Geometria projetiva - Projective geometry

Em matemática , geometria projetiva é o estudo de propriedades geométricas que são invariáveis ​​com respeito às transformações projetivas . Isso significa que, comparada à geometria euclidiana elementar , a geometria projetiva tem um ambiente diferente, espaço projetivo e um conjunto seletivo de conceitos geométricos básicos. As intuições básicas são de que o espaço projetivo possui mais pontos do que o espaço euclidiano , para uma dada dimensão, e que são permitidas transformações geométricas que transformam os pontos extras (chamados " pontos no infinito ") em pontos euclidianos e vice-versa.

Propriedades significativas para a geometria projetiva são respeitadas por essa nova ideia de transformação, que é mais radical em seus efeitos do que pode ser expressa por uma matriz de transformação e traduções (as transformações afins ). A primeira questão para geômetras é que tipo de geometria é adequada para uma nova situação. Não é possível referir-se a ângulos na geometria projetiva como na geometria euclidiana , pois ângulo é um exemplo de conceito não invariável em relação às transformações projetivas, como se vê no desenho em perspectiva . Uma fonte para a geometria projetiva era de fato a teoria da perspectiva. Outra diferença da geometria elementar é a maneira como se pode dizer que as linhas paralelas se encontram em um ponto no infinito , uma vez que o conceito é traduzido em termos de geometria projetiva. Novamente, essa noção tem uma base intuitiva, como trilhos de trem que se encontram no horizonte em um desenho em perspectiva. Veja plano projetivo para os fundamentos da geometria projetiva em duas dimensões.

Embora as ideias estivessem disponíveis anteriormente, a geometria projetiva foi principalmente um desenvolvimento do século XIX. Isso incluía a teoria do espaço projetivo complexo , as coordenadas usadas ( coordenadas homogêneas ) sendo números complexos. Vários tipos principais de matemática mais abstrata (incluindo a teoria invariante , a escola italiana de geometria algébrica e o programa Erlangen de Felix Klein , resultando no estudo dos grupos clássicos ) baseavam-se na geometria projetiva. Foi também uma disciplina com muitos praticantes por si mesma, como geometria sintética . Outro tópico que se desenvolveu a partir de estudos axiomáticos de geometria projetiva é a geometria finita .

O tópico da geometria projetiva está agora dividido em muitos subtópicos de pesquisa, dois exemplos dos quais são a geometria algébrica projetiva (o estudo das variedades projetivas ) e a geometria diferencial projetiva (o estudo dos invariantes diferenciais das transformações projetivas).

Visão geral

A Teoria Fundamental da Geometria Projetiva

A geometria projetiva é uma forma não métrica elementar de geometria, o que significa que não se baseia no conceito de distância. Em duas dimensões, começa com o estudo das configurações de pontos e linhas . O fato de haver de fato algum interesse geométrico neste cenário esparso foi estabelecido pela primeira vez por Desargues e outros em sua exploração dos princípios da arte em perspectiva . Em espaços dimensionais superiores , são considerados hiperplanos (que sempre se encontram), e outros subespaços lineares, que exibem o princípio da dualidade . A ilustração mais simples de dualidade está no plano projetivo, onde as afirmações "dois pontos distintos determinam uma linha única" (ou seja, a linha que os atravessa) e "duas linhas distintas determinam um ponto único" (ou seja, seu ponto de intersecção) mostram o mesmo estrutura como proposições. A geometria projetiva também pode ser vista como uma geometria de construções apenas com uma régua . Visto que a geometria projetiva exclui as construções de bússola , não há círculos, ângulos, medidas, paralelos e nenhum conceito de intermediário . Percebeu-se que os teoremas que se aplicam à geometria projetiva são afirmações mais simples. Por exemplo, as diferentes seções cônicas são todas equivalentes em geometria projetiva (complexa), e alguns teoremas sobre círculos podem ser considerados como casos especiais desses teoremas gerais.

