Conectividade - Connectedness

Este artigo é sobre matemática. Para outros usos, consulte Conectividade (desambiguação) .

Em matemática , conectividade é usada para se referir a várias propriedades que significam, em certo sentido, "uma peça única". Quando um objeto matemático possui tal propriedade, dizemos que ele está conectado ; caso contrário, ele é desconectado . Quando um objeto desconectado pode ser dividido naturalmente em partes conectadas, cada parte é geralmente chamada de componente (ou componente conectado ).

Conectividade na topologia

Artigo principal: Espaço conectado

Diz- se que um espaço topológico está conectado se não for a união de dois conjuntos abertos não vazios disjuntos . Um conjunto é aberto se não contém nenhum ponto situado em sua fronteira ; assim, em um sentido informal e intuitivo, o fato de um espaço poder ser dividido em conjuntos abertos disjuntos sugere que a fronteira entre os dois conjuntos não faz parte do espaço e, portanto, o divide em duas partes separadas.

Outras noções de conexão

Os campos da matemática normalmente se preocupam com tipos especiais de objetos. Freqüentemente, esse objeto é considerado conectado se, quando é considerado um espaço topológico, é um espaço conectado. Assim, variedades , grupos de Lie e gráficos são todos chamados de conectados se estiverem conectados como espaços topológicos, e seus componentes são os componentes topológicos. Às vezes é conveniente reafirmar a definição de conectividade em tais campos. Por exemplo, diz-se que um gráfico está conectado se cada par de vértices do gráfico for unido por um caminho . Esta definição é equivalente à topológica, aplicada aos grafos, mas é mais fácil de lidar no contexto da teoria dos grafos . A teoria dos grafos também oferece uma medida de conectividade livre de contexto, chamada de coeficiente de agrupamento .

Outros campos da matemática estão preocupados com objetos que raramente são considerados como espaços topológicos. No entanto, as definições de conexão geralmente refletem o significado topológico de alguma forma. Por exemplo, na teoria das categorias , uma categoria é considerada conectada se cada par de objetos nela é unido por uma sequência de morfismos . Assim, uma categoria está conectada se for, intuitivamente, toda uma peça.

Pode haver diferentes noções de conexão que são intuitivamente semelhantes, mas diferentes como conceitos formalmente definidos. Podemos desejar chamar um espaço topológico de conectado se cada par de pontos nele for unido por um caminho . No entanto, essa condição acaba sendo mais forte do que a conexão topológica padrão; em particular, existem espaços topológicos conectados para os quais essa propriedade não é válida. Por causa disso, uma terminologia diferente é usada; espaços com esta propriedade são chamados de caminhos conectados . Embora nem todos os espaços conectados sejam conectados por caminho, todos os espaços conectados por caminho estão conectados.

Os termos que envolvem conectado também são usados ​​para propriedades relacionadas, mas claramente diferentes de conectividade. Por exemplo, um espaço topológico conectado por caminho é simplesmente conectado se cada loop (caminho de um ponto a si mesmo) nele for contraível ; isto é, intuitivamente, se houver essencialmente apenas uma maneira de ir de qualquer ponto a qualquer outro ponto. Assim, uma esfera e um disco estão, cada um, simplesmente conectados, enquanto um toro não. Como outro exemplo, um gráfico direcionado é fortemente conectado se cada par ordenado de vértices for unido por um caminho direcionado (isto é, aquele que "segue as setas").

Outros conceitos expressam a maneira pela qual um objeto não está conectado. Por exemplo, um espaço topológico está totalmente desconectado se cada um de seus componentes for um único ponto.

Conectividade

Artigo principal: Conectividade (teoria dos grafos)

Propriedades e parâmetros baseados na ideia de conectividade freqüentemente envolvem a palavra conectividade . Por exemplo, na teoria dos grafos , um grafo conectado é aquele do qual devemos remover pelo menos um vértice para criar um grafo desconectado. Em reconhecimento a isso, esses gráficos também são chamados de 1-conectado . Da mesma forma, um gráfico é 2-conectado se devemos remover pelo menos dois vértices dele, para criar um gráfico desconectado. Um gráfico de 3 conexões requer a remoção de pelo menos três vértices e assim por diante. A conectividade de um gráfico é o número mínimo de vértices que devem ser removidos para desconectá-lo. Equivalentemente, a conectividade de um gráfico é o maior inteiro k para o qual o gráfico está conectado por k .

Embora a terminologia varie, as formas substantivas de propriedades relacionadas à conectividade geralmente incluem o termo conectividade . Assim, ao discutir espaços topológicos simplesmente conectados, é muito mais comum falar de conectividade simples do que de simples conectividade . Por outro lado, em campos sem uma noção formalmente definida de conectividade , a palavra pode ser usada como sinônimo de conectividade .

Outro exemplo de conectividade pode ser encontrado em telhas normais. Aqui, a conectividade descreve o número de vizinhos acessíveis a partir de um único bloco :

Veja também

Referências