soma exponencial - Exponential sum

Em matemática , uma soma exponencial pode ser um finito série de Fourier (ou seja, um polinómio trigonométrico ), ou outro finita soma formada utilizando a função exponencial , normalmente expressa por meio da função

${\ Displaystyle de e (x) = \ exp (2 \ pi ix). \,}$

Portanto, uma soma típico exponencial pode assumir a forma

${\ Displaystyle \ sum _ {n} e (x_ {n}),}$

somados sobre um finito sequência de números reais x _n .

Formulação

Se permitirmos que alguns coeficientes reais de um _n , para obter o formulário

${\ Displaystyle \ sum _ {n} a_ {n} e (x_ {n})}$

é o mesmo que permitindo expoentes que são números complexos . Ambas as formas são certamente útil em aplicações. Uma grande parte do século XX teoria analítica dos números foi dedicada a encontrar boas estimativas para essas somas, uma tendência iniciada pelo trabalho básico de Hermann Weyl em aproximação diofantina .

estimativas

O principal impulso do assunto é que uma soma

${\ Displaystyle S = \ soma _ {n} e (x_ {n})}$

é trivialmente estimada pelo número N de termos. Isto é, o valor absoluto

${\ Displaystyle | S | \ leq N \,}$

pela desigualdade do triângulo , uma vez que cada summand tem valor absoluto 1. Em aplicações de um gostaria de fazer melhor. Que envolve provando algum cancelamento ocorrer, ou em outras palavras, que esta soma de números complexos no círculo unitário não é de números de todos com o mesmo argumento . O melhor que é razoável esperar é uma estimativa da forma

${\ Displaystyle | S | = O ({\ sqrt {N}}) \,}$

o que significa, até o constante implícita na notação O grande , que a soma se assemelha a um passeio aleatório em duas dimensões.

Esta estimativa pode ser considerada ideal; é inatingível em muitos dos grandes problemas, e as estimativas

${\ Displaystyle | S | = O (n) \,}$

tem que ser usado, em que o o ( N função) representa apenas uma pequena economia na estimativa trivial. Um típico 'pequena economia' pode ser um factor de registo ( N ), por exemplo. Mesmo um tal resultado menor-aparente na direcção certa, tem de ser encaminhado todo o caminho de volta para a estrutura da sequência inicial x _n , para mostrar um grau de aleatoriedade . As técnicas envolvidas são engenhosos e sutil.

Uma variante de 'Weyl Differencing' investigada por Weyl envolvendo uma soma exponencial geradora

${\ Displaystyle G (\ tau) = \ soma _ {n} e ^ {iaf (x) + iA \ tau n}}$

Foi anteriormente estudado pelo próprio Weyl, desenvolveu um método para expressar a soma como o valor , em que 'G' pode ser definido por meio de uma equação diferencial linear semelhante à equação Dyson obtida através da soma por partes. ${\ Displaystyle G (0)}$

História

Se a soma é da forma

${\ Displaystyle S (x) = e ^ {iaf (x)}}$

onde ƒ é uma função suave, que podem utilizar a fórmula de Euler-Maclaurin para converter a série em uma integral, mais algumas correcções envolvendo derivados de S ( X ), em seguida, para valores grandes de um poderia utilizar o método de "fase estacionária" para calcular a integral e dar uma avaliação aproximada da soma. Os principais avanços no assunto foram método de Van der Corput (c. 1920), relacionada com o princípio da fase estacionária , e depois o método Winogradow (c.1930).

O grande método de peneira (c.1960), o trabalho de muitos pesquisadores, é um princípio geral relativamente transparente; mas não um método tem aplicação geral.

Tipos de soma exponencial

Muitos tipos de somas são utilizados na formulação de problemas específicos; aplicações requerem geralmente uma redução para algum tipo conhecido, muitas vezes por manipulações engenhosas. Soma parcial pode ser usado para remover coeficientes de um _n , em muitos casos.

A distinção básica entre uma soma completa exponencial , o qual é, tipicamente, uma soma sobre todas as classes residuais modulo algum inteiro N (ou mais geral anel finita ), e uma soma exponencial incompleta , onde a gama de somatório é restrito por algum desigualdade . Exemplos de somas exponenciais completas são somas Gauss e somas Kloosterman ; estes são, em algum sentido campo finito ou análogos de anel finitos da função gama e algum tipo de função de Bessel , respectivamente, e têm muitas propriedades 'estruturais'. Um exemplo de uma soma incompleta é a soma parcial da soma quadrática Gauss (na verdade, o caso investigado por Gauss ). Aqui não são boas estimativas para somas sobre intervalos mais curtos do que todo o conjunto de classes residuais, porque, em termos geométricos, as somas parciais aproximar uma espiral Cornu ; isto implica cancelamento maciço.

Tipos de auxiliares de somas ocorrem na teoria, por exemplo somas de caracteres ; voltando para Harold Davenport tese de. As conjecturas Weil tinha principais aplicações para completar somas com domínio restringida por condições polinomiais (isto é, ao longo de uma variedade algébrica ao longo de um campo finito).

somas Weyl

Um dos tipos mais gerais de soma exponencial é a soma Weyl , com expoentes 2p se ( n ), onde f é um valor real bastante geral função suave . Estes são os montantes envolvidos na distribuição dos valores

ƒ ( n ) um módulo,

de acordo com o critério equidistribuição de Weyl . Um avanço básico era a desigualdade de Weyl para tais somas, para o polinômio f .

Há uma teoria geral dos pares expoente , que formula estimativas. Um caso importante é onde f é logarítmica, em relação com a função zeta de Riemann . Veja também equidistribuição teorema .

Exemplo: a soma de Gauss quadrática

Deixe p ser um primo ímpar e deixe . Em seguida, a quadrática soma Gauss é dada por ${\ Displaystyle \ xi = e ^ {2 \ pi i / p}}$

${\ Displaystyle \ soma _ {n = 0} ^ {p-1} \ xi ^ {n ^ {2}} = {\ begin {casos} {\ sqrt {p}}, e p = 1 \ mod 4 \\ i {\ sqrt {p}}, e p = 3 \ mod 4 \ final {casos}}}$

onde as raízes quadradas são levados para ser positivo.

Este é o grau ideal de cancelamento se poderia esperar sem qualquer a priori conhecimento da estrutura da soma, uma vez que coincide com a escala de um passeio aleatório .

Veja também

• lema de Hua

Referências

• Montgomery, Hugh L. (1994). Dez palestras sobre a interface entre teoria analítica dos números e análise harmônica . Série Conferência Regional em Matemática. 84 . Providence, RI: American Mathematical Society . ISBN  0-8218-0737-4 . ZBL  0.814,11001 .
• Sándor, József; Mitrinović, Dragoslav S .; Crstici, Borislav, eds. (2006). Manual da teoria dos números que eu . Dordrecht: Springer-Verlag . ISBN  1-4020-4215-9 . ZBL  1.151,11300 .

Outras leituras

• Korobov, NM (1992). Somas exponenciais e suas aplicações . Matemática e suas aplicações. Série Soviética. 80 . Traduzido do russo por Yu. N. Shakhov. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. ISBN  0-7923-1647-9 . ZBL  0.754,11022 .

links externos

• Uma breve introdução à Weyl resume em Mathworld