Durante o início do século 19, o trabalho de Jean-Victor Poncelet , Lazare Carnot e outros estabeleceram a geometria projetiva como um campo independente da matemática . Seus fundamentos rigorosos foram tratados por Karl von Staudt e aperfeiçoados pelos italianos Giuseppe Peano , Mario Pieri , Alessandro Padoa e Gino Fano no final do século XIX. A geometria projetiva, como a geometria afim e euclidiana , também pode ser desenvolvida a partir do programa Erlangen de Felix Klein; a geometria projetiva é caracterizada por invariantes sob transformações do grupo projetivo .

Depois de muito trabalho sobre o grande número de teoremas no assunto, portanto, os fundamentos da geometria projetiva foram compreendidos. A estrutura de incidência e a razão cruzada são invariantes fundamentais nas transformações projetivas. A geometria projetiva pode ser modelada pelo plano afim (ou espaço afim) mais uma linha (hiperplano) "no infinito" e então tratar essa linha (ou hiperplano) como "comum". Um modelo algébrico para fazer geometria projetiva no estilo da geometria analítica é dado por coordenadas homogêneas. Por outro lado, estudos axiomáticos revelaram a existência de planos não desarguesianos , exemplos para mostrar que os axiomas de incidência podem ser modelados (em duas dimensões apenas) por estruturas não acessíveis ao raciocínio por meio de sistemas de coordenadas homogêneos.

Medida de crescimento e os vórtices polares. Baseado na obra de Lawrence Edwards

Em um sentido fundamental, a geometria projetiva e a geometria ordenada são elementares, pois envolvem um mínimo de axiomas e podem ser usadas como a base para a geometria afim e euclidiana . A geometria projetiva não é "ordenada" e, portanto, é uma base distinta para a geometria.

História

As primeiras propriedades geométricas de natureza projetiva foram descobertas durante o século III por Pappus de Alexandria . Filippo Brunelleschi (1404–1472) começou a investigar a geometria da perspectiva durante 1425 (veja a história da perspectiva para uma discussão mais completa do trabalho nas artes plásticas que motivou grande parte do desenvolvimento da geometria projetiva). Johannes Kepler (1571–1630) e Gérard Desargues (1591–1661) desenvolveram independentemente o conceito de "ponto no infinito". Desargues desenvolveu uma forma alternativa de construir desenhos em perspectiva generalizando o uso de pontos de fuga para incluir o caso quando estes estão infinitamente distantes. Ele transformou a geometria euclidiana , onde as linhas paralelas são verdadeiramente paralelas, em um caso especial de um sistema geométrico abrangente. O estudo de Desargues sobre seções cônicas chamou a atenção de Blaise Pascal, de 16 anos, e o ajudou a formular o teorema de Pascal . As obras de Gaspard Monge no final do século 18 e início do século 19 foram importantes para o posterior desenvolvimento da geometria projetiva. O trabalho de Desargues foi ignorado até que Michel Chasles encontrou uma cópia manuscrita em 1845. Enquanto isso, Jean-Victor Poncelet publicou o tratado fundamental sobre geometria projetiva durante 1822. Poncelet examinou as propriedades projetivas de objetos (aqueles invariantes sob a projeção central) e, ao basear sua teoria no pólo concreto e na relação polar em relação a um círculo, estabeleceu uma relação entre as propriedades métricas e projetivas. As geometrias não euclidianas descobertas logo depois disso foram eventualmente demonstradas como tendo modelos, como o modelo de espaço hiperbólico de Klein , relacionados à geometria projetiva.

Em 1855, AF Möbius escreveu um artigo sobre permutações, agora chamadas de transformações de Möbius , de círculos generalizados no plano complexo . Essas transformações representam as projetividades da linha projetiva complexa . No estudo das linhas no espaço, Julius Plücker usou coordenadas homogêneas em sua descrição, e o conjunto de linhas foi visto na quádrica de Klein , uma das primeiras contribuições da geometria projetiva para um novo campo chamado geometria algébrica , um desdobramento da geometria analítica com ideias projetivas.

