Modelo Hubbard - Hubbard model

O modelo de Hubbard é um modelo aproximado usado, especialmente na física do estado sólido , para descrever a transição entre sistemas condutores e isolantes . O modelo de Hubbard, em homenagem a John Hubbard , é um modelo simples de partículas interagindo em uma rede, com apenas dois termos no Hamiltoniano (veja o exemplo abaixo): um termo cinético que permite tunelamento ("salto") de partículas entre locais do rede e um termo potencial que consiste em uma interação no local. As partículas podem ser férmions , como no trabalho original de Hubbard, ou bósons , caso em que o modelo é referido como o "Modelo Bose-Hubbard ".

O modelo de Hubbard é uma aproximação útil para partículas em um potencial periódico em temperaturas suficientemente baixas, onde todas as partículas podem ser assumidas como estando na banda de Bloch mais baixa e as interações de longo alcance entre as partículas podem ser ignoradas. Se as interações entre as partículas em diferentes locais da rede forem incluídas, o modelo é frequentemente referido como o "modelo de Hubbard estendido". Em particular, o termo de Hubbard, mais comumente denotado por U , é aplicado em simulações baseadas em primeiros princípios usando a Teoria do Funcional da Densidade , DFT. A inclusão do termo Hubbard nas simulações DFT é importante, pois melhora a previsão da localização do elétron e, portanto, evita a previsão incorreta da condução metálica em sistemas isolantes. O modelo foi originalmente proposto em 1963 para descrever elétrons em sólidos. Desde então, tem sido aplicado ao estudo da supercondutividade de alta temperatura , magnetismo quântico e ondas de densidade de carga. O modelo de Hubbard introduz interações de curto alcance entre elétrons para o modelo de ligação forte , que inclui apenas energia cinética (um termo de "salto") e interações com os átomos da rede (um potencial "atômico"). Quando a interação entre os elétrons é forte, o comportamento do modelo de Hubbard pode ser qualitativamente diferente de um modelo de ligação forte. Por exemplo, o modelo de Hubbard prevê corretamente a existência de isoladores de Mott : materiais que são isolantes devido à forte repulsão entre elétrons, embora satisfaçam os critérios usuais de condutores, como ter um número ímpar de elétrons por célula unitária.

Teoria de banda estreita de energia

O modelo de Hubbard é baseado na aproximação de ligação forte da física do estado sólido, que descreve as partículas que se movem em um potencial periódico, às vezes referido como uma rede. Para materiais reais, cada local desta rede pode corresponder a um núcleo iônico, e as partículas seriam os elétrons de valência desses íons. Na aproximação de ligação forte, o hamiltoniano é escrito em termos de estados de Wannier , que são estados localizados centrados em cada sítio da rede. Os estados de Wannier em locais de rede vizinhos são acoplados, permitindo que as partículas de um local "saltem" para outro. Matematicamente, a força desse acoplamento é dada por uma "integral de salto", ou "integral de transferência", entre locais próximos. Diz-se que o sistema está no limite de ligação rígida quando a força das integrais de salto diminui rapidamente com a distância. Esse acoplamento permite que os estados associados a cada sítio da rede se hibridem, e os eigenstates desse sistema cristalino são funções de Bloch , com os níveis de energia divididos em bandas de energia separadas . A largura das bandas depende do valor da integral de salto.

O modelo de Hubbard introduz uma interação de contato entre partículas de spin oposto em cada local da rede. Quando o modelo de Hubbard é usado para descrever sistemas de elétrons, espera-se que essas interações sejam repulsivas, decorrentes da interação de Coulomb filtrada . No entanto, interações atraentes também têm sido frequentemente consideradas. A física do modelo de Hubbard é determinada pela competição entre a força da integral de salto, que caracteriza a energia cinética do sistema , e a força do termo de interação. O modelo de Hubbard pode, portanto, explicar a transição de metal para isolante em certos sistemas de interação. Por exemplo, foi usado para descrever óxidos de metal à medida que são aquecidos, onde o aumento correspondente no espaçamento do vizinho mais próximo reduz a integral de salto ao ponto em que o potencial no local é dominante. Da mesma forma, o modelo de Hubbard pode explicar a transição de condutor para isolante em sistemas como pirocloro de terras raras conforme o número atômico do metal de terras raras aumenta, porque o parâmetro de rede aumenta (ou o ângulo entre os átomos também pode mudar - ver Cristal estrutura ) à medida que o número atômico do elemento de terras raras aumenta, mudando assim a importância relativa da integral de salto em comparação com a repulsão no local.

