Hasse-Arf teorema - Hasse–Arf theorem

Em matemática , especificamente na teoria do campo classe local , o teorema de Hasse-Arf é um resultado sobre saltos da numeração superior filtração do grupo de Galois de um finito extensão Galois . Um caso especial de que quando os campos de resíduos são finitos foi originalmente provado por Helmut Hasse , e o resultado geral foi provado por Cahit Arf .

Declaração

grupos de ramificação mais elevados

As promoções teorema com os grupos com números mais altos superiores ramificação de um finito extensão abeliano L / K . Então assumir L / K é uma extensão de Galois finito, e que v _K é uma avaliação normalizada discreta de K , cujo campo resíduo tem característica p  > 0, e que admite uma extensão única de L , digamos w . Denotam por v _L a avaliação normalizada associada ew de L e deixar ser o anel de valorização de L sob v _L . Deixe- L / K tem grupo de Galois G e definir o s grupo -ésimo ramificação de L / K para qualquer verdadeira s  ≥ -1 pela ${\ Displaystyle \ scriptstyle {\ mathcal {O}}}$

${\ Displaystyle G_ {s} (L / K) = \ {\ sigma \ em L \,: \, v_ {L} (\ sigma aa) \ GEQ s + 1 {\ texto {para todos}} a \ in {\ mathcal {O}} \}.}$

Assim, por exemplo, L _-1 é o grupo de Galois G . Para passar para a numeração superior tem de se definir a função ψ _{L / K} , que por sua vez é o inverso da função de η _{L / K} definida pela

${\ Displaystyle \ eta _ {L / K} (s) = \ int _ {0} ^ {s} {\ frac {dx} {| G_ {0}:. G_ {x} |}}}$

A numeração superior dos grupos de ramificação é então definido por L ^T ( L / K ) =  G _s ( L / K ) onde s  =  vF _{L / K} ( t ).

Estes grupos de ramificação mais elevados L ^t ( L / K ) são definidos por qualquer verdadeira t  ≥ -1, mas uma vez que v _L é um valor discreto, os grupos serão alterados em saltos discretos e não continuamente. Assim, dizemos que t é um salto da filtração { G ^t ( L / K ):  t  ≥ -1} if G ^t ( L / K ) ≠  G ^u ( L / K ) para qualquer u  >  t . O teorema de Hasse-Arf nos diz a natureza aritmética desses saltos

Declaração do teorema

Com o acima definido acima, o teorema indica que os saltos da filtração { G ^t ( L / K ):  t  ≥ -1} são todos números inteiros racionais .

Exemplo

Suponhamos que L é cíclico de ordem , característica resíduo e ser o subgrupo de de fim . O teorema diz que existem inteiros positivos tais que ${\ Displaystyle ^ p {n}}$${\ Displaystyle p}$${\ Displaystyle L (i)}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle p ^ {ni}}$${\ Displaystyle i_ {0}, i_ {1}, ..., i_ {n-1}}$

${\ Displaystyle G_ {0} = \ cdots = G_ {i_ {0}} = L = L ^ {0} = \ cdots = L ^ i_ {{0}}}$

${\ Displaystyle G_ {i_ {0} 1} = \ cdots = G_ {i_ {0} + pi_ {1}} = G (1) = L ^ i_ {{0} 1} = \ cdots = L ^ {i_ {0} + i_ {1}}}$

${\ Displaystyle G_ {i_ {0} + pi_ {1} 1} = \ cdots = G_ {i_ {0} + pi_ {1} + p ^ {2} i_ {2}} = L (2) = L ^ i_ {{0} + i_ {1} 1}}$

...

${\ Displaystyle G_ {i_ {0} + pi_ {1} + \ cdots + p ^ {n-1} {i_ n-1} 1} = 1 = L ^ i_ {{0} + \ cdots + {i_ n-1} 1}.}$

extensões não-abelianos

Para extensões não-abelianos os saltos na filtração superior não precisa ser em números inteiros. Serre deu um exemplo de uma extensão totalmente ramificado com grupo de Galois o grupo Quatérnion Q ₈ da ordem de 8 com

• L ₀ = Q ₈
• L ₁ = Q ₈
• L ₂ = Z / 2 Z
• L ₃ = Z / 2 Z
• L ₄ = 1

A numeração superior, em seguida, satisfaz

• L ⁿ = Q ₈ para n ≤1
• L ⁿ = Z / 2 Z para uma < n ≤3 / 2
• L ⁿ = 1 para 3/2 < N

por isso tem um salto para o valor não-integral n = 2/3

Notas

Referências

• Neukirch, Jürgen (1999). Algébrica Teoria dos Números . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften . 322 . Berlin: Springer-Verlag. ISBN  978-3-540-65399-8 . MR  1.697.859 . ZBL  0.956,11021 .
• Serre, Jean-Pierre (1979), local Campos , Graduate Texts in Mathematics, 67 , traduzido por Greenberg, Marvin Jay , Springer-Verlag , ISBN  0-387-90424-7 , MR  0554237 , Zbl  0.423,12016