A geometria projetiva foi instrumental na validação das especulações de Lobachevski e Bolyai a respeito da geometria hiperbólica , fornecendo modelos para o plano hiperbólico : por exemplo, o modelo do disco de Poincaré onde círculos generalizados perpendiculares ao círculo unitário correspondem a "linhas hiperbólicas" ( geodésica ), e as "traduções" desse modelo são descritas por transformações de Möbius que mapeiam o disco de unidade para si mesmo. A distância entre os pontos é dada por uma métrica de Cayley-Klein , conhecida por ser invariante nas translações, uma vez que depende da razão cruzada , um invariante projetivo chave. As traduções são descritas de várias maneiras como isometrias na teoria do espaço métrico , como transformações fracionárias lineares formalmente e como transformações lineares projetivas do grupo linear projetivo , neste caso SU (1, 1) .

O trabalho de Poncelet , Jakob Steiner e outros não pretendia estender a geometria analítica. As técnicas deveriam ser sintéticas : na verdade , o espaço projetivo, como agora entendido, deveria ser introduzido axiomaticamente. Como resultado, reformular o trabalho inicial em geometria projetiva para que satisfaça os padrões atuais de rigor pode ser um tanto difícil. Mesmo no caso do plano projetivo sozinho, a abordagem axiomática pode resultar em modelos não descritíveis via álgebra linear .

Este período na geometria foi ultrapassado pela pesquisa sobre a curva algébrica geral por Clebsch , Riemann , Max Noether e outros, que ampliou as técnicas existentes, e depois pela teoria invariante . No final do século, a escola italiana de geometria algébrica ( Enriques , Segre , Severi ) saiu do assunto tradicional para uma área que exigia técnicas mais profundas.

Durante a última parte do século 19, o estudo detalhado da geometria projetiva tornou-se menos na moda, embora a literatura seja volumosa. Algum trabalho importante foi feito em geometria enumerativa em particular, por Schubert, que agora é considerado como uma antecipação da teoria das classes de Chern , tidas como representando a topologia algébrica de Grassmannianos .

Paul Dirac estudou geometria projetiva e a usou como base para desenvolver seus conceitos de mecânica quântica , embora seus resultados publicados estivessem sempre na forma algébrica. Veja um artigo no blog referente a um artigo e um livro sobre o assunto, também a uma palestra de Dirac para um público geral durante 1972 em Boston sobre geometria projetiva, sem especificações quanto à sua aplicação em sua física.

Descrição

A geometria projetiva é menos restritiva do que a geometria euclidiana ou a geometria afim . É uma geometria intrinsecamente não métrica , o que significa que os fatos são independentes de qualquer estrutura métrica. Sob as transformações projetivas, a estrutura de incidência e a relação dos conjugados harmônicos projetivos são preservadas. Uma gama projetiva é a base unidimensional. A geometria projetiva formaliza um dos princípios centrais da arte em perspectiva: que as linhas paralelas se encontram no infinito e, portanto, são desenhadas dessa forma. Em essência, uma geometria projetiva pode ser pensada como uma extensão da geometria euclidiana em que a "direção" de cada linha é subsumida dentro da linha como um "ponto" extra, e no qual um "horizonte" de direções correspondentes a linhas coplanares é considerada uma "linha". Assim, duas linhas paralelas se encontram em uma linha do horizonte em virtude de incorporarem a mesma direção.

As direções idealizadas são chamadas de pontos no infinito, enquanto os horizontes idealizados são chamados de linhas no infinito. Por sua vez, todas essas linhas estão no plano do infinito. No entanto, infinito é um conceito métrico, então uma geometria puramente projetiva não destaca nenhum ponto, linha ou plano a este respeito - aqueles no infinito são tratados como quaisquer outros.

Como uma geometria euclidiana está contida em uma geometria projetiva - com a geometria projetiva tendo uma base mais simples - os resultados gerais na geometria euclidiana podem ser derivados de uma maneira mais transparente, onde teoremas separados, mas semelhantes, da geometria euclidiana podem ser tratados coletivamente dentro da estrutura da geometria euclidiana geometria. Por exemplo, linhas paralelas e não paralelas não precisam ser tratadas como casos separados; em vez disso, um plano projetivo arbitrário é escolhido como o plano ideal e localizado "no infinito" usando coordenadas homogêneas .

