Teorema da reatância de Foster - Foster's reactance theorem

O teorema da reatância de Foster é um teorema importante nos campos da análise e síntese de redes elétricas . O teorema afirma que a reatância de uma rede passiva e sem perdas de dois terminais ( uma porta ) sempre aumenta estritamente monotonicamente com a frequência. É facilmente visto que as reatâncias de indutores e capacitores aumentam individualmente com a frequência e, a partir dessa base, uma prova para redes sem perdas passivas geralmente pode ser construída. A prova do teorema foi apresentada por Ronald Martin Foster em 1924, embora o princípio tenha sido publicado anteriormente pelos colegas de Foster na American Telephone & Telegraph .

O teorema pode ser estendido às admitâncias e ao conceito abrangente de imitâncias . Uma consequência do teorema de Foster é que zeros e pólos da reatância devem alternar com frequência. Foster usou essa propriedade para desenvolver duas formas canônicas para realizar essas redes. O trabalho de Foster foi um importante ponto de partida para o desenvolvimento da síntese de redes .

É possível construir redes não-Foster usando componentes ativos, como amplificadores. Eles podem gerar uma impedância equivalente a uma indutância ou capacitância negativa. O conversor de impedância negativa é um exemplo de tal circuito.

Explicação

A reatância é a parte imaginária da impedância elétrica complexa . Ambos os capacitores e indutores possuem reatância (mas de sinal oposto) e são dependentes da frequência. A especificação de que a rede deve ser passiva e sem perdas implica que não há resistores (sem perdas), amplificadores ou fontes de energia (passivos) na rede. A rede conseqüentemente deve consistir inteiramente de indutores e capacitores e a impedância será puramente um número imaginário com parte real zero. O teorema de Foster aplica-se igualmente à admissão de uma rede, ou seja, a suscetibilidade (parte imaginária da admissão) de uma porta única passiva e sem perdas aumenta monotonicamente com a frequência. Esse resultado pode parecer contra-intuitivo, uma vez que a admissão é o recíproco da impedância, mas é facilmente provado. Se a impedância for

${\ displaystyle Z = iX \,}$

onde é a reatância e é a unidade imaginária , então a admitância é dada por ${\ displaystyle \ scriptstyle X}$${\ displaystyle \ scriptstyle i}$

${\ displaystyle Y = {\ frac {1} {iX}} = - i {\ frac {1} {X}} = iB}$

onde está a suscetibilidade. ${\ displaystyle \ scriptstyle B}$

Se X está aumentando monotonicamente com a frequência, então 1 / X deve estar diminuindo monotonicamente. −1 / X deve, conseqüentemente, estar aumentando monotonicamente e, portanto, está provado que B também está aumentando.

Frequentemente, na teoria das redes, um princípio ou procedimento se aplica igualmente bem à impedância ou admitância - refletindo o princípio da dualidade para redes elétricas. É conveniente nessas circunstâncias usar o conceito de imitância , que pode significar impedância ou admitância. A matemática é realizada sem especificar unidades até que se deseje calcular um exemplo específico. O teorema de Foster pode, portanto, ser declarado de uma forma mais geral como,

Teorema de Foster (forma de imitância)

A imitância imaginária de uma porta única passiva e sem perdas aumenta estritamente monotonicamente com a frequência.

O teorema de Foster é bastante geral. Em particular, ele se aplica a redes de elementos distribuídos , embora Foster o tenha formulado em termos de indutores e capacitores discretos. Portanto, é aplicável em frequências de micro-ondas tanto quanto em frequências mais baixas.

Exemplos

Gráfico da reatância de um indutor contra a frequência	Gráfico da reatância de um capacitor contra a frequência
Gráfico da reatância de um circuito LC em série contra a frequência	Gráfico da reatância de um circuito LC paralelo em relação à frequência

Os exemplos a seguir ilustram esse teorema em vários circuitos simples.

Indutor

A impedância de um indutor é dada por,

${\ displaystyle Z = i \ omega L \,}$

${\ displaystyle \ scriptstyle L}$é indutância

${\ displaystyle \ scriptstyle \ omega}$é a frequência angular

então a reatância é,

${\ displaystyle X = \ omega L \,}$

que por inspeção pode ser visto como monotonicamente (e linearmente) aumentando com a frequência.

