Função de Green (teoria de muitos corpos) - Green's function (many-body theory)

Na teoria de muitos corpos , o termo função de Green (ou função de Green ) às vezes é usado alternadamente com função de correlação , mas se refere especificamente a correlacionadores de operadores de campo ou operadores de criação e aniquilação .

O nome vem das funções de Green usadas para resolver equações diferenciais não homogêneas , com as quais estão vagamente relacionadas. (Especificamente, apenas as 'funções de Green' de dois pontos no caso de um sistema sem interação são funções de Green no sentido matemático; o operador linear que eles invertem é o operador Hamiltoniano , que no caso de não interação é quadrático no Campos.)

Caixa espacialmente uniforme

Definições básicas

Consideramos uma teoria de muitos corpos com operador de campo (operador de aniquilação escrito na base de posição) . ${\ displaystyle \ psi (\ mathbf {x})}$

Os operadores Heisenberg podem ser escritos em termos de operadores Schrödinger como

${\ displaystyle \ psi (\ mathbf {x}, t) = \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} Kt} \ psi (\ mathbf {x}) \ mathrm {e} ^ {- \ mathrm {i } Kt},}$

e o operador de criação é , onde está o hamiltoniano grand-canônico . ${\ displaystyle {\ bar {\ psi}} (\ mathbf {x}, t) = [\ psi (\ mathbf {x}, t)] ^ {\ dagger}}$${\ displaystyle K = H- \ mu N}$

Da mesma forma, para os operadores de tempo imaginário ,

${\ displaystyle \ psi (\ mathbf {x}, \ tau) = \ mathrm {e} ^ {K \ tau} \ psi (\ mathbf {x}) \ mathrm {e} ^ {- K \ tau}}$

${\ displaystyle {\ bar {\ psi}} (\ mathbf {x}, \ tau) = \ mathrm {e} ^ {K \ tau} \ psi ^ {\ dagger} (\ mathbf {x}) \ mathrm { e} ^ {- K \ tau}.}$

[Observe que o operador de criação de tempo imaginário não é o conjugado hermitiano do operador de aniquilação .] ${\ displaystyle {\ bar {\ psi}} (\ mathbf {x}, \ tau)}$${\ displaystyle \ psi (\ mathbf {x}, \ tau)}$

Em tempo real, a função -point Green é definida por ${\ displaystyle 2n}$

${\ displaystyle G ^ {(n)} (1 \ ldots n \ mid 1 '\ ldots n') = i ^ {n} \ langle T \ psi (1) \ ldots \ psi (n) {\ bar {\ psi}} (n ') \ ldots {\ bar {\ psi}} (1') \ rangle,}$

onde usamos uma notação condensada em que significa e significa . O operador denota ordenação de tempo e indica que os operadores de campo que o seguem devem ser ordenados de forma que seus argumentos de tempo aumentem da direita para a esquerda. ${\ displaystyle j}$${\ displaystyle (\ mathbf {x} _ {j}, t_ {j})}$${\ displaystyle j '}$${\ displaystyle (\ mathbf {x} _ {j} ', t_ {j}')}$${\ displaystyle T}$

No tempo imaginário, a definição correspondente é

${\ displaystyle {\ mathcal {G}} ^ {(n)} (1 \ ldots n \ mid 1 '\ ldots n') = \ langle T \ psi (1) \ ldots \ psi (n) {\ bar { \ psi}} (n ') \ ldots {\ bar {\ psi}} (1') \ rangle,}$

onde significa . (As variáveis ​​de tempo imaginário são restritas à faixa de até a temperatura inversa .) ${\ displaystyle j}$${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {j}, \ tau _ {j}}$${\ displaystyle \ tau _ {j}}$${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle \ beta = {\ frac {1} {k_ {B} T}}}$

Nota sobre os sinais e normalização usados ​​nestas definições: Os sinais das funções de Green foram escolhidos de forma que a transformada de Fourier da função de Green térmica de dois pontos ( ) para uma partícula livre seja ${\ displaystyle n = 1}$

${\ displaystyle {\ mathcal {G}} (\ mathbf {k}, \ omega _ {n}) = {\ frac {1} {- \ mathrm {i} \ omega _ {n} + \ xi _ {\ mathbf {k}}}},}$

e a função verde retardada é

${\ displaystyle G ^ {\ mathrm {R}} (\ mathbf {k}, \ omega) = {\ frac {1} {- (\ omega + \ mathrm {i} \ eta) + \ xi _ {\ mathbf {k}}}},}$

Onde

${\ displaystyle \ omega _ {n} = {[2n + \ theta (- \ zeta)] \ pi} / {\ beta}}$

é a frequência de Matsubara .

