Princípio de exclusão de Pauli - Pauli exclusion principle

Wolfgang Pauli formulou a lei afirmando que dois elétrons não podem ter o mesmo conjunto de números quânticos.

O princípio de exclusão de Pauli é o princípio da mecânica quântica que afirma que dois ou mais férmions idênticos (partículas com spin meio inteiro ) não podem ocupar o mesmo estado quântico dentro de um sistema quântico simultaneamente. Este princípio foi formulado pelo físico austríaco Wolfgang Pauli em 1925 para elétrons , e mais tarde estendido a todos os férmions com seu teorema da estatística de spin de 1940.

No caso de elétrons em átomos, pode-se afirmar o seguinte: é impossível que dois elétrons de um átomo de polielétron tenham os mesmos valores dos quatro números quânticos : n , o número quântico principal ; , o número quântico azimutal ; m , o número quântico magnético ; e m s , o número quântico de spin . Por exemplo, se dois elétrons residem no mesmo orbital , então seus valores de n , e m são os mesmos; portanto, seus m s devem ser diferentes e, portanto, os elétrons devem ter projeções de spin de meio-inteiro opostas de 1/2 e -1/2.

Partículas com spin inteiro, ou bósons , não estão sujeitas ao princípio de exclusão de Pauli: qualquer número de bósons idênticos pode ocupar o mesmo estado quântico, como com, por exemplo, fótons produzidos por um laser ou átomos em um condensado de Bose-Einstein .

Uma afirmação mais rigorosa é que, em relação à troca de duas partículas idênticas, a função de onda total (muitas partículas) é antissimétrica para férmions e simétrica para bósons. Isso significa que se as coordenadas de espaço e spin de duas partículas idênticas forem trocadas, a função de onda total muda seu sinal para férmions e não muda para bósons.

Se dois férmions estivessem no mesmo estado (por exemplo, o mesmo orbital com o mesmo spin no mesmo átomo), trocá-los não mudaria nada e a função de onda total permaneceria inalterada. A única maneira pela qual a função de onda total pode mudar de sinal conforme necessário para férmions e também permanecer inalterada é que essa função deve ser zero em todos os lugares, o que significa que o estado não pode existir. Esse raciocínio não se aplica aos bósons porque o sinal não muda.

Visão geral

O princípio de exclusão de Pauli descreve o comportamento de todos os férmions (partículas com " spin meio inteiro "), enquanto os bósons (partículas com "spin inteiro") estão sujeitos a outros princípios. Os férmions incluem partículas elementares como quarks , elétrons e neutrinos . Além disso, bárions como prótons e nêutrons ( partículas subatômicas compostas de três quarks) e alguns átomos (como hélio-3 ) são férmions e, portanto, também são descritos pelo princípio de exclusão de Pauli. Os átomos podem ter um "spin" geral diferente, o que determina se são férmions ou bósons - por exemplo, o hélio-3 tem spin 1/2 e, portanto, é um férmion, em contraste com o hélio-4, que tem spin 0 e é um bóson. Como tal, o princípio de exclusão de Pauli sustenta muitas propriedades da matéria cotidiana, desde sua estabilidade em grande escala até o comportamento químico dos átomos .

"Spin meio-inteiro" significa que o valor do momento angular intrínseco dos férmions é ( constante de Planck reduzida ) vezes um meio-inteiro (1/2, 3/2, 5/2, etc.). Na teoria da mecânica quântica, os férmions são descritos por estados anti-simétricos . Em contraste, as partículas com spin inteiro (chamadas de bósons) têm funções de onda simétricas; ao contrário dos férmions, eles podem compartilhar os mesmos estados quânticos. Bosões incluem a fotões , os pares de Cooper que são responsáveis para a supercondutividade , e as W e Z bosões . (Os férmions recebem seu nome da distribuição estatística Fermi – Dirac a que obedecem, e os bósons de sua distribuição de Bose-Einstein .)