Capacitor

A impedância de um capacitor é dada por,

${\ displaystyle Z = {\ frac {1} {i \ omega C}}}$

${\ displaystyle \ scriptstyle C}$é capacitância

então a reatância é,

${\ displaystyle X = - {\ frac {1} {\ omega C}}}$

que por sua vez está aumentando monotonicamente com frequência. A função de impedância do capacitor é idêntica à função de admitância do indutor e vice-versa. É um resultado geral que o dual de qualquer função de imitância que obedece ao teorema de Foster também seguirá o teorema de Foster.

Circuito ressonante série

Um circuito LC em série tem uma impedância que é a soma das impedâncias de um indutor e capacitor,

${\ displaystyle Z = i \ omega L + {\ frac {1} {i \ omega C}} = i \ left (\ omega L - {\ frac {1} {\ omega C}} \ right)}$

Em baixas frequências, a reatância é dominada pelo capacitor e, portanto, é grande e negativa. Isso aumenta monotonicamente para zero (a magnitude da reatância do capacitor está se tornando menor). A reatância passa por zero no ponto onde as magnitudes das reatâncias do capacitor e do indutor são iguais (a frequência de ressonância ) e então continua a aumentar monotonicamente conforme a reatância do indutor se torna progressivamente dominante.

Circuito ressonante paralelo

Um circuito LC paralelo é o dual do circuito em série e, portanto, sua função de admitância é a mesma forma que a função de impedância do circuito em série,

${\ displaystyle Y = i \ omega C + {\ frac {1} {i \ omega L}}}$

A função de impedância é,

${\ displaystyle Z = i \ left ({\ frac {\ omega L} {1- \ omega ^ {2} LC}} \ right)}$

Em baixas frequências, a reatância é dominada pelo indutor e é pequena e positiva. Isso aumenta monotonicamente em direção a um pólo na frequência anti-ressonante, onde a susceptibilidade do indutor e do capacitor são iguais e opostas e se cancelam. Depois do pólo, a reatância é grande e negativa e aumenta em direção a zero, onde é dominada pela capacitância.

Zeros e pólos

Gráfico da reatância da primeira forma de impedância canônica do ponto de direção de Foster, mostrando o padrão de pólos e zeros alternados. Três anti-ressonadores são necessários para realizar esta função de impedância.

Uma consequência do teorema de Foster é que os zeros e os pólos de qualquer função de imitância passiva devem se alternar conforme a frequência aumenta. Depois de passar por um pólo, a função será negativa e é obrigada a passar pelo zero antes de chegar ao pólo seguinte, se for para ser monotonicamente crescente.

Os pólos e zeros de uma função de imitância determinam completamente as características de frequência de uma rede Foster. Duas redes Foster que têm pólos e zeros idênticos serão circuitos equivalentes no sentido de que suas funções de imitância serão idênticas. Pode haver uma diferença de fator de escala entre eles (todos os elementos da imitância multiplicados pelo mesmo fator de escala), mas a forma das duas funções de imitância será idêntica.

Outra consequência do teorema de Foster é que a fase de uma imitância deve aumentar monotonicamente com a frequência. Conseqüentemente, o gráfico de uma função de imitância Foster em um gráfico de Smith deve sempre viajar ao redor do gráfico no sentido horário com frequência crescente.

Realização

A primeira forma de Foster de realização da impedância do ponto de direção canônico. Se a função polinomial tiver um pólo em ω = 0, uma das seções LC se reduzirá a um único capacitor. Se a função polinomial tiver um pólo em ω = ∞, uma das seções LC se reduzirá a um único indutor. Se ambos os pólos estiverem presentes, então duas seções se reduzem a um circuito LC em série .

Segunda forma de Foster de realização da impedância do ponto de direção canônico. Se a função polinomial tiver um zero em ω = 0, uma das seções LC se reduzirá a um único indutor. Se a função polinomial tiver um zero em ω = ∞, uma das seções LC se reduzirá a um único capacitor. Se ambos os zeros estiverem presentes, então duas seções se reduzem a um circuito LC paralelo .

