Teoria de campo da classe local - Local class field theory

Em matemática , a teoria de campo de classe local , introduzida por Helmut Hasse , é o estudo de extensões abelianas de campos locais ; aqui, "campo local" significa um campo que é completo em relação a um valor absoluto ou uma avaliação discreta com um campo residual finito: portanto, todo campo local é isomórfico (como um campo topológico) aos números reais R , os números complexos C , uma extensão finita dos números p -ádicos Q p (onde p é qualquer número primo ), ou uma extensão finita do campo da série formal de Laurent F q (( T )) sobre um corpo finito F q .

Abordagens para a teoria de campo de classe local

A teoria de campo de classe local fornece uma descrição do grupo de Galois G da extensão abeliana máxima de um campo local K por meio do mapa de reciprocidade que atua a partir do grupo multiplicativo K × = K \ {0}. Para uma extensão abeliana finita L de K, o mapa de reciprocidade induz um isomorfismo do grupo quociente K × / N ( L × ) de K × pelo grupo de normas N ( L × ) da extensão L × ao grupo de Galois Gal ( L / K ) da extensão.

O teorema de existência na teoria do campo classe local estabelece uma correspondência de um-para-um entre subgrupos abertos de índice finito no grupo multiplicativo K × e extensões abelianos finitos do campo K . Para uma extensão abeliana finita L de K, o subgrupo aberto correspondente de índice finito é o grupo de normas N ( L × ). O mapa de reciprocidade envia grupos superiores de unidades para subgrupos de ramificação superior, ver, por exemplo, cap. IV de.

Usando o mapa de reciprocidade local, define-se o símbolo de Hilbert e suas generalizações. Encontrar fórmulas explícitas para isso é uma das subdirecções da teoria dos campos locais, tem uma longa e rica história, ver, por exemplo, a crítica de Sergei Vostokov .

Existem abordagens cohomológicas e abordagens não cohomológicas para a teoria de campo de classe local. As abordagens cohomológicas tendem a ser não explícitas, uma vez que usam o produto da xícara dos primeiros grupos de cohomologia de Galois.

Para várias abordagens da teoria de campo de classe local, consulte o cap. IV e seita. 7 Ch. IV de Eles incluem a abordagem de Hasse de usar o grupo Brauer, abordagens cohomológicas , os métodos explícitos de Jürgen Neukirch , Michiel Hazewinkel , a teoria de Lubin-Tate e outros.

Generalizações da teoria de campo da classe local

Generalizações da teoria de campo de classe local para campos locais com campo de resíduos quase finitos foram extensões fáceis da teoria, obtida por G. Whaples na década de 1950, ver capítulo V de.

A teoria de campo de classe p explícita para campos locais com campos de resíduos perfeitos e imperfeitos que não são finitos tem que lidar com a nova questão de grupos de normas de índice infinito. Teorias apropriadas foram construídas por Ivan Fesenko . A teoria de campo de classe local não comutativa de Fesenko para extensões aritmeticamente profinitas de Galois de campos locais estuda o mapa de cociclo de reciprocidade local apropriado e suas propriedades. Esta teoria aritmética pode ser vista como uma alternativa à correspondência local de Langlands teórica da representação.

Teoria de campo de classe local superior

Para um campo local de dimensão superior, há um mapa de reciprocidade local superior que descreve extensões abelianas do campo em termos de subgrupos abertos de índice finito no grupo K de Milnor do campo. Ou seja, se for um campo local bidimensional, então se usa ou seu quociente separado dotado de uma topologia adequada. Quando a teoria se torna a teoria de campo de classe local usual. Ao contrário do caso clássico, os grupos K de Milnor não satisfazem a descida do módulo de Galois se . A teoria geral do campo da classe local de dimensão superior foi desenvolvida por K. Kato e I. Fesenko .

Teoria de campo de classe local superior é parte da teoria de campo de classe superior que estuda extensões abelianas (resp. Coberturas abelianas) de campos de função racionais de esquemas regulares adequados planos sobre inteiros.

Veja também

Referências

Leitura adicional