Propriedades adicionais de importância fundamental incluem o Teorema de Desargues e o Teorema de Pappus . Em espaços projetivos de dimensão 3 ou maior existe uma construção que permite provar o Teorema de Desargues . Mas para a dimensão 2, ela deve ser postulada separadamente.

Usando o Teorema de Desargues , combinado com os outros axiomas, é possível definir as operações básicas da aritmética, geometricamente. As operações resultantes satisfazem os axiomas de um campo - exceto que a comutatividade da multiplicação requer o teorema do hexágono de Pappus . Como resultado, os pontos de cada linha estão em correspondência um a um com um determinado campo, F , suplementado por um elemento adicional, ∞, de modo que r ⋅ ∞ = ∞ , −∞ = ∞ , r + ∞ = ∞ , r / 0 = ∞ , r / ∞ = 0 , ∞ - r = r - ∞ = ∞ , excepto que 0/0 , ∞ / ∞ , ∞ + ∞ , ∞ - ∞ , 0 ⋅ ∞ e ∞ ⋅ 0 indefinidos .

A geometria projetiva também inclui uma teoria completa das seções cônicas , um assunto também amplamente desenvolvido na geometria euclidiana. Há vantagens em ser capaz de pensar em uma hipérbole e uma elipse diferenciadas apenas pelo modo como a hipérbole se encontra ao longo da linha no infinito ; e que uma parábola se distingue apenas por ser tangente à mesma linha. Toda a família de círculos pode ser considerada como cônicas passando por dois pontos dados na linha no infinito - ao custo de exigir coordenadas complexas . Como as coordenadas não são "sintéticas", substitui-se fixando uma reta e dois pontos sobre ela, e considerando o sistema linear de todas as cônicas que passam por esses pontos como objeto básico de estudo. Este método se mostrou muito atraente para geômetras talentosos, e o tópico foi estudado exaustivamente. Um exemplo desse método é o tratado de vários volumes de HF Baker .

Existem muitas geometrias projetivas, que podem ser divididas em discretas e contínuas: uma geometria discreta compreende um conjunto de pontos, que podem ou não ser finitos em número, enquanto uma geometria contínua tem infinitos pontos sem lacunas entre eles.

A única geometria projetiva de dimensão 0 é um único ponto. Uma geometria projetiva de dimensão 1 consiste em uma única linha contendo pelo menos 3 pontos. A construção geométrica de operações aritméticas não pode ser realizada em nenhum desses casos. Para a dimensão 2, existe uma estrutura rica em virtude da ausência do Teorema de Desargues .

O plano Fano é o plano projetivo com menos pontos e linhas.

A menor geometria projetiva bidimensional (aquela com menos pontos) é o plano de Fano , que possui 3 pontos em cada linha, com 7 pontos e 7 linhas ao todo, tendo as seguintes colinearidades:

  • [ABC]
  • [ADE]
  • [AFG]
  • [BDG]
  • [BEF]
  • [CDF]
  • [CEG]

com coordenadas homogêneas A = (0,0,1) , B = (0,1,1) , C = (0,1,0) , D = (1,0,1) , E = (1,0, 0) , F = (1,1,1) , G = (1,1,0) , ou, em coordenadas afins, A = (0,0) , B = (0,1) , C = (∞) , D = (1,0) , E = (0) , F = (1,1) e G = (1) . As coordenadas afins em um plano Desarguesiano para os pontos designados como pontos no infinito (neste exemplo: C, E e G) podem ser definidas de várias outras maneiras.

Na notação padrão, uma geometria projetiva finita é escrita PG ( a , b ) onde:

a é a dimensão projetiva (ou geométrica), e
b é um a menos que o número de pontos em uma linha (chamada de ordem da geometria).

Assim, o exemplo com apenas 7 pontos é escrito PG (2, 2) .

O termo "geometria projetiva" é usado às vezes para indicar a geometria abstrata generalizada subjacente, e às vezes para indicar uma geometria particular de amplo interesse, como a geometria métrica do espaço plano que analisamos através do uso de coordenadas homogêneas , e na qual euclidiana a geometria pode ser embutida (daí seu nome, Plano Euclidiano estendido ).