Durante todo, é para bosões e para fermiones e designa quer um comutador ou anticommutator conforme apropriado. ${\ displaystyle \ zeta}$${\ displaystyle +1}$${\ displaystyle -1}$${\ displaystyle [\ ldots, \ ldots] = [\ ldots, \ ldots] _ {- \ zeta}}$

(Veja abaixo para detalhes.)

Funções de dois pontos

A função Green com um único par de argumentos ( ) é chamada de função de dois pontos ou propagador . Na presença de simetria translacional espacial e temporal, ele depende apenas da diferença de seus argumentos. Tomando a transformada de Fourier com relação ao espaço e ao tempo dá ${\ displaystyle n = 1}$

${\ displaystyle {\ mathcal {G}} (\ mathbf {x} \ tau \ mid \ mathbf {x} '\ tau') = \ int _ {\ mathbf {k}} d \ mathbf {k} {\ frac {1} {\ beta}} \ sum _ {\ omega _ {n}} {\ mathcal {G}} (\ mathbf {k}, \ omega _ {n}) \ mathrm {e} ^ {\ mathrm { i} \ mathbf {k} \ cdot (\ mathbf {x} - \ mathbf {x} ') - \ mathrm {i} \ omega _ {n} (\ tau - \ tau')},}$

onde a soma está acima das frequências Matsubara apropriadas (e a integral envolve um fator implícito de , como de costume). ${\ displaystyle (L / 2 \ pi) ^ {d}}$

Em tempo real, indicaremos explicitamente a função ordenada pelo tempo com um T sobrescrito:

${\ displaystyle G ^ {\ mathrm {T}} (\ mathbf {x} t \ mid \ mathbf {x} 't') = \ int _ {\ mathbf {k}} d \ mathbf {k} \ int { \ frac {\ mathrm {d} \ omega} {2 \ pi}} G ^ {\ mathrm {T}} (\ mathbf {k}, \ omega) \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} \ mathbf {k} \ cdot (\ mathbf {x} - \ mathbf {x} ') - \ mathrm {i} \ omega (t-t')}.}$

A função Green de dois pontos em tempo real pode ser escrita em termos de funções Green 'retardadas' e 'avançadas', que acabarão tendo propriedades de analiticidade mais simples. As funções verdes retardadas e avançadas são definidas por

${\ displaystyle G ^ {\ mathrm {R}} (\ mathbf {x} t \ mid \ mathbf {x} 't') = - \ mathrm {i} \ langle [\ psi (\ mathbf {x}, t ), {\ bar {\ psi}} (\ mathbf {x} ', t')] _ {\ zeta} \ rangle \ Theta (t-t ')}$

e

${\ displaystyle G ^ {\ mathrm {A}} (\ mathbf {x} t \ mid \ mathbf {x} 't') = \ mathrm {i} \ langle [\ psi (\ mathbf {x}, t) , {\ bar {\ psi}} (\ mathbf {x} ', t')] _ {\ zeta} \ rangle \ Theta (t'-t),}$

respectivamente.

Eles estão relacionados à função Green ordenada por tempo por

${\ displaystyle G ^ {\ mathrm {T}} (\ mathbf {k}, \ omega) = [1+ \ zeta n (\ omega)] G ^ {\ mathrm {R}} (\ mathbf {k}, \ omega) - \ zeta n (\ omega) G ^ {\ mathrm {A}} (\ mathbf {k}, \ omega),}$

Onde

${\ displaystyle n (\ omega) = {\ frac {1} {\ mathrm {e} ^ {\ beta \ omega} - \ zeta}}}$

é a função de distribuição de Bose – Einstein ou Fermi – Dirac .

Ordenação em tempo imaginário e β- periodicidade

As funções verdes térmicas são definidas apenas quando ambos os argumentos de tempo imaginário estão dentro do intervalo de . A função Green de dois pontos tem as seguintes propriedades. (Os argumentos de posição ou momento são suprimidos nesta seção.) ${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle \ beta}$

Em primeiro lugar, depende apenas da diferença dos tempos imaginários:

${\ displaystyle {\ mathcal {G}} (\ tau, \ tau ') = {\ mathcal {G}} (\ tau - \ tau').}$

O argumento pode ser executado de para . ${\ displaystyle \ tau - \ tau '}$${\ displaystyle - \ beta}$${\ displaystyle \ beta}$

