Linha no infinito - Line at infinity
Na geometria e topologia , a linha no infinito é uma linha projectiva que é adicionado para o (afim) verdadeiro avião , a fim de dar ao fecho, e remover os casos excepcionais, a partir dos incidência propriedades do resultante plano projectiva . A linha no infinito também é chamado de linha ideal .
formulação geométrica
Na geometria projetiva, qualquer par de linhas sempre se cruza em algum momento, mas paralelas linhas não se cruzam no plano real. A linha no infinito é adicionado ao plano real. Isto completa o plano, porque agora linhas paralelas intersectam-se num ponto que fica sobre a linha no infinito. Além disso, se qualquer par de linhas intersectam-se num ponto na linha no infinito, em seguida, o par de linhas são paralelas.
Cada linha cruza a linha no infinito em algum ponto. O ponto em que as linhas paralelas se cruzam depende apenas da inclinação das linhas, não é de todo na sua intercepção y .
No plano afim, uma linha estende-se em duas direcções opostas. No plano projectiva, os dois sentidos opostos de uma linha de encontro uns aos outros num ponto sobre a linha no infinito. Portanto, as linhas no plano projectiva são curvas fechadas , isto é, eles são cíclicos e não lineares. Isto é verdade para a linha em si infinito; ela encontra-se nas suas duas extremidades (que, por conseguinte, não são, na verdade, todos os terminais no) e por isso é, na verdade, cíclica.
perspectiva topológica
A linha no infinito pode ser visualizado como um círculo, que envolve o plano afim. No entanto, pontos diametralmente opostos do círculo são equivalentes, eles são o mesmo ponto. A combinação do avião afim e a linha no infinito torna o plano projetivo verdadeira , .
Uma hipérbole pode ser visto como uma curva fechada que intersecta a linha no infinito em dois pontos diferentes. Estes dois pontos são especificados pelas encostas das duas assíntotas da hipérbole. Da mesma forma, uma parábola pode ser visto como uma curva fechada que intersecta a linha no infinito num único ponto. Este ponto é especificado pela inclinação do eixo da parábola. Se a parábola é cortado por seu vértice para um par simétrico de "pontas", em seguida, esses dois cornos tornar-se mais paralelo uns aos outros mais longe a partir do vértice, e são, na verdade, paralelas ao eixo e para o outro no infinito, de modo que eles cruzam-se na linha no infinito.
O análogo para o plano projectiva complexo é uma 'linha' no infinito, que é (naturalmente) um complexo linha projectiva . Topologicamente este é bastante diferente, na medida em que é uma esfera de Riemann , que é, por conseguinte, um 2- esfera , sendo adicionados a um espaço afim complexo de duas dimensões mais de C (assim quatro reais dimensões), o que resulta em um de quatro dimensões compactas colector . O resultado é orientável , enquanto o plano projetivo real não é.
História
A linha de complexo no infinito foi muito usada na geometria do século XIX. Na verdade, um dos truques mais aplicada foi a de considerar um círculo como um cónica constrangido a passar através de dois pontos no infinito, as soluções de
- X 2 + Y 2 = 0.
Esta equação é a forma tomada por que de qualquer círculo quando cair termos de ordem inferior em X e Y . Mais formalmente, devemos usar coordenadas homogêneas
- [ X: Y: Z ]
e verificar que a linha no infinito é especificado através da definição
- Z = 0.
Fazendo equações homogéneas através da introdução de poderes de Z , e em seguida, definindo Z = 0, n elimina precisamente termos de ordem inferior.
Resolver a equação, portanto, vemos que todos os círculos 'atravessar' os pontos circulares no infinito
- I = [1: i : 0] e J = [1: - i : 0].
Estes são, naturalmente, pontos complexos, para qualquer conjunto que representa de coordenadas homogêneas. Uma vez que o plano projetivo tem um grande o suficiente grupo de simetria , eles não são de forma especial, embora. A conclusão é de que a família de três parâmetros de círculos pode ser tratada como um caso especial do sistema linear de cónicas que passam através de duas dadas pontos distintos P e Q .