmio Wolf em Matemática , por "seu trabalho em análise geométrica e física matemática".
• 2018, Prêmio Marcel Grossmann, "pela prova da positividade da massa total na teoria da relatividade geral e também pelo aperfeiçoamento do conceito de massa quase local, pela prova da conjectura de Calabi, pelo seu papel inspirador contínuo no estudo da física dos buracos negros. "

Publicações principais

Artigos de pesquisa Yau é autor de mais de quinhentos artigos. A seguinte lista de vinte e nove é a mais amplamente citada, conforme pesquisado acima:

Artigos de pesquisa

• Yau, Shing Tung. Seção de problemas. Seminar on Differential Geometry, pp. 669–706, Ann. da matemática. Stud., 102, Princeton Univ. Press, Princeton, NJ, 1982.
• Yau, Shing Tung. Levantamento de equações diferenciais parciais em geometria diferencial. Seminar on Differential Geometry, pp. 3-71, Ann. da matemática. Stud., 102, Princeton Univ. Press, Princeton, NJ, 1982.
• Yau, Shing-Tung. Análise não linear em geometria. Enseign. Matemática. (2) 33 (1987), no. 1–2, 109–158. Também publicado como: Monographies de L'Enseignement Mathématique, 33. Série des Conférences de l'Union Mathématique Internationale, 8. L'Enseignement Mathématique, Genebra, 1986. 54 pp.
• Yau, Shing-Tung. Problemas abertos em geometria. Geometria diferencial: equações diferenciais parciais em variedades (Los Angeles, CA, 1990), 1-28, Proc. Simpós. Pure Math., 54, Parte 1, Amer. Matemática. Soc., Providence, RI, 1993.
• Yau, S.-T. Revisão da geometria e análise. Asian J. Math. 4 (2000), no. 1, 235–278.
• Yau, Shing-Tung. Perspectivas de análise geométrica. Levantamentos em geometria diferencial. Vol. X, 275-379, Surv. Diferem. Geom., 10, Int. Press, Somerville, MA, 2006.
• Trabalhos expositivos selecionados de Shing-Tung Yau com comentários. Vol. I-II. Editado por Lizhen Ji, Peter Li, Kefeng Liu e Richard Schoen. Advanced Lectures in Mathematics (ALM), 28-29. International Press, Somerville, MA; Higher Education Press, Pequim, 2014. xxxii + 703 pp; xxxii + 650 pp. ISBN  978-1-57146-293-0 , 978-1-57146-294-7

Livros didáticos e monografias técnicas

• Schoen, R .; Yau, S.-T. Aulas teóricas sobre geometria diferencial. Notas de aula preparadas por Wei Yue Ding, Kung Ching Chang [Gong Qing Zhang], Jia Qing Zhong e Yi Chao Xu. Traduzido do chinês por Ding e SY Cheng. Com um prefácio traduzido do chinês por Kaising Tso. Conference Proceedings and Lecture Notes in Geometry and Topology, I. International Press, Cambridge, MA, 1994. v + 235 pp. ISBN  1-57146-012-8
• Schoen, R .; Yau, ST Palestras sobre mapas harmônicos. Anais de conferências e notas de aula em geometria e topologia, II. International Press, Cambridge, MA, 1997. vi + 394 pp. ISBN  1-57146-002-0
• Salaff, Stephen; Yau, Shing-Tung. Equações diferenciais ordinárias. Segunda edição. International Press, Cambridge, MA, 1998. vi + 72 pp. ISBN  1-57146-065-9
• Gu, Xianfeng David; Yau, Shing-Tung. Geometria conformada computacional. Com 1 CD-ROM (Windows, Macintosh e Linux). Advanced Lectures in Mathematics (ALM), 3. International Press, Somerville, MA; Higher Education Press, Pequim, 2008. vi + 295 pp. ISBN  978-1-57146-171-1

Livros populares

• Yau, Shing-Tung; Nadis, Steve. A forma do espaço interno. Teoria das cordas e a geometria das dimensões ocultas do universo. Basic Books, New York, 2010. xx + 377 pp. ISBN  978-0-465-02023-2
• Nadis, Steve; Yau, Shing-Tung. Uma história em suma. 150 anos de matemática em Harvard (1825–1975). Harvard University Press, Cambridge, MA, 2013. xx + 249 pp. ISBN  978-0-674-72500-3
• Yau, Shing-Tung; Nadis, Steve. A forma de uma vida. A busca de um matemático pela geometria oculta do universo. Yale University Press, New Haven, CT, 2019. xvi + 293 pp. ISBN  978-0-300-23590-6

Veja também

• Manifold Calabi – Yau
• Conjectura de Calabi
• Teorema da energia positiva
• Conjectura SYZ
• Correspondência Kobayashi-Hitchin

Notas

Referências

links externos

• Centro de Ciências Matemáticas da Universidade de Zhejiang : comentários de vários matemáticos sobre Yau
• Entrevista da revista Discover, edição de junho de 2010
• Entrevista (11 páginas em chinês tradicional )
• Relato autobiográfico de Yau (principalmente inglês, alguns chineses)
• O'Connor, John J .; Robertson, Edmund F. , "Shing-Tung Yau" , arquivo MacTutor History of Mathematics , University of St Andrews
• Shing-Tung Yau no Projeto de Genealogia da Matemática
• Obstruindo uma lacuna matemática
• UC Irvine cortejando Yau com uma cátedra de $ 2,5 milhões
• Conferência Internacional Comemorando o Aniversário de Shing Tung Yau 27/08/2008 01/09/2008 Universidade de Harvard