Em segundo lugar, é (anti) periódico em turnos de . Por causa do pequeno domínio dentro do qual a função é definida, isso significa apenas ${\ displaystyle {\ mathcal {G}} (\ tau)}$${\ displaystyle \ beta}$

${\ displaystyle {\ mathcal {G}} (\ tau - \ beta) = \ zeta {\ mathcal {G}} (\ tau),}$

para . A ordenação do tempo é crucial para esta propriedade, o que pode ser comprovado diretamente, usando a ciclicidade da operação de rastreamento. ${\ displaystyle 0 <\ tau <\ beta}$

Essas duas propriedades permitem a representação da transformada de Fourier e sua inversa,

${\ displaystyle {\ mathcal {G}} (\ omega _ {n}) = \ int _ {0} ^ {\ beta} \ mathrm {d} \ tau \, {\ mathcal {G}} (\ tau) \, \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} \ omega _ {n} \ tau}.}$

Finalmente, observe que tem uma descontinuidade em ; isso é consistente com um comportamento de longa distância de . ${\ displaystyle {\ mathcal {G}} (\ tau)}$${\ displaystyle \ tau = 0}$${\ displaystyle {\ mathcal {G}} (\ omega _ {n}) \ sim 1 / | \ omega _ {n} |}$

Representação espectral

Os propagadores em tempo real e imaginário podem ser ambos relacionados à densidade espectral (ou peso espectral), dada por

${\ displaystyle \ rho (\ mathbf {k}, \ omega) = {\ frac {1} {\ mathcal {Z}}} \ sum _ {\ alpha, \ alpha '} 2 \ pi \ delta (E _ {\ alpha} -E _ {\ alpha '} - \ omega) | \ langle \ alpha \ mid \ psi _ {\ mathbf {k}} ^ {\ dagger} \ mid \ alpha' \ rangle | ^ {2} \ left ( \ mathrm {e} ^ {- \ beta E _ {\ alpha '}} - \ zeta \ mathrm {e} ^ {- \ beta E _ {\ alpha}} \ right),}$

onde | α ⟩ refere-se a um (-corpo muitos) autoestado do grand-canónica Hamiltoniano H  -  μN , com valores próprios E _α .

O propagador do tempo imaginário é então dado por

${\ displaystyle {\ mathcal {G}} (\ mathbf {k}, \ omega _ {n}) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {\ mathrm {d} \ omega ' } {2 \ pi}} {\ frac {\ rho (\ mathbf {k}, \ omega ')} {- \ mathrm {i} \ omega _ {n} + \ omega'}} ~,}$

e o propagador retardado por

${\ displaystyle G ^ {\ mathrm {R}} (\ mathbf {k}, \ omega) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {\ mathrm {d} \ omega '} { 2 \ pi}} {\ frac {\ rho (\ mathbf {k}, \ omega ')} {- (\ omega + \ mathrm {i} \ eta) + \ omega'}},}$

onde o limite está implícito. ${\ displaystyle \ eta \ rightarrow 0 ^ {+}}$

O propagador avançado é dado pela mesma expressão, mas com no denominador. ${\ displaystyle - \ mathrm {i} \ eta}$

A função ordenada por tempo pode ser encontrada em termos de e . Como afirmado acima, e têm propriedades analíticas simples: o primeiro (último) tem todos os seus pólos e descontinuidades no semiplano inferior (superior). ${\ displaystyle G ^ {\ mathrm {R}}}$${\ displaystyle G ^ {\ mathrm {A}}}$${\ displaystyle G ^ {\ mathrm {R}} (\ omega)}$${\ displaystyle G ^ {\ mathrm {A}} (\ omega)}$

O propagador térmico tem todos os seus pólos e descontinuidades no eixo imaginário . ${\ displaystyle {\ mathcal {G}} (\ omega _ {n})}$${\ displaystyle \ omega _ {n}}$

A densidade espectral pode ser encontrada de forma muito direta , usando o teorema de Sokhatsky-Weierstrass${\ displaystyle G ^ {\ mathrm {R}}}$

${\ displaystyle \ lim _ {\ eta \ rightarrow 0 ^ {+}} {\ frac {1} {x \ pm \ mathrm {i} \ eta}} = P {\ frac {1} {x}} \ mp i \ pi \ delta (x),}$

onde P denota a parte principal de Cauchy . Isto dá

${\ displaystyle \ rho (\ mathbf {k}, \ omega) = 2 \ operatorname {Im} \, G ^ {\ mathrm {R}} (\ mathbf {k}, \ omega).}$

