Triângulo Extouch - Extouch triangle

O triângulo extouch (△ T _A T _B T _C , com contorno vermelho) e o ponto Nagel (azul, N) de um triângulo (△ ABC, com contorno preto). Os círculos laranja são os círculos do triângulo.

Na geometria , o triângulo extraível de um triângulo é formado pela união dos pontos nos quais os três círculos tocam o triângulo.

Coordenadas

Os vértices do triângulo extouch são dados em coordenadas trilineares por:

${\ displaystyle T_ {A} = 0: \ csc ^ {2} {\ left (B / 2 \ right)}: \ csc ^ {2} {\ left (C / 2 \ right)}}$

${\ displaystyle T_ {B} = \ csc ^ {2} {\ left (A / 2 \ right)}: 0: \ csc ^ {2} {\ left (C / 2 \ right)}}$

${\ displaystyle T_ {C} = \ csc ^ {2} {\ left (A / 2 \ right)}: \ csc ^ {2} {\ left (B / 2 \ right)}: 0}$

ou equivalentemente, onde a, b, c são os comprimentos dos lados opostos aos ângulos A, B, C respectivamente,

${\ displaystyle T_ {A} = 0: {\ frac {a-b + c} {b}}: {\ frac {a + bc} {c}}}$

${\ displaystyle T_ {B} = {\ frac {-a + b + c} {a}}: 0: {\ frac {a + bc} {c}}}$

${\ displaystyle T_ {C} = {\ frac {-a + b + c} {a}}: {\ frac {a-b + c} {b}}: 0.}$

Figuras relacionadas

Os divisores do triângulo são linhas que conectam os vértices do triângulo original aos vértices correspondentes do triângulo extouch; eles dividem o perímetro do triângulo e se encontram no ponto Nagel . Isso é mostrado em azul e identificado como "N" no diagrama.

O Mandart inellipse é tangente aos lados do triângulo de referência nos três vértices do triângulo extouch.

Área

A área do triângulo extouch,, é dada por: ${\ displaystyle K_ {T}}$

${\ displaystyle K_ {T} = K {\ frac {2r ^ {2} s} {abc}}}$

onde , , são a área, o raio da circunferência inscrita e semiperimeter do triângulo original, e , , são os comprimentos laterais do triângulo original. ${\ displaystyle K}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle s}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle c}$

Esta é a mesma área do triângulo intouch .

Referências