A propriedade fundamental que destaca todas as geometrias projectiva é o elíptica incidência propriedade que quaisquer duas linhas distintas L e M no plano projectiva intersectam-se exactamente um ponto P . O caso especial em geometria analítica de linhas paralelas é subsumido na forma mais suave de uma linha no infinito na qual P se encontra. A linha no infinito é, portanto, uma linha como qualquer outra na teoria: não é de forma alguma especial ou distinta. (No espírito posterior do programa Erlangen, pode-se apontar para a maneira como o grupo de transformações pode mover qualquer linha até a linha do infinito ).

As propriedades paralelas das geometrias elíptica, euclidiana e hiperbólica contrastam da seguinte forma:

Dada uma linha le um ponto P que não está na linha,
Elíptico
não existe nenhuma linha através de P que não atenda a l
Euclidiana
existe exatamente uma linha através de P que não atende a l
Hiperbólico
existe mais de uma linha através de P que não atende a l

A propriedade paralela da geometria elíptica é a ideia-chave que leva ao princípio da dualidade projetiva, possivelmente a propriedade mais importante que todas as geometrias projetivas têm em comum.

Dualidade

Em 1825, Joseph Gergonne observou o princípio da dualidade caracterizando a geometria plana projetiva: dado qualquer teorema ou definição dessa geometria, substituindo ponto por linha , mentir por passagem , colinear por concorrente , interseção por junção , ou vice-versa, resulta em outro teorema ou definição válida, o "dual" do primeiro. Da mesma forma, em 3 dimensões, a relação de dualidade se mantém entre pontos e planos, permitindo que qualquer teorema seja transformado pela troca de ponto e plano, é contido por e contém. De forma mais geral, para espaços projetivos de dimensão N, há uma dualidade entre os subespaços de dimensão R e dimensão N − R − 1. Para N = 2, isso se especializa na forma de dualidade mais comumente conhecida - aquela entre pontos e linhas. O princípio da dualidade também foi descoberto independentemente por Jean-Victor Poncelet .

Para estabelecer a dualidade, basta estabelecer teoremas, que são as versões duais dos axiomas para a dimensão em questão. Assim, para espaços tridimensionais, é necessário mostrar que (1 *) cada ponto encontra-se em 3 planos distintos, (2 *) cada dois planos se cruzam em uma linha única e uma versão dupla de (3 *) para o efeito: se a intersecção dos planos P e Q é coplanar com a intersecção dos planos R e S, então o são as respectivas intersecções dos planos P e R, Q e S (assumindo que os planos P e S são distintos de Q e R).

Na prática, o princípio da dualidade nos permite estabelecer uma correspondência dual entre duas construções geométricas. O mais famoso deles é a polaridade ou reciprocidade de duas figuras em uma curva cônica (em 2 dimensões) ou em uma superfície quádrica (em 3 dimensões). Um exemplo comum é encontrado na reciprocidade de um poliedro simétrico em uma esfera concêntrica para obter o poliedro dual.

Outro exemplo é o teorema de Brianchon , o dual do já mencionado teorema de Pascal , e uma de cujas provas consiste simplesmente em aplicar o princípio da dualidade ao de Pascal. Aqui estão as declarações comparativas desses dois teoremas (em ambos os casos dentro da estrutura do plano projetivo):

  • Pascal: Se todos os seis vértices de um hexágono estão em uma cônica , então as interseções de seus lados opostos (considerados como linhas completas, já que no plano projetivo não existe algo como um "segmento de linha") são três pontos colineares. A linha que os une é então chamada de linha Pascal do hexágono.
  • Brianchon: Se todos os seis lados de um hexágono são tangentes a uma cônica, então suas diagonais (ou seja, as linhas que unem vértices opostos) são três linhas concorrentes. Seu ponto de intersecção é então chamado de ponto de Brianchon do hexágono.
(Se a cônica degenera em duas linhas retas, a de Pascal se torna o teorema de Pappus , que não tem dual interessante, uma vez que o ponto de Brianchon trivialmente se torna o ponto de intersecção das duas linhas.)