Exemplo: cadeia 1D de átomos de hidrogênio

O átomo de hidrogênio tem apenas um elétron, no chamado orbital s , que pode ter spin para cima ( ) ou spin para baixo ( ). Este orbital pode ser ocupado por no máximo dois elétrons, um com spin para cima e outro para baixo (ver princípio de exclusão de Pauli ). ${\ displaystyle \ uparrow}$ ${\ displaystyle \ downarrow}$

Agora, considere uma cadeia 1D de átomos de hidrogênio. Segundo a teoria da banda , esperaríamos que o orbital 1s formasse uma banda contínua, que estaria exatamente pela metade. A cadeia 1D de átomos de hidrogênio é, portanto, prevista para ser um condutor sob a teoria de bandas convencional.

Mas agora considere o caso em que o espaçamento entre os átomos de hidrogênio é gradualmente aumentado. Em algum ponto, esperamos que a corrente se torne um isolante.

Expresso em termos do modelo de Hubbard, por outro lado, o hamiltoniano agora é composto de dois termos. O primeiro termo descreve a energia cinética do sistema, parametrizada pela integral de salto ,. O segundo termo é a interação local de força que representa a repulsão do elétron. Escrito na notação de segunda quantização , o Hamiltoniano de Hubbard assume a forma ${\ displaystyle t}$ ${\ displaystyle U}$

{\ displaystyle {\ hat {H}} = - t \ sum _ {i, \ sigma} \ left ({\ hat {c}} _ {i, \ sigma} ^ {\ dagger} {\ hat {c} } _ {i + 1, \ sigma} + {\ hat {c}} _ {i + 1, \ sigma} ^ {\ dagger} {\ hat {c}} _ {i, \ sigma} \ right) + U \ sum _ {i} {\ hat {n}} _ {i \ uparrow} {\ hat {n}} _ {i \ downarrow},}

onde é o operador de densidade de spin para spin no -ésimo site. O operador de densidade total é e a ocupação do -ésimo local para a função de onda é . Normalmente t é considerado positivo, e U pode ser positivo ou negativo em geral, mas é considerado positivo quando consideramos os sistemas eletrônicos como estamos aqui. ${\ displaystyle {\ hat {n}} _ {i \ sigma} = {\ hat {c}} _ {i \ sigma} ^ {\ dagger} {\ hat {c}} _ {i \ sigma}}$ ${\ displaystyle \ sigma}$ ${\ displaystyle i}$ ${\ displaystyle {\ hat {n}} _ {i} = {\ hat {n}} _ {i \ uparrow} + {\ hat {n}} _ {i \ downarrow}}$ ${\ displaystyle i}$ ${\ displaystyle \ Phi}$ ${\ displaystyle n_ {i} = \ langle \ Phi \ vert {\ hat {n}} _ {i} \ vert \ Phi \ rangle}$

Se considerarmos o hamiltoniano sem a contribuição do segundo termo, ficamos simplesmente com a fórmula de ligação estreita da teoria de bandas regulares.

Quando o segundo termo é incluído, no entanto, terminamos com um modelo mais realista que também prevê uma transição do condutor para o isolador conforme a proporção da interação para o salto,, é variada. Essa razão pode ser modificada, por exemplo, aumentando o espaçamento interatômico, o que diminuiria a magnitude de sem afetar . No limite onde , a cadeia simplesmente se resolve em um conjunto de momentos magnéticos isolados . Se não for muito grande, a integral de sobreposição fornece interações de superexchange entre momentos magnéticos vizinhos, o que pode levar a uma variedade de correlações magnéticas interessantes, como ferromagnética, antiferromagnética, etc., dependendo dos parâmetros do modelo. O modelo unidimensional de Hubbard foi resolvido por Lieb e Wu usando o ansatz Bethe . Progresso essencial foi alcançado na década de 1990: uma simetria oculta foi descoberta, e a matriz de espalhamento , funções de correlação , termodinâmica e emaranhamento quântico foram avaliados. ${\ displaystyle U / t}$ ${\ displaystyle t}$ ${\ displaystyle U}$ ${\ displaystyle U / t \ gg 1}$ ${\ displaystyle U / t}$

Sistemas mais complexos

Embora o modelo de Hubbard seja útil na descrição de sistemas como uma cadeia 1D de átomos de hidrogênio, é importante notar que em sistemas mais complexos pode haver outros efeitos que o modelo de Hubbard não considera. Em geral, os isoladores podem ser divididos em isoladores do tipo Mott – Hubbard (consulte isolador Mott ) e isoladores de transferência de carga .