Isso, além disso, implica que obedece à seguinte relação entre suas partes reais e imaginárias: ${\ displaystyle G ^ {\ mathrm {R}} (\ mathbf {k}, \ omega)}$

${\ displaystyle \ operatorname {Re} G ^ {\ mathrm {R}} (\ mathbf {k}, \ omega) = - 2P \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {\ mathrm { d} \ omega '} {2 \ pi}} {\ frac {\ operatorname {Im} \, G ^ {\ mathrm {R}} (\ mathbf {k}, \ omega')} {\ omega - \ omega '}},}$

onde denota o valor principal do integral. ${\ displaystyle P}$

A densidade espectral obedece a uma regra de soma,

${\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {\ mathrm {d} \ omega} {2 \ pi}} \ rho (\ mathbf {k}, \ omega) = 1,}$

que dá

${\ displaystyle G ^ {\ mathrm {R}} (\ omega) \ sim {\ frac {1} {| \ omega |}}}$

como . ${\ displaystyle | \ omega | \ rightarrow \ infty}$

Transformada de Hilbert

A similaridade das representações espectrais das funções de Green em tempo real e imaginário nos permite definir a função

${\ displaystyle G (\ mathbf {k}, z) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {\ mathrm {d} x} {2 \ pi}} {\ frac {\ rho (\ mathbf {k}, x)} {- z + x}},}$

que está relacionado com e por ${\ displaystyle {\ mathcal {G}}}$${\ displaystyle G ^ {\ mathrm {R}}}$

${\ displaystyle {\ mathcal {G}} (\ mathbf {k}, \ omega _ {n}) = G (\ mathbf {k}, \ mathrm {i} \ omega _ {n})}$

e

${\ displaystyle G ^ {\ mathrm {R}} (\ mathbf {k}, \ omega) = G (\ mathbf {k}, \ omega + \ mathrm {i} \ eta).}$

Uma expressão semelhante obviamente vale para . ${\ displaystyle G ^ {\ mathrm {A}}}$

A relação entre e é conhecida como transformada de Hilbert . ${\ displaystyle G (\ mathbf {k}, z)}$${\ displaystyle \ rho (\ mathbf {k}, x)}$

Prova de representação espectral

Demonstramos a prova da representação espectral do propagador no caso da função verde térmica, definida como

${\ displaystyle {\ mathcal {G}} (\ mathbf {x}, \ tau \ mid \ mathbf {x} ', \ tau') = \ langle T \ psi (\ mathbf {x}, \ tau) {\ bar {\ psi}} (\ mathbf {x} ', \ tau') \ rangle.}$

Devido à simetria translacional, só é necessário considerar para , dado por ${\ displaystyle {\ mathcal {G}} (\ mathbf {x}, \ tau \ mid \ mathbf {0}, 0)}$${\ displaystyle \ tau> 0}$

${\ displaystyle {\ mathcal {G}} (\ mathbf {x}, \ tau \ mid \ mathbf {0}, 0) = {\ frac {1} {\ mathcal {Z}}} \ sum _ {\ alpha '} \ mathrm {e} ^ {- \ beta E _ {\ alpha'}} \ langle \ alpha '\ mid \ psi (\ mathbf {x}, \ tau) {\ bar {\ psi}} (\ mathbf { 0}, 0) \ mid \ alpha '\ rangle.}$

A inserção de um conjunto completo de estados próprios dá

${\ displaystyle {\ mathcal {G}} (\ mathbf {x}, \ tau \ mid \ mathbf {0}, 0) = {\ frac {1} {\ mathcal {Z}}} \ sum _ {\ alpha , \ alpha '} \ mathrm {e} ^ {- \ beta E _ {\ alpha'}} \ langle \ alpha '\ mid \ psi (\ mathbf {x}, \ tau) \ mid \ alpha \ rangle \ langle \ alpha \ mid {\ bar {\ psi}} (\ mathbf {0}, 0) \ mid \ alpha '\ rangle.}$

Uma vez que e são estados próprios de , os operadores de Heisenberg podem ser reescritos em termos de operadores de Schrödinger, dando ${\ displaystyle | \ alpha \ rangle}$${\ displaystyle | \ alpha '\ rangle}$${\ displaystyle H- \ mu N}$