Uma imitância passiva de uma porta que consiste em elementos discretos (ou seja, elementos não distribuídos ) pode ser representada como uma função racional de s ,

${\ displaystyle Z (s) = {\ frac {P (s)} {Q (s)}}}$

Onde,

${\ displaystyle \ scriptstyle Z (s)}$ é imitância

${\ displaystyle \ scriptstyle P (s), \ Q (s)}$são polinômios com coeficientes reais e positivos

${\ displaystyle \ scriptstyle s}$é a variável da transformada de Laplace , que pode ser substituída ao lidar com sinais CA em estado estacionário .${\ displaystyle \ scriptstyle i \ omega}$

Isso decorre do fato de que a impedância dos elementos L e C são eles próprios funções racionais simples e qualquer combinação algébrica de funções racionais resulta em outra função racional.

Isso às vezes é chamado de impedância do ponto de acionamento porque é a impedância no local da rede em que o circuito externo está conectado e o "aciona" com um sinal. Em seu artigo, Foster descreve como essa função racional sem perdas pode ser realizada (se é que pode ser realizada) de duas maneiras. A primeira forma de Foster consiste em uma série de circuitos LC paralelos conectados em série. A segunda forma de impedância do ponto de acionamento de Foster consiste em uma série de circuitos LC em série conectados em paralelo. A compreensão da impedância do ponto de acionamento não é, de forma alguma, única. A realização de Foster tem a vantagem de que os pólos e / ou zeros estão diretamente associados a um circuito ressonante particular, mas existem muitas outras realizações. Talvez o mais conhecido seja a realização de escada de Wilhelm Cauer a partir do projeto de filtro.

Redes não Foster

Uma rede Foster deve ser passiva, portanto, uma rede ativa, contendo uma fonte de energia, pode não obedecer ao teorema de Foster. Elas são chamadas de redes não Foster. Em particular, os circuitos que contêm um amplificador com feedback positivo podem ter reatância que diminui com a frequência. Por exemplo, é possível criar capacitância negativa e indutância com circuitos conversores de impedância negativa . Esses circuitos terão uma função de imitância com uma fase de ± π / 2 como uma reatância positiva, mas uma amplitude de reatância com uma inclinação negativa em relação à frequência.

Eles são interessantes porque podem realizar tarefas que uma rede Foster não pode. Por exemplo, as redes de casamento de impedância Foster passivas usuais podem apenas casar a impedância de uma antena com uma linha de transmissão em frequências discretas, o que limita a largura de banda da antena. Uma rede não Foster pode combinar uma antena em uma faixa contínua de frequências. Isso permitiria a criação de antenas compactas com ampla largura de banda, violando o limite de Chu-Harrington . Redes práticas não Foster são uma área ativa de pesquisa.

História

O teorema foi desenvolvido na American Telephone & Telegraph como parte das investigações em andamento sobre filtros aprimorados para aplicações de multiplexação telefônica . Este trabalho foi comercialmente importante; grandes somas de dinheiro poderiam ser economizadas aumentando o número de conversas telefônicas que poderiam ser realizadas em uma linha. O teorema foi publicado pela primeira vez por Campbell em 1922, mas sem uma prova. Grande uso foi imediatamente feito do teorema no projeto de filtro, ele aparece com destaque, junto com uma prova, no artigo de referência de Zobel de 1923, que resumiu o estado da arte do projeto de filtro naquela época. Foster publicou seu artigo no ano seguinte, que incluía seus formulários de realização canônica.

Cauer, na Alemanha, percebeu a importância do trabalho de Foster e o usou como base para a síntese da rede . Entre as muitas inovações de Cauer estava a extensão do trabalho de Foster a todas as redes de 2 elementos após a descoberta de um isomorfismo entre elas. Cauer estava interessado em encontrar a condição necessária e suficiente para a viabilidade de uma rede racional de uma porta a partir de sua função polinomial, uma condição agora conhecida como uma função real-positiva , e o problema inverso de quais redes eram equivalentes, isto é, tinham a mesma função polinomial. Ambos eram problemas importantes na teoria de redes e no projeto de filtros. Redes Foster são apenas um subconjunto de redes realizáveis,

Referências

Bibliografia

• Foster, RM, " Um teorema da reatância ", Bell System Technical Journal , vol.3 , no. 2, pp. 259–267, novembro de 1924.
• Campbell, GA, " Teoria física do filtro de ondas elétricas ", Bell System Technical Journal , vol.1 , no. 2, pp. 1-32, novembro de 1922.
• Zobel, OJ, " Theory and Design of Uniform and Composite Electric Wave Filters ", Bell System Technical Journal , vol.2 , no. 1, pp. 1-46, janeiro de 1923.
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