Considere a seguinte descrição de um isolador Mott – Hubbard:

{\ displaystyle (\ mathrm {Ni} ^ {2 +} \ mathrm {O} ^ {2 -}) _ {2} \ longrightarrow \ mathrm {Ni} ^ {3 +} \ mathrm {O} ^ {2- } + \ mathrm {Ni} ^ {1 +} \ mathrm {O} ^ {2-}.}

Isso pode ser visto como análogo ao modelo de Hubbard para cadeias de hidrogênio, onde a condução entre células unitárias pode ser descrita por uma integral de transferência.

No entanto, é possível que os elétrons exibam outro tipo de comportamento:

{\ displaystyle \ mathrm {Ni} ^ {2 +} \ mathrm {O} ^ {2 -} \ longrightarrow \ mathrm {Ni} ^ {1 +} \ mathrm {O} ^ {1-}.}

Isso é conhecido como transferência de carga e resulta em isoladores de transferência de carga . Observe que isso é bastante diferente do modelo de isolador Mott-Hubbard porque não há transferência de elétrons entre células unitárias, apenas dentro de uma célula unitária.

Ambos os efeitos podem estar presentes e competindo em sistemas iônicos complexos.

Tratamento numérico

O fato de o modelo de Hubbard não ter sido resolvido analiticamente em dimensões arbitrárias levou a uma intensa pesquisa em métodos numéricos para esses sistemas eletrônicos fortemente correlacionados. Um dos principais objetivos desta pesquisa é determinar o diagrama de fase de baixa temperatura deste modelo, particularmente em duas dimensões. O tratamento numérico aproximado do modelo de Hubbard em sistemas finitos é possível por meio de vários métodos.

Um desses métodos, o algoritmo Lanczos , pode produzir propriedades estáticas e dinâmicas do sistema. Os cálculos do estado fundamental usando este método requerem o armazenamento de três vetores do tamanho do número de estados. O número de estados aumenta exponencialmente com o tamanho do sistema, o que limita o número de sites na rede a cerca de 20 no hardware disponível atualmente. Com o projetor e o campo auxiliar de temperatura finita Monte Carlo , existem dois métodos estatísticos que também podem obter certas propriedades do sistema. Para baixas temperaturas, aparecem problemas de convergência que levam a um crescimento exponencial do esforço computacional com a diminuição da temperatura devido ao chamado problema do sinal de férmions .

O modelo de Hubbard também pode ser estudado dentro da teoria de campo médio dinâmico (DMFT). Este esquema mapeia o Hamiltoniano de Hubbard em um modelo de impureza de local único , um mapeamento que é formalmente exato apenas em dimensões infinitas e em dimensões finitas corresponde ao tratamento exato de todas as correlações puramente locais apenas. O DMFT permite calcular a função de Green local do modelo de Hubbard para uma dada e uma dada temperatura. Dentro do DMFT, pode-se calcular a evolução da função espectral e observar o aparecimento das bandas de Hubbard superior e inferior à medida que as correlações aumentam. ${\ displaystyle U}$

Veja também

Referências

Leitura adicional

Hubbard, J. (1963). "Correlações de elétrons em bandas de energia estreita". Proceedings of the Royal Society of London . 276 (1365): 238-257. Bibcode : 1963RSPSA.276..238H . doi : 10.1098 / rspa.1963.0204 . JSTOR 2414761 . S2CID 35439962 .
Bach, V .; Lieb, EH; Solovej, JP (1994). "Teoria Hartree-Fock generalizada e o modelo de Hubbard". Journal of Statistical Physics . 76 (1–2): 3. arXiv : cond-mat / 9312044 . Bibcode : 1994JSP .... 76 .... 3B . doi : 10.1007 / BF02188656 . S2CID 207143 .
Lieb, EH (1995). "O modelo de Hubbard: alguns resultados rigorosos e problemas abertos". Xi Int. Cong. Mp, Int. Pressione (?) . 1995 : cond – mat / 9311033. arXiv : cond-mat / 9311033 . Bibcode : 1993cond.mat.11033L .
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