Axiomas da geometria projetiva

Qualquer geometria dada pode ser deduzida de um conjunto apropriado de axiomas . As geometrias projetivas são caracterizadas pelo axioma "paralelo elíptico", segundo o qual quaisquer dois planos sempre se encontram em apenas uma linha , ou no plano, quaisquer duas linhas sempre se encontram em apenas um ponto. Em outras palavras, não existem linhas paralelas ou planos na geometria projetiva.

Muitos conjuntos alternativos de axiomas para geometria projetiva foram propostos (ver por exemplo Coxeter 2003, Hilbert & Cohn-Vossen 1999, Greenberg 1980).

Axiomas de Whitehead

Esses axiomas são baseados em Whitehead , "The Axioms of Projective Geometry". Existem dois tipos, pontos e linhas, e uma relação de "incidência" entre pontos e linhas. Os três axiomas são:

  • G1: Cada linha contém pelo menos 3 pontos
  • G2: Cada dois pontos distintos, A e B, encontram-se em uma única linha, AB.
  • G3: Se as linhas AB e CD se cruzam, então o mesmo acontece com as linhas AC e BD (onde é assumido que A e D são distintos de B e C).

O motivo pelo qual se presume que cada linha contém pelo menos 3 pontos é para eliminar alguns casos degenerados. Os espaços que satisfazem esses três axiomas ou têm no máximo uma linha, ou são espaços projetivos de alguma dimensão sobre um anel de divisão , ou são planos não Desarguesianos .

Axiomas adicionais

Pode-se adicionar outros axiomas restringindo a dimensão ou o anel de coordenadas. Por exemplo, a Geometria Projetiva de Coxeter , faz referência a Veblen nos três axiomas acima, junto com outros 5 axiomas que tornam a dimensão 3 e o anel coordenado um campo comutativo de característica não 2.

Axiomas usando uma relação ternária

Pode-se buscar a axiomatização postulando uma relação ternária, [ABC] para denotar quando três pontos (nem todos necessariamente distintos) são colineares. Uma axiomatização também pode ser escrita em termos desta relação:

  • C0: [ABA]
  • C1: Se A e B são dois pontos tais que [ABC] e [ABD], então [BDC]
  • C2: Se A e B são dois pontos, então há um terceiro ponto C tal que [ABC]
  • C3: Se A e C são dois pontos, B e D também, com [BCE], [ADE], mas não [ABE], então há um ponto F tal que [ACF] e [BDF].

Para dois pontos diferentes, A e B, a linha AB é definida como consistindo em todos os pontos C para os quais [ABC]. Os axiomas C0 e C1 fornecem então uma formalização de G2; C2 para G1 e C3 para G3.

O conceito de linha se generaliza para planos e subespaços de dimensões superiores. Um subespaço, AB ... XY pode, portanto, ser recursivamente definido em termos do subespaço AB ... X como aquele que contém todos os pontos de todas as linhas YZ, como Z varia sobre AB ... X. A colinearidade então se generaliza para a relação de "independência". Um conjunto {A, B, ..., Z} de pontos é independente, [AB ... Z] se {A, B, ..., Z} é um subconjunto gerador mínimo para o subespaço AB ... Z .

Os axiomas projetivos podem ser suplementados por outros axiomas que postulam limites na dimensão do espaço. A dimensão mínima é determinada pela existência de um conjunto independente do tamanho necessário. Para as dimensões mais baixas, as condições relevantes podem ser estabelecidas de forma equivalente como segue. Um espaço projetivo é de:

  • (L1) pelo menos dimensão 0 se tiver pelo menos 1 ponto,
  • (L2) pelo menos dimensão 1 se tiver pelo menos 2 pontos distintos (e, portanto, uma linha),
  • (L3) pelo menos dimensão 2 se tiver pelo menos 3 pontos não colineares (ou duas linhas, ou uma linha e um ponto que não está na linha),
  • (L4) pelo menos dimensão 3 se tiver pelo menos 4 pontos não coplanares.