${\ displaystyle {\ mathcal {G}} (\ mathbf {x}, \ tau | \ mathbf {0}, 0) = {\ frac {1} {\ mathcal {Z}}} \ sum _ {\ alpha, \ alpha '} \ mathrm {e} ^ {- \ beta E _ {\ alpha'}} \ mathrm {e} ^ {\ tau (E _ {\ alpha '} -E _ {\ alpha})} \ langle \ alpha' \ mid \ psi (\ mathbf {x}) \ mid \ alpha \ rangle \ langle \ alpha \ mid \ psi ^ {\ dagger} (\ mathbf {0}) \ mid \ alpha '\ rangle.}$

Realizando a transformação de Fourier, então dá

${\ displaystyle {\ mathcal {G}} (\ mathbf {k}, \ omega _ {n}) = {\ frac {1} {\ mathcal {Z}}} \ sum _ {\ alpha, \ alpha '} \ mathrm {e} ^ {- \ beta E _ {\ alpha '}} {\ frac {1- \ zeta \ mathrm {e} ^ {\ beta (E _ {\ alpha'} -E _ {\ alpha})}} {- \ mathrm {i} \ omega _ {n} + E _ {\ alpha} -E _ {\ alpha '}}} \ int _ {\ mathbf {k}'} d \ mathbf {k} '\ langle \ alpha \ mid \ psi (\ mathbf {k}) \ mid \ alpha '\ rangle \ langle \ alpha' \ mid \ psi ^ {\ dagger} (\ mathbf {k} ') \ mid \ alpha \ rangle.}$

A conservação do momento permite que o termo final seja escrito como (até os possíveis fatores do volume)

${\ displaystyle | \ langle \ alpha '\ mid \ psi ^ {\ dagger} (\ mathbf {k}) \ mid \ alpha \ rangle | ^ {2},}$

que confirma as expressões para as funções de Green na representação espectral.

A regra da soma pode ser provada considerando o valor esperado do comutador,

${\ displaystyle 1 = {\ frac {1} {\ mathcal {Z}}} \ sum _ {\ alpha} \ langle \ alpha \ mid \ mathrm {e} ^ {- \ beta (H- \ mu N)} [\ psi _ {\ mathbf {k}}, \ psi _ {\ mathbf {k}} ^ {\ dagger}] _ {- \ zeta} \ mid \ alpha \ rangle,}$

e, em seguida, inserir um conjunto completo de estados próprios em ambos os termos do comutador:

${\ displaystyle 1 = {\ frac {1} {\ mathcal {Z}}} \ sum _ {\ alpha, \ alpha '} \ mathrm {e} ^ {- \ beta E _ {\ alpha}} \ left (\ langle \ alpha \ mid \ psi _ {\ mathbf {k}} \ mid \ alpha '\ rangle \ langle \ alpha' \ mid \ psi _ {\ mathbf {k}} ^ {\ dagger} \ mid \ alpha \ rangle - \ zeta \ langle \ alpha \ mid \ psi _ {\ mathbf {k}} ^ {\ dagger} \ mid \ alpha '\ rangle \ langle \ alpha' \ mid \ psi _ {\ mathbf {k}} \ mid \ alpha \ rangle \ right).}$

Trocar os rótulos no primeiro termo dá

${\ displaystyle 1 = {\ frac {1} {\ mathcal {Z}}} \ sum _ {\ alpha, \ alpha '} \ left (\ mathrm {e} ^ {- \ beta E _ {\ alpha'}} - \ zeta \ mathrm {e} ^ {- \ beta E _ {\ alpha}} \ right) | \ langle \ alpha \ mid \ psi _ {\ mathbf {k}} ^ {\ dagger} \ mid \ alpha '\ rangle | ^ {2} ~,}$

que é exatamente o resultado da integração de ρ .

Caso sem interação

No caso de não interação, é um estado próprio com energia (grand-canônica) , onde é a relação de dispersão de uma única partícula medida em relação ao potencial químico. A densidade espectral, portanto, torna-se ${\ displaystyle \ psi _ {\ mathbf {k}} ^ {\ dagger} \ mid \ alpha '\ rangle}$${\ displaystyle E _ {\ alpha '} + \ xi _ {\ mathbf {k}}}$${\ displaystyle \ xi _ {\ mathbf {k}} = \ epsilon _ {\ mathbf {k}} - \ mu}$

${\ displaystyle \ rho _ {0} (\ mathbf {k}, \ omega) = {\ frac {1} {\ mathcal {Z}}} \, 2 \ pi \ delta (\ xi _ {\ mathbf {k }} - \ omega) \ sum _ {\ alpha '} \ langle \ alpha' \ mid \ psi _ {\ mathbf {k}} \ psi _ {\ mathbf {k}} ^ {\ dagger} \ mid \ alpha '\ rangle (1- \ zeta \ mathrm {e} ^ {- \ beta \ xi _ {\ mathbf {k}}}) \ mathrm {e} ^ {- \ beta E _ {\ alpha'}}.}$