História

No início do século 20, tornou-se evidente que átomos e moléculas com números pares de elétrons são mais estáveis ​​quimicamente do que aqueles com números ímpares de elétrons. No artigo de 1916 "O Átomo e a Molécula" de Gilbert N. Lewis , por exemplo, o terceiro de seus seis postulados de comportamento químico afirma que o átomo tende a conter um número par de elétrons em qualquer camada e, especialmente, a conter oito elétrons, provavelmente dispostos simetricamente nos oito cantos de um cubo . Em 1919, o químico Irving Langmuir sugeriu que a tabela periódica poderia ser explicada se os elétrons em um átomo estivessem conectados ou agrupados de alguma maneira. Acredita-se que grupos de elétrons ocupem um conjunto de camadas de elétrons ao redor do núcleo. Em 1922, Niels Bohr atualizou seu modelo do átomo assumindo que certos números de elétrons (por exemplo 2, 8 e 18) correspondiam a "camadas fechadas" estáveis.

Pauli procurou uma explicação para esses números, que a princípio eram apenas empíricos . Ao mesmo tempo, ele tentava explicar os resultados experimentais do efeito Zeeman na espectroscopia atômica e no ferromagnetismo . Ele encontrou uma pista essencial em um artigo de Edmund C. Stoner de 1924 , que apontou que, para um determinado valor do número quântico principal ( n ), o número de níveis de energia de um único elétron no espectro de metal alcalino em um espectro externo campo magnético, onde todos os níveis de energia degenerados são separados, é igual ao número de elétrons na camada fechada dos gases nobres para o mesmo valor de n . Isso levou Pauli a perceber que os complicados números de elétrons em camadas fechadas podem ser reduzidos à regra simples de um elétron por estado se os estados do elétron forem definidos usando quatro números quânticos. Para este propósito, ele introduziu um novo número quântico de dois valores, identificado por Samuel Goudsmit e George Uhlenbeck como spin do elétron .

Conexão com a simetria do estado quântico

Em sua palestra no Nobel, Pauli esclareceu a importância da simetria do estado quântico para o princípio de exclusão:

Entre as diferentes classes de simetria, as mais importantes (que aliás para duas partículas são as únicas) são a classe simétrica , em que a função de onda não muda seu valor quando as coordenadas de espaço e spin de duas partículas são permutadas, e a classe anti - simétrica , na qual para tal permutação a função de onda muda seu sinal ... [A classe anti-simétrica é] a formulação mecânica de onda correta e geral do princípio de exclusão.

O princípio de exclusão de Pauli com uma função de onda de muitas partículas de valor único é equivalente a exigir que a função de onda seja anti-simétrica em relação à troca . Se e variam ao longo dos vetores básicos do espaço de Hilbert que descrevem um sistema de uma partícula, então o produto tensorial produz os vetores básicos do espaço de Hilbert que descrevem um sistema de duas dessas partículas. Qualquer estado de duas partículas pode ser representado como uma superposição (ou seja, soma) desses vetores de base:

onde cada A ( x , y ) é um coeficiente escalar (complexo). A anti-simetria sob troca significa que A ( x , y ) = - A ( y , x ) . Isso implica A ( x , y ) = 0 quando x = y , que é a exclusão de Pauli. É verdade em qualquer base, uma vez que mudanças locais de base mantêm matrizes anti-simétricas antissimétricas.

Por outro lado, se as quantidades diagonais A ( x , x ) são zero em todas as bases , então o componente da função de onda

é necessariamente anti-simétrico. Para provar isso, considere o elemento da matriz

Isso é zero, porque as duas partículas têm probabilidade zero de ambas estarem no estado de superposição . Mas isso é igual a

O primeiro e o último termos são elementos diagonais e são zero, e a soma total é igual a zero. Portanto, os elementos da matriz de função de onda obedecem:

ou

Para um sistema com n > 2 partículas, os estados de base multipartículas tornam-se produtos tensoriais n- dobrados de estados de base de uma partícula, e os coeficientes da função de onda são identificados por n estados de uma partícula. A condição de antissimetria afirma que os coeficientes devem inverter o sinal sempre que quaisquer dois estados são trocados: por qualquer . O princípio de exclusão é a consequência de que, se for algum, então isso mostra que nenhuma das n partículas pode estar no mesmo estado.

