Teorema de Pascal - Pascal's theorem

Linha de Pascal GHK do hexágono de autocruzamento ABCDEF inscrito em elipse. Os lados opostos do hexágono têm a mesma cor.
As interseções dos lados opostos estendidos do hexágono cíclico simples ABCDEF (à direita) encontram-se na linha de Pascal MNP (à esquerda).
Hexágono autocruzável ABCDEF , inscrito em círculo. Seus lados são estendidos de forma que pares de lados opostos se cruzem na linha de Pascal. Cada par de lados opostos estendidos tem sua própria cor: um vermelho, um amarelo e um azul. A linha de Pascal é mostrada em branco.

Na geometria projetiva , o teorema de Pascal (também conhecido como teorema hexagrammum mysticum ) afirma que se seis pontos arbitrários forem escolhidos em uma cônica (que pode ser uma elipse , parábola ou hipérbole em um plano afim apropriado ) e unidos por segmentos de linha em qualquer ordem para formar um hexágono , então os três pares de lados opostos do hexágono ( estendidos se necessário) se encontram em três pontos que estão em uma linha reta, chamada de linha de Pascal do hexágono. Tem o nome de Blaise Pascal .

O teorema também é válido no plano euclidiano , mas a afirmação precisa ser ajustada para lidar com os casos especiais quando os lados opostos são paralelos.

Variantes euclidianas

O cenário mais natural para o teorema de Pascal é em um plano projetivo, uma vez que quaisquer duas linhas se encontram e nenhuma exceção precisa ser feita para linhas paralelas. Porém, o teorema permanece válido no plano euclidiano, com a correta interpretação do que acontece quando alguns lados opostos do hexágono são paralelos.

Se exatamente um par de lados opostos do hexágono são paralelos, então a conclusão do teorema é que a "linha de Pascal" determinada pelos dois pontos de intersecção é paralela aos lados paralelos do hexágono. Se dois pares de lados opostos são paralelos, então todos os três pares de lados opostos formam pares de linhas paralelas e não há linha Pascal no plano euclidiano (neste caso, a linha no infinito do plano euclidiano estendido é a linha Pascal de o hexágono).

Resultados relacionados

Este teorema é uma generalização do teorema de Pappus (hexágono) - o teorema de Pappus é o caso especial de uma cônica degenerada de duas retas. O teorema de Pascal é o dual polar recíproco e projetivo do teorema de Brianchon . Foi formulado por Blaise Pascal em uma nota escrita em 1639 quando ele tinha 16 anos e publicada no ano seguinte como um jornal intitulado "Essay pour les coniques. Par BP"

O teorema de Pascal é um caso especial do teorema de Cayley-Bacharach .

Um caso degenerado do teorema de Pascal (quatro pontos) é interessante; dados os pontos ABCD em uma cônica Γ , a interseção dos lados alternados, AB ∩ CD , BC ∩ DA , junto com a interseção das tangentes nos vértices opostos ( A , C ) e ( B , D ) são colineares em quatro pontos; as tangentes sendo 'lados' degenerados, tomadas em duas posições possíveis no 'hexágono' e a linha de Pascal correspondente compartilhando uma das interseções degeneradas. Isso pode ser comprovado independentemente usando uma propriedade pólo-polar . Se a cônica é um círculo, então outro caso degenerado diz que, para um triângulo, os três pontos que aparecem como a interseção de uma linha lateral com a linha lateral correspondente do triângulo de Gergonne são colineares.

Seis é o número mínimo de pontos em uma cônica sobre os quais declarações especiais podem ser feitas, já que cinco pontos determinam uma cônica .

O inverso é o teorema de Braikenridge – Maclaurin , nomeado em homenagem aos matemáticos britânicos do século 18 William Braikenridge e Colin Maclaurin ( Mills 1984 ), que afirma que se os três pontos de intersecção dos três pares de linhas através de lados opostos de um hexágono estão em uma linha , então os seis vértices do hexágono ficam em uma cônica; a cônica pode ser degenerada, como no teorema de Pappus. O teorema Braikenridge-Maclaurin pode ser aplicado na construção Braikenridge-Maclaurin , que é uma construção sintética da cônica definida por cinco pontos, variando o sexto ponto.

O teorema foi generalizado por August Ferdinand Möbius em 1847, como segue: suponha que um polígono com 4 n + 2 lados esteja inscrito em uma seção cônica, e pares opostos de lados sejam estendidos até se encontrarem em 2 n + 1 pontos. Então, se 2 n desses pontos estiverem em uma linha comum, o último ponto também estará nessa linha.

Hexagrammum Mysticum

Se seis pontos não ordenados são fornecidos em uma seção cônica, eles podem ser conectados em um hexágono de 60 maneiras diferentes, resultando em 60 instâncias diferentes do teorema de Pascal e 60 linhas de Pascal diferentes. Essa configuração de 60 linhas é chamada de Hexagrammum Mysticum .

Como Thomas Kirkman provou em 1849, essas 60 linhas podem ser associadas a 60 pontos de forma que cada ponto esteja em três linhas e cada linha contenha três pontos. Os 60 pontos formados desta forma são agora conhecidos como pontos Kirkman . As linhas Pascal também passam, três de cada vez, por 20 pontos Steiner . Existem 20 linhas Cayley que consistem em um ponto Steiner e três pontos Kirkman. Os pontos Steiner também estão, quatro de cada vez, em 15 linhas Plücker . Além disso, as 20 linhas Cayley passam quatro de cada vez por 15 pontos conhecidos como pontos Salmon .

Provas

A nota original de Pascal não tem prova, mas existem várias provas modernas do teorema.