A partir das relações de comutação,

${\ displaystyle \ langle \ alpha '\ mid \ psi _ {\ mathbf {k}} \ psi _ {\ mathbf {k}} ^ {\ dagger} \ mid \ alpha' \ rangle = \ langle \ alpha '\ mid (1+ \ zeta \ psi _ {\ mathbf {k}} ^ {\ dagger} \ psi _ {\ mathbf {k}}) \ mid \ alpha '\ rangle,}$

com possíveis fatores do volume novamente. A soma, que envolve a média térmica do operador numérico, dá então simplesmente , saindo ${\ displaystyle [1+ \ zeta n (\ xi _ {\ mathbf {k}})] {\ mathcal {Z}}}$

${\ displaystyle \ rho _ {0} (\ mathbf {k}, \ omega) = 2 \ pi \ delta (\ xi _ {\ mathbf {k}} - \ omega).}$

O propagador do tempo imaginário é, portanto,

${\ displaystyle {\ mathcal {G}} _ {0} (\ mathbf {k}, \ omega) = {\ frac {1} {- \ mathrm {i} \ omega _ {n} + \ xi _ {\ mathbf {k}}}}}$

e o propagador retardado é

${\ displaystyle G_ {0} ^ {\ mathrm {R}} (\ mathbf {k}, \ omega) = {\ frac {1} {- (\ omega + \ mathrm {i} \ eta) + \ xi _ {\ mathbf {k}}}}.}$

Limite de temperatura zero

À medida que β → ∞, a densidade espectral torna-se

${\ displaystyle \ rho (\ mathbf {k}, \ omega) = 2 \ pi \ sum _ {\ alpha} \ left [\ delta (E _ {\ alpha} -E_ {0} - \ omega) | \ langle \ alpha \ mid \ psi _ {\ mathbf {k}} ^ {\ dagger} \ mid 0 \ rangle | ^ {2} - \ zeta \ delta (E_ {0} -E _ {\ alpha} - \ omega) | \ langle 0 \ mid \ psi _ {\ mathbf {k}} ^ {\ dagger} \ mid \ alpha \ rangle | ^ {2} \ right]}$

onde α = 0 corresponde ao estado fundamental. Observe que apenas o primeiro (segundo) termo contribui quando ω é positivo (negativo).

Caso Geral

Definições básicas

Podemos usar 'operadores de campo' como acima, ou operadores de criação e aniquilação associados a outros estados de partícula única, talvez estados próprios da energia cinética (não-interativa). Então usamos

${\ displaystyle \ psi (\ mathbf {x}, \ tau) = \ varphi _ {\ alpha} (\ mathbf {x}) \ psi _ {\ alpha} (\ tau),}$

onde é o operador de aniquilação para o estado de partícula única e é a função de onda desse estado na base de posição. Isto dá ${\ displaystyle \ psi _ {\ alpha}}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ varphi _ {\ alpha} (\ mathbf {x})}$

${\ displaystyle {\ mathcal {G}} _ {\ alpha _ {1} \ ldots \ alpha _ {n} | \ beta _ {1} \ ldots \ beta _ {n}} ^ {(n)} (\ tau _ {1} \ ldots \ tau _ {n} | \ tau _ {1} '\ ldots \ tau _ {n}') = \ langle T \ psi _ {\ alpha _ {1}} (\ tau _ {1}) \ ldots \ psi _ {\ alpha _ {n}} (\ tau _ {n}) {\ bar {\ psi}} _ {\ beta _ {n}} (\ tau _ {n} ' ) \ ldots {\ bar {\ psi}} _ {\ beta _ {1}} (\ tau _ {1} ') \ rangle}$

com uma expressão semelhante para . ${\ displaystyle G ^ {(n)}}$

Funções de dois pontos

Estes dependem apenas da diferença de seus argumentos de tempo, de modo que

${\ displaystyle {\ mathcal {G}} _ {\ alpha \ beta} (\ tau \ mid \ tau ') = {\ frac {1} {\ beta}} \ sum _ {\ omega _ {n}} { \ mathcal {G}} _ {\ alpha \ beta} (\ omega _ {n}) \, \ mathrm {e} ^ {- \ mathrm {i} \ omega _ {n} (\ tau - \ tau ') }}$

e

${\ displaystyle G _ {\ alpha \ beta} (t \ mid t ') = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {\ mathrm {d} \ omega} {2 \ pi}} \ , G _ {\ alpha \ beta} (\ omega) \, \ mathrm {e} ^ {- \ mathrm {i} \ omega (t-t ')}.}$

Podemos novamente definir funções retardadas e avançadas da maneira óbvia; estes estão relacionados à função ordenada pelo tempo da mesma maneira que acima.

