Desigualdade de Weyl - Weyl's inequality

Em matemática, existem pelo menos dois resultados conhecidos como desigualdade de Weyl .

Desigualdade de Weyl na teoria dos números

Na teoria dos números , a desigualdade de Weyl , nomeada em homenagem a Hermann Weyl , afirma que se M , N , a e q são inteiros, com coprime a e q , q  > 0 e f é um polinômio real de grau k cujo coeficiente líder c satisfaz

${\ displaystyle | ca / ​​q | \ leq tq ^ {- 2},}$

para algum t maior ou igual a 1, então, para qualquer número real positivo, um tem ${\ displaystyle \ scriptstyle \ varepsilon}$

${\ displaystyle \ sum _ {x = M} ^ {M + N} \ exp (2 \ pi if (x)) = O \ left (N ^ {1+ \ varepsilon} \ left ({t \ over q} + {1 \ over N} + {t \ over N ^ {k-1}} + {q \ over N ^ {k}} \ right) ^ {2 ^ {1-k}} \ right) {\ text {as}} N \ to \ infty.}$

Essa desigualdade só será útil quando

${\ displaystyle q <N ^ {k},}$

para, de outra forma, estimar o módulo da soma exponencial por meio da desigualdade do triângulo que fornece um limite melhor. ${\ displaystyle \ scriptstyle \ leq \, N}$

Desigualdade de Weyl na teoria da matriz

Desigualdade de Weyl sobre perturbação

Na álgebra linear, a desigualdade de Weyl é um teorema sobre as mudanças nos autovalores de uma matriz Hermitiana que é perturbada. Ele pode ser usado para estimar os valores próprios de uma matriz Hermitiana perturbada.

Let and be n × n matrizes Hermitianas, com seus respectivos autovalores ordenados da seguinte forma: ${\ displaystyle M = N + R, \, N,}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle \ mu _ {i}, \, \ nu _ {i}, \, \ rho _ {i}}$

${\ displaystyle M: ​​\ quad \ mu _ {1} \ geq \ cdots \ geq \ mu _ {n},}$

${\ displaystyle N: \ quad \ nu _ {1} \ geq \ cdots \ geq \ nu _ {n},}$

${\ displaystyle R: \ quad \ rho _ {1} \ geq \ cdots \ geq \ rho _ {n}.}$

Então, as seguintes desigualdades se mantêm:

${\ displaystyle \ nu _ {i} + \ rho _ {n} \ leq \ mu _ {i} \ leq \ nu _ {i} + \ rho _ {1}, \ quad i = 1, \ dots, n ,}$

e, de forma mais geral,

${\ displaystyle \ nu _ {j} + \ rho _ {k} \ leq \ mu _ {i} \ leq \ nu _ {r} + \ rho _ {s}, \ quad j + kn \ geq i \ geq r + s-1.}$

Em particular, se for definido positivo, então conectar -se às desigualdades acima leva a ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle \ rho _ {n}> 0}$

${\ displaystyle \ mu _ {i}> \ nu _ {i} \ quad \ forall i = 1, \ dots, n.}$

Observe que esses autovalores podem ser ordenados, pois são reais (como autovalores de matrizes Hermitianas).

Desigualdade de Weyl entre autovalores e valores singulares

Deixe ter valores singulares e autovalores ordenados de forma que . Então ${\ displaystyle A \ in \ mathbb {C} ^ {n \ times n}}$${\ displaystyle \ sigma _ {1} (A) \ geq \ cdots \ geq \ sigma _ {n} (A) \ geq 0}$${\ displaystyle | \ lambda _ {1} (A) | \ geq \ cdots \ geq | \ lambda _ {n} (A) |}$

${\ displaystyle | \ lambda _ {1} (A) \ cdots \ lambda _ {k} (A) | \ leq \ sigma _ {1} (A) \ cdots \ sigma _ {k} (A)}$

Pois , com igualdade para . ${\ displaystyle k = 1, \ ldots, n}$${\ displaystyle k = n}$

Formulários

Estimando perturbações do espectro

Suponha que seja pequeno no sentido de que sua norma espectral satisfaz para alguns pequenos . Então, segue-se que todos os autovalores de são limitados em valor absoluto por . Aplicando a desigualdade de Weyl, segue-se que os espectros das matrizes Hermitianas M e N são próximos no sentido de que ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle \ | R \ | _ {2} \ leq \ epsilon}$${\ displaystyle \ epsilon> 0}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle \ epsilon}$

${\ displaystyle | \ mu _ {i} - \ nu _ {i} | \ leq \ epsilon \ qquad \ forall i = 1, \ ldots, n.}$

Observe, no entanto, que este limite de perturbação de autovalor é geralmente falso para matrizes não-Hermitianas (ou mais precisamente, para matrizes não normais). Para um contra-exemplo, deixe ser arbitrariamente pequeno e considere ${\ displaystyle t> 0}$

${\ displaystyle M = {\ begin {bmatrix} 0 & 0 \\ 1 / t ^ {2} & 0 \ end {bmatrix}}, \ qquad N = M + R = {\ begin {bmatrix} 0 & 1 \\ 1 / t ^ {2} & 0 \ end {bmatrix}}, \ qquad R = {\ begin {bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \ end {bmatrix}}.}$

cujos autovalores e não satisfazem . ${\ displaystyle \ mu _ {1} = \ mu _ {2} = 0}$${\ displaystyle \ nu _ {1} = + 1 / t, \ nu _ {2} = - 1 / t}$${\ displaystyle | \ mu _ {i} - \ nu _ {i} | \ leq \ | R \ | _ {2} = 1}$

Desigualdade de Weyl para valores singulares

Deixe ser uma matriz com . Seus valores singulares são os autovalores positivos da matriz aumentada de Hermit. ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle p \ times n}$${\ displaystyle 1 \ leq p \ leq n}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {k} (M)}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle (p + n) \ times (p + n)}$

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 0 & M \\ M ^ {*} & 0 \ end {bmatrix}}.}$

Portanto, a desigualdade de perturbação de autovalor de Weyl para matrizes Hermitianas se estende naturalmente à perturbação de valores singulares. Este resultado fornece o limite para a perturbação nos valores singulares de uma matriz devido a uma perturbação aditiva : ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle \ Delta}$

${\ displaystyle | \ sigma _ {k} (M + \ Delta) - \ sigma _ {k} (M) | \ leq \ sigma _ {1} (\ Delta)}$

onde notamos que o maior valor singular coincide com a norma espectral . ${\ displaystyle \ sigma _ {1} (\ Delta)}$${\ displaystyle \ | \ Delta \ | _ {2}}$

Notas

Referências

• Matrix Theory , Joel N. Franklin, (Dover Publications, 1993) ISBN  0-486-41179-6
• "Das asymptotische Verteilungsgesetz der Eigenwerte linearer partieller Differentialgleichungen", H. Weyl, Math. Ann., 71 (1912), 441-479