Teoria quântica avançada

De acordo com o teorema da estatística de spin , partículas com spin inteiro ocupam estados quânticos simétricos e partículas com spin meio inteiro ocupam estados antissimétricos; além disso, apenas valores inteiros ou meio inteiros de spin são permitidos pelos princípios da mecânica quântica. Na teoria quântica de campos relativística , o princípio de Pauli segue da aplicação de um operador de rotação no tempo imaginário a partículas de spin meio inteiro.

Em uma dimensão, bósons, bem como férmions, podem obedecer ao princípio de exclusão. Um gás de Bose unidimensional com interações repulsivas de função delta de força infinita é equivalente a um gás de férmions livres. A razão para isso é que, em uma dimensão, a troca de partículas exige que elas passem umas pelas outras; para uma repulsão infinitamente forte, isso não pode acontecer. Este modelo é descrito por uma equação quântica não linear de Schrödinger . No espaço momentum, o princípio de exclusão é válido também para repulsão finita em um gás de Bose com interações de função delta, bem como para spins interagentes e modelo de Hubbard em uma dimensão, e para outros modelos solucionáveis ​​por Bethe ansatz . O estado fundamental em modelos solucionáveis ​​por Bethe ansatz é uma esfera de Fermi .

Formulários

Átomos

O princípio de exclusão de Pauli ajuda a explicar uma ampla variedade de fenômenos físicos. Uma consequência particularmente importante do princípio é a elaborada estrutura da camada de elétrons dos átomos e a maneira como os átomos compartilham os elétrons, explicando a variedade de elementos químicos e suas combinações químicas. Um átomo eletricamente neutro contém elétrons ligados em número igual aos prótons no núcleo . Os elétrons, sendo férmions, não podem ocupar o mesmo estado quântico que os outros elétrons, então os elétrons precisam se "empilhar" dentro de um átomo, ou seja, ter spins diferentes enquanto estão no mesmo orbital de elétrons, conforme descrito abaixo.

Um exemplo é o átomo de hélio neutro , que tem dois elétrons ligados, os quais podem ocupar os estados de energia mais baixa ( 1s ) adquirindo spin oposto; como o spin faz parte do estado quântico do elétron, os dois elétrons estão em estados quânticos diferentes e não violam o princípio de Pauli. No entanto, o spin pode assumir apenas dois valores diferentes ( autovalores ). Em um átomo de lítio , com três elétrons ligados, o terceiro elétron não pode residir em um estado 1s e deve ocupar um dos estados 2s de energia mais alta . Da mesma forma, elementos sucessivamente maiores devem ter camadas de energia sucessivamente mais alta. As propriedades químicas de um elemento dependem muito do número de elétrons na camada mais externa; átomos com diferentes números de camadas de elétrons ocupadas, mas o mesmo número de elétrons na camada mais externa têm propriedades semelhantes, o que dá origem à tabela periódica dos elementos .

Para testar o princípio de exclusão de Pauli para o átomo de He, Gordon Drake realizou cálculos muito precisos para estados hipotéticos do átomo de He que o violam, que são chamados de estados parônicos . Posteriormente, K. Deilamian et al. usou um espectrômetro de feixe atômico para pesquisar o estado parônico 1s2s 1 S 0 calculado por Drake. A pesquisa não teve sucesso e mostrou que o peso estatístico desse estado parônico tem um limite superior de5 × 10 −6 . (O princípio de exclusão implica um peso zero.)

Propriedades de estado sólido

Em condutores e semicondutores , há um grande número de orbitais moleculares que efetivamente formam uma estrutura de banda contínua de níveis de energia . Em condutores fortes ( metais ), os elétrons são tão degenerados que não podem nem mesmo contribuir muito para a capacidade térmica de um metal. Muitas propriedades mecânicas, elétricas, magnéticas, ópticas e químicas dos sólidos são consequência direta da exclusão de Pauli.