As mesmas propriedades de periodicidade descritas acima se aplicam a . Especificamente, ${\ displaystyle {\ mathcal {G}} _ {\ alpha \ beta}}$

${\ displaystyle {\ mathcal {G}} _ {\ alpha \ beta} (\ tau \ mid \ tau ') = {\ mathcal {G}} _ {\ alpha \ beta} (\ tau - \ tau')}$

e

${\ displaystyle {\ mathcal {G}} _ {\ alpha \ beta} (\ tau) = {\ mathcal {G}} _ {\ alpha \ beta} (\ tau + \ beta),}$

para . ${\ displaystyle \ tau <0}$

Representação espectral

Nesse caso,

${\ displaystyle \ rho _ {\ alpha \ beta} (\ omega) = {\ frac {1} {\ mathcal {Z}}} \ sum _ {m, n} 2 \ pi \ delta (E_ {n} - E_ {m} - \ omega) \; \ langle m \ mid \ psi _ {\ alpha} \ mid n \ rangle \ langle n \ mid \ psi _ {\ beta} ^ {\ dagger} \ mid m \ rangle \ esquerda (\ mathrm {e} ^ {- \ beta E_ {m}} - \ zeta \ mathrm {e} ^ {- \ beta E_ {n}} \ direita),}$

onde e são estados de muitos corpos. ${\ displaystyle m}$${\ displaystyle n}$

As expressões para as funções de Green são modificadas de maneiras óbvias:

${\ displaystyle {\ mathcal {G}} _ {\ alpha \ beta} (\ omega _ {n}) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {\ mathrm {d} \ omega '} {2 \ pi}} {\ frac {\ rho _ {\ alpha \ beta} (\ omega')} {- \ mathrm {i} \ omega _ {n} + \ omega '}}}$

e

${\ displaystyle G _ {\ alpha \ beta} ^ {\ mathrm {R}} (\ omega) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {\ mathrm {d} \ omega '} { 2 \ pi}} {\ frac {\ rho _ {\ alpha \ beta} (\ omega ')} {- (\ omega + \ mathrm {i} \ eta) + \ omega'}}.}$

Suas propriedades de analiticidade são idênticas. A prova segue exatamente as mesmas etapas, exceto que os dois elementos da matriz não são mais conjugados complexos.

Caso não interativo

Se os estados particulares de uma única partícula que são escolhidos são 'autossomos de energia de uma única partícula', ou seja,

${\ displaystyle [H- \ mu N, \ psi _ {\ alpha} ^ {\ dagger}] = \ xi _ {\ alpha} \ psi _ {\ alpha} ^ {\ dagger},}$

então, para um estado próprio: ${\ displaystyle | n \ rangle}$

${\ displaystyle (H- \ mu N) \ mid n \ rangle = E_ {n} \ mid n \ rangle,}$

então é : ${\ displaystyle \ psi _ {\ alpha} \ mid n \ rangle}$

${\ displaystyle (H- \ mu N) \ psi _ {\ alpha} \ mid n \ rangle = (E_ {n} - \ xi _ {\ alpha}) \ psi _ {\ alpha} \ mid n \ rangle, }$

e assim é : ${\ displaystyle \ psi _ {\ alpha} ^ {\ dagger} \ mid n \ rangle}$

${\ displaystyle (H- \ mu N) \ psi _ {\ alpha} ^ {\ dagger} \ mid n \ rangle = (E_ {n} + \ xi _ {\ alpha}) \ psi _ {\ alpha} ^ {\ dagger} \ mid n \ rangle.}$

Portanto, temos

${\ displaystyle \ langle m \ mid \ psi _ {\ alpha} \ mid n \ rangle \ langle n \ mid \ psi _ {\ beta} ^ {\ dagger} \ mid m \ rangle = \ delta _ {\ xi _ {\ alpha}, \ xi _ {\ beta}} \ delta _ {E_ {n}, E_ {m} + \ xi _ {\ alpha}} \ langle m \ mid \ psi _ {\ alpha} \ mid n \ rangle \ langle n \ mid \ psi _ {\ beta} ^ {\ dagger} \ mid m \ rangle.}$

