Aponte para o infinito - Point at infinity
Em geometria , um ponto no infinito ou ponto ideal é um ponto limite idealizado no "final" de cada linha.
No caso de um plano afim (incluindo o plano euclidiano ), existe um ponto ideal para cada pencil de retas paralelas do plano. A junção desses pontos produz um plano projetivo , no qual nenhum ponto pode ser distinguido, se "esquecermos" quais pontos foram adicionados. Isso vale para uma geometria sobre qualquer campo e, mais geralmente, sobre qualquer anel de divisão .
No caso real, um ponto no infinito completa uma linha em uma curva fechada topologicamente. Em dimensões superiores, todos os pontos no infinito formam um subespaço projetivo de uma dimensão menor que o de todo o espaço projetivo ao qual pertencem. Um ponto no infinito também pode ser adicionado à linha complexa (que pode ser considerada o plano complexo), transformando-a em uma superfície fechada conhecida como linha projetiva complexa, C P 1 , também chamada de esfera de Riemann (quando complexa números são mapeados para cada ponto).
No caso de um espaço hiperbólico , cada linha possui dois pontos ideais distintos . Aqui, o conjunto de pontos ideais assume a forma de uma quádrica .
Geometria afim
Em um espaço afim ou euclidiano de dimensão superior, os pontos no infinito são os pontos que são adicionados ao espaço para obter a conclusão projetiva . O conjunto dos pontos no infinito é denominado, dependendo da dimensão do espaço, da linha do infinito , do plano do infinito ou do hiperplano do infinito , em todos os casos um espaço projetivo de uma dimensão a menos.
Como um espaço projetivo sobre um campo é uma variedade algébrica suave , o mesmo se aplica ao conjunto de pontos no infinito. Da mesma forma, se o campo fundamental é o campo real ou complexo, o conjunto de pontos no infinito é uma variedade .
Perspectiva
No desenho artístico e na perspectiva técnica, a projeção no plano do quadro do ponto no infinito de uma classe de linhas paralelas é chamada de ponto de fuga .
Geometria hiperbólica
Na geometria hiperbólica , os pontos no infinito são normalmente chamados de pontos ideais . Ao contrário das geometrias euclidiana e elíptica , cada linha tem dois pontos no infinito: dada uma linha le um ponto P não em l , os paralelos limitantes direito e esquerdo convergem assintoticamente para diferentes pontos no infinito.
Todos os pontos no infinito juntos formam o Cayley absoluto ou limite de um plano hiperbólico .
Geometria projetiva
Uma simetria de pontos e linhas surge em um plano projetivo: assim como um par de pontos determina uma linha, um par de linhas determina um ponto. A existência de linhas paralelas leva ao estabelecimento de um ponto no infinito que representa a interseção desses paralelos. Esta simetria axiomática surgiu de um estudo da perspectiva gráfica, onde uma projeção paralela surge como uma projeção central onde o centro C é um ponto no infinito, ou ponto figurativo . A simetria axiomática de pontos e linhas é chamada de dualidade .
Embora um ponto no infinito seja considerado no mesmo nível de qualquer outro ponto de uma faixa projetiva , na representação de pontos com coordenadas projetivas , a distinção é notada: os pontos finitos são representados com um 1 na coordenada final, enquanto um ponto no infinito tem um 0 lá. A necessidade de representar pontos no infinito requer que uma coordenada extra além do espaço de pontos finitos seja necessária.
Outras generalizações
Esta construção pode ser generalizada para espaços topológicos . Podem existir diferentes compactações para um determinado espaço, mas o espaço topológico arbitrário admite a extensão de Alexandroff , também chamada de compactação de um ponto, quando o espaço original não é ele próprio compacto . A linha projetiva (sobre o campo arbitrário) é a extensão Alexandroff do campo correspondente. Assim, o círculo é a compactação de um ponto da linha real , e a esfera é a compactação de um ponto do plano. Espaços projetivos P n para n > 1 não são compactações de um ponto de espaços afins correspondentes pela razão mencionada acima em § Geometria afim , e completações de espaços hiperbólicos com pontos ideais também não são compactificações de um ponto.