É suficiente provar o teorema quando a cônica é um círculo, porque qualquer cônica (não degenerada) pode ser reduzida a um círculo por uma transformação projetiva. Isso foi realizado por Pascal, cujo primeiro lema afirma o teorema para um círculo. Seu segundo lema afirma que o que é verdadeiro em um plano permanece verdadeiro na projeção para outro plano. As cônicas degeneradas seguem por continuidade (o teorema é verdadeiro para cônicas não degeneradas e, portanto, se mantém no limite da cônica degenerada).

Uma curta prova elementar do teorema de Pascal no caso de um círculo foi encontrada por van Yzeren (1993) , com base na prova em ( Guggenheimer 1967 ). Esta prova prova o teorema para círculo e então o generaliza para cônicas.

Uma curta prova computacional elementar no caso do plano projetivo real foi encontrada por Stefanovic (2010)

Podemos inferir a prova da existência de conjugado isogonal também. Se quisermos mostrar que X = AB ∩ DE , Y = BC ∩ EF , Z = CD ∩ FA são colineares para ABCDEF concíclico , então observe que △ EYB e △ CYF são semelhantes, e que X e Z corresponderão ao isogonal conjugar se sobrepormos os triângulos semelhantes. Isso significa que ∠ BYX = ∠ CYZ , tornando XYZ colinear.

Uma pequena prova pode ser construída usando preservação de razão cruzada. Projetando o tétrade ABCE de D na linha AB , obtemos o tétrade ABPX , e projetando o tétrade ABCE de F na linha BC , obtemos o tétrade QBCY . Portanto, isso significa que R ( AB ; PX ) = R ( QB ; CY ) , onde um dos pontos nas duas tétrades se sobrepõe, o que significa que as outras linhas que conectam os outros três pares devem coincidir para preservar a razão cruzada. Portanto, XYZ são colineares.

Outra prova para o teorema de Pascal para um círculo usa o teorema de Menelau repetidamente.

Dandelin , o geômetra que descobriu as célebres esferas de Dandelin , apresentou uma bela prova usando a técnica de "levantamento 3D" que é análoga à prova 3D do teorema de Desargues . A prova faz uso da propriedade de que para cada seção cônica podemos encontrar um hiperbolóide de uma folha que passa pela cônica.

Também existe uma prova simples para o teorema de Pascal para um círculo usando a lei dos senos e semelhança .

Prova usando curvas cúbicas

O teorema de Pascal tem uma prova curta usando o teorema de Cayley-Bacharach que, dados quaisquer 8 pontos na posição geral, há um nono ponto único, de modo que todas as cúbicas através dos primeiros 8 também passam pelo nono ponto. Em particular, se 2 cúbicas gerais se cruzam em 8 pontos, então qualquer outra cúbica através dos mesmos 8 pontos encontra o nono ponto de intersecção das duas primeiras cúbicas. O teorema de Pascal segue tomando os 8 pontos como os 6 pontos no hexágono e dois dos pontos (digamos, M e N na figura) na suposta linha de Pascal, e o nono ponto como o terceiro ponto ( P no figura). As duas primeiras cúbicas são dois conjuntos de 3 linhas através dos 6 pontos no hexágono (por exemplo, o conjunto AB, CD, EF e o conjunto BC, DE, FA ), e a terceira cúbica é a união da cônica e a linha MN . Aqui, a "nona intersecção" P não pode estar na cônica por genericidade e, portanto, ela está na MN .

O teorema de Cayley-Bacharach também é usado para provar que a operação de grupo em curvas elípticas cúbicas é associativa. A mesma operação de grupo pode ser aplicada em um cone se escolhermos um ponto E no cone e uma linha MP no plano. A soma de A e B é obtido por primeira encontrar o ponto de intersecção da linha AB com MP , que é H . Próximo A e B adicionar-se para o segundo ponto de intersecção do cone com a linha de EM , que é D . Assim, se Q é o segundo ponto de intersecção do cone com a linha EN , então

Portanto, a operação do grupo é associativa. Por outro lado, o teorema de Pascal segue da fórmula de associatividade acima e, portanto, da associatividade da operação de grupo de curvas elípticas por meio de continuidade.

Prova usando o teorema de Bézout

Suponhamos que f é a polinomial cúbico desaparecendo nas três linhas através AB, CD, EF e g é a cúbica de fuga nas outras três linhas BC, DE, FA . Escolher um ponto genérico P no cónica e escolher λ de modo que a cúbico h = f + λg desaparece em P . Então h = 0 é uma cúbica que possui 7 pontos A, B, C, D, E, F, P em comum com a cônica. Mas, pelo teorema de Bézout, uma cúbica e uma cônica têm no máximo 3 × 2 = 6 pontos em comum, a menos que tenham um componente comum. Assim, a cúbica h = 0 tem um componente em comum com a cônica, que deve ser a própria cônica, então h = 0 é a união da cônica com uma reta. Agora é fácil verificar se esta linha é a linha Pascal.

Uma propriedade do hexágono de Pascal

Novamente dado o hexágono em uma cônica do teorema de Pascal com a notação acima para pontos (na primeira figura), temos

Degenerações do teorema de Pascals

Teorema de Pascal: degenerações

Existem casos degenerados de 5, 4 e 3 pontos do teorema de Pascal. Em um caso degenerado, dois pontos previamente conectados da figura coincidirão formalmente e a linha de conexão se tornará a tangente no ponto coalescido. Veja os casos degenerados fornecidos no esquema adicionado e o link externo em geometrias de círculo . Se escolhermos linhas adequadas das figuras de Pascal como linhas no infinito, obteremos muitas figuras interessantes em parábolas e hipérboles .

Veja também

Notas

Referências

links externos