A dimensão máxima também pode ser determinada de maneira semelhante. Para as dimensões mais baixas, eles assumem as seguintes formas. Um espaço projetivo é de:

  • (M1) no máximo dimensão 0 se não tiver mais de 1 ponto,
  • (M2) no máximo dimensão 1 se não tiver mais de 1 linha,
  • (M3) no máximo dimensão 2 se não tiver mais de 1 plano,

e assim por diante. É um teorema geral (uma consequência do axioma (3)) que todas as linhas coplanares se cruzam - o próprio princípio que a Geometria Projetiva foi originalmente criada para incorporar. Portanto, a propriedade (M3) pode ser afirmada de forma equivalente que todas as linhas se cruzam.

É geralmente assumido que os espaços projetivos têm pelo menos dimensão 2. Em alguns casos, se o foco está em planos projetivos, uma variante de M3 pode ser postulada. Os axiomas de (Eves 1997: 111), por exemplo, incluem (1), (2), (L3) e (M3). O axioma (3) torna-se vacuamente verdadeiro em (M3) e, portanto, não é necessário neste contexto.

Axiomas para planos projetivos

Na geometria de incidência , a maioria dos autores dá um tratamento que envolve o plano de Fano PG (2, 2) como o menor plano projetivo finito. Um sistema de axioma que consegue isso é o seguinte:

  • (P1) Quaisquer dois pontos distintos encontram-se em uma única linha.
  • (P2) Quaisquer duas linhas distintas se encontram em um único ponto.
  • (P3) Existem pelo menos quatro pontos dos quais três não são colineares.

A Introdução à Geometria de Coxeter fornece uma lista de cinco axiomas para um conceito mais restritivo de um plano projetivo atribuído a Bachmann, adicionando o teorema de Pappus à lista de axiomas acima (que elimina planos não Desarguesianos ) e excluindo planos projetivos sobre campos de característica 2 ( aquelas que não satisfazem o axioma de Fano). Os planos restritos dados dessa maneira se assemelham mais ao plano projetivo real .

Perspectividade e projetividade

Dados três pontos não colineares , há três linhas conectando-os, mas com quatro pontos, não três colineares, há seis linhas conectantes e três "pontos diagonais" adicionais determinados por suas interseções. A ciência da geometria projetiva captura esse excedente determinado por quatro pontos por meio de uma relação quaternária e das projetividades que preservam a configuração quadrangular completa .

Um quádruplo harmônico de pontos em uma linha ocorre quando há um quadrilátero completo, dois dos quais os pontos da diagonal estão na primeira e na terceira posição do quádruplo e as outras duas posições são pontos nas linhas que unem dois pontos do quadrilátero através do terceiro ponto diagonal .

A perspectividade espacial de uma configuração projetiva em um plano produz tal configuração em outro, e isso se aplica à configuração do quadrilátero completo. Assim, os quádruplos harmônicos são preservados pela perspectividade. Se uma perspectiva segue a outra, as configurações seguem junto. A composição de duas perspectividades não é mais uma perspectividade, mas uma projetividade .

Enquanto os pontos correspondentes de uma perspectividade convergem todos em um ponto, essa convergência não é verdadeira para uma projetividade que não é uma perspectividade. Em geometria projetiva, a interseção de linhas formadas por pontos correspondentes de uma projetividade em um plano são de particular interesse. O conjunto dessas interseções é denominado cônica projetiva e, em reconhecimento ao trabalho de Jakob Steiner , é denominado cônica de Steiner .

Suponha que uma projetividade seja formada por duas perspectivas centradas nos pontos A e B , relacionando x com X por um intermediário p :

A projetividade é, então, dada a projetividade, a cônica induzida é

Dada uma cônica C e um ponto P que não está nela, duas linhas secantes distintas passando por P intersectam C em quatro pontos. Esses quatro pontos determinam um quadrilátero do qual P é um ponto diagonal. A linha que passa pelos outros dois pontos diagonais é chamada de polar de P e P é o pólo dessa linha. Alternativamente, a linha polar de P é o conjunto de conjugados de harmónicas projectiva de P em uma linha secante variável de passagem P e C .

Veja também

Notas

Referências

links externos