Estabilidade da matéria

A estabilidade de cada estado do elétron em um átomo é descrita pela teoria quântica do átomo, que mostra que a aproximação de um elétron ao núcleo necessariamente aumenta a energia cinética do elétron, uma aplicação do princípio da incerteza de Heisenberg. No entanto, a estabilidade de grandes sistemas com muitos elétrons e muitos núcleons é uma questão diferente e requer o princípio de exclusão de Pauli.

Foi demonstrado que o princípio de exclusão de Pauli é responsável pelo fato de que a matéria a granel comum é estável e ocupa volume. Essa sugestão foi feita pela primeira vez em 1931 por Paul Ehrenfest , que apontou que os elétrons de cada átomo não podem cair todos no orbital de energia mais baixa e devem ocupar camadas sucessivamente maiores. Os átomos, portanto, ocupam um volume e não podem ser comprimidos muito próximos.

Uma prova mais rigorosa foi fornecida em 1967 por Freeman Dyson e Andrew Lenard ( de ), que considerou o equilíbrio das forças atrativas (elétron-nuclear) e repulsivas (elétron-elétron e nuclear-nuclear) e mostrou que a matéria comum entraria em colapso e ocuparia um volume muito menor sem o princípio de Pauli.

A conseqüência do princípio de Pauli aqui é que elétrons de mesmo spin são mantidos separados por uma interação de troca repulsiva , que é um efeito de curto alcance, agindo simultaneamente com a força eletrostática ou coulômbica de longo alcance . Esse efeito é parcialmente responsável pela observação cotidiana no mundo macroscópico de que dois objetos sólidos não podem estar no mesmo lugar ao mesmo tempo.

Astrofísica

Dyson e Lenard não consideraram as forças magnéticas ou gravitacionais extremas que ocorrem em alguns objetos astronômicos . Em 1995, Elliott Lieb e colaboradores mostraram que o princípio de Pauli ainda leva à estabilidade em campos magnéticos intensos, como em estrelas de nêutrons , embora em uma densidade muito maior do que na matéria comum. É uma consequência da relatividade geral que, em campos gravitacionais suficientemente intensos, a matéria colapsa para formar um buraco negro .

A astronomia oferece uma demonstração espetacular do efeito do princípio de Pauli, na forma de anãs brancas e estrelas de nêutrons . Em ambos os corpos, a estrutura atômica é interrompida por extrema pressão, mas as estrelas são mantidas em equilíbrio hidrostático pela pressão de degenerescência , também conhecida como pressão de Fermi. Essa forma exótica de matéria é conhecida como matéria degenerada . A imensa força gravitacional da massa de uma estrela é normalmente mantida em equilíbrio pela pressão térmica causada pelo calor produzido na fusão termonuclear no núcleo da estrela. Nas anãs brancas, que não sofrem fusão nuclear, uma força oposta à gravidade é fornecida pela pressão de degenerescência do elétron . Em estrelas de nêutrons , sujeitas a forças gravitacionais ainda mais fortes, os elétrons se fundiram com os prótons para formar nêutrons. Os nêutrons são capazes de produzir uma pressão de degeneração ainda mais alta, pressão de degeneração dos nêutrons , embora em um intervalo mais curto. Isso pode estabilizar estrelas de nêutrons de um colapso posterior, mas em um tamanho menor e maior densidade do que uma anã branca. Estrelas de nêutrons são os objetos mais "rígidos" conhecidos; seu módulo de Young (ou mais precisamente, módulo de volume ) é 20 ordens de magnitude maior do que o do diamante . No entanto, mesmo essa enorme rigidez pode ser superada pelo campo gravitacional de uma massa de estrela de nêutrons excedendo o limite de Tolman-Oppenheimer-Volkoff , levando à formação de um buraco negro .

Veja também

Referências

Em geral

links externos