Nós então reescrevemos

${\ displaystyle \ rho _ {\ alpha \ beta} (\ omega) = {\ frac {1} {\ mathcal {Z}}} \ sum _ {m, n} 2 \ pi \ delta (\ xi _ {\ alpha} - \ omega) \ delta _ {\ xi _ {\ alpha}, \ xi _ {\ beta}} \ langle m \ mid \ psi _ {\ alpha} \ mid n \ rangle \ langle n \ mid \ psi _ {\ beta} ^ {\ dagger} \ mid m \ rangle \ mathrm {e} ^ {- \ beta E_ {m}} \ left (1- \ zeta \ mathrm {e} ^ {- \ beta \ xi _ {\ alpha}} \ right),}$

Portanto

${\ displaystyle \ rho _ {\ alpha \ beta} (\ omega) = {\ frac {1} {\ mathcal {Z}}} \ sum _ {m} 2 \ pi \ delta (\ xi _ {\ alpha} - \ omega) \ delta _ {\ xi _ {\ alpha}, \ xi _ {\ beta}} \ langle m \ mid \ psi _ {\ alpha} \ psi _ {\ beta} ^ {\ dagger} \ mathrm {e} ^ {- \ beta (H- \ mu N)} \ mid m \ rangle \ left (1- \ zeta \ mathrm {e} ^ {- \ beta \ xi _ {\ alpha}} \ right), }$

usar

${\ displaystyle \ langle m \ mid \ psi _ {\ alpha} \ psi _ {\ beta} ^ {\ dagger} \ mid m \ rangle = \ delta _ {\ alpha, \ beta} \ langle m \ mid \ zeta \ psi _ {\ alpha} ^ {\ dagger} \ psi _ {\ alpha} +1 \ mid m \ rangle}$

e o fato de que a média térmica do operador numérico fornece a função de distribuição de Bose – Einstein ou Fermi – Dirac.

Finalmente, a densidade espectral simplifica para dar

${\ displaystyle \ rho _ {\ alpha \ beta} = 2 \ pi \ delta (\ xi _ {\ alpha} - \ omega) \ delta _ {\ alpha \ beta},}$

de modo que a função verde térmica é

${\ displaystyle {\ mathcal {G}} _ {\ alpha \ beta} (\ omega _ {n}) = {\ frac {\ delta _ {\ alpha \ beta}} {- \ mathrm {i} \ omega _ {n} + \ xi _ {\ beta}}}}$

e a função verde retardada é

${\ displaystyle G _ {\ alpha \ beta} (\ omega) = {\ frac {\ delta _ {\ alpha \ beta}} {- (\ omega + \ mathrm {i} \ eta) + \ xi _ {\ beta }}}.}$

Observe que a função de Green sem interação é diagonal, mas isso não será verdade no caso de interação.

Veja também

• Teorema da Flutuação
• Relações Green-Kubo
• Função de resposta linear
• Equação de Lindblad
• Propagator
• Função de correlação (teoria quântica de campo)
• Continuação analítica numérica

Referências

Livros

• Bonch-Bruevich VL, Tyablikov SV (1962): The Green Function Method in Statistical Mechanics. North Holland Publishing Co.
• Abrikosov, AA, Gorkov, LP e Dzyaloshinski, IE (1963): Métodos de Teoria Quântica de Campos em Física Estatística Englewood Cliffs: Prentice-Hall.
• Negele, JW e Orland, H. (1988): Quantum Many-Particle Systems AddisonWesley.
• Zubarev DN , Morozov V., Ropke G. (1996): Statistical Mechanics of Nonequilibrium Processes: Basic Concepts, Kinetic Theory (Vol. 1). John Wiley & Sons. ISBN   3-05-501708-0 .
• Mattuck Richard D. (1992), A Guide to Feynman Diagrams in the Many-Body Problem , Dover Publications, ISBN   0-486-67047-3 .

Papéis

• Bogolyubov NN , Tyablikov SV Retarded and advanced Green functions in estatística física, Soviet Physics Doklady, Vol. 4 , pág. 589 (1959).
• Zubarev DN , Funções de Green de tempo duplo em física estatística , Soviet Physics Uspekhi 3 (3), 320-345 (1960).

links externos

• Linear Response Functions in Eva Pavarini, Erik Koch, Dieter Vollhardt e Alexander Lichtenstein (eds.): DMFT em 25: Infinite Dimensions, Verlag des Forschungszentrum Jülich, 2014 ISBN   978-3-89336-953-9