Caracterização (matemática) - Characterization (mathematics)

Em matemática , a caracterização de um objeto é um conjunto de condições que, embora diferente da definição do objeto, é logicamente equivalente a ele. Dizer que "A propriedade P caracteriza o objeto X " é dizer que não apenas X tem a propriedade P , mas que X é a única coisa que tem a propriedade P (isto é, P é uma propriedade definidora de X ). Da mesma forma, diz-se que um conjunto de propriedades P caracteriza X , quando essas propriedades distinguem X de todos os outros objetos. Mesmo que uma caracterização identifique um objeto de uma maneira única, várias caracterizações podem existir para um único objeto. Expressões matemáticas comuns para uma caracterização de X em termos de P incluem " P é necessário e suficiente para X " e " X é válido se e somente se P ".

Também é comum encontrar afirmações como "A propriedade Q caracteriza Y até o isomorfismo ". O primeiro tipo de declaração diz em palavras diferentes que a extensão de P é um conjunto singleton , enquanto o segundo diz que a extensão de Q é uma classe de equivalência única (para isomorfismo, no exemplo dado - dependendo de como até está sendo usado , alguma outra relação de equivalência pode estar envolvida).

Uma referência à terminologia matemática observa que essa característica se origina do termo grego kharax , "uma estaca pontiaguda":

"Do grego kharax veio kharakhter , um instrumento usado para marcar ou gravar um objeto. Depois que um objeto era marcado, ele se tornava distinto, então o caráter de algo passou a significar sua natureza distinta. O sufixo grego tardio -istikos converteu o caractere substantivo em o adjetivo característico , que, além de manter seu significado adjetivo, posteriormente também se tornou um substantivo. "

Assim como na química, a propriedade característica de um material servirá para identificar uma amostra, ou no estudo de materiais, estruturas e propriedades irão determinar a caracterização , na matemática há um esforço contínuo para expressar propriedades que irão distinguir uma característica desejada em um teoria ou sistema. A caracterização não é exclusiva da matemática, mas como a ciência é abstrata, grande parte da atividade pode ser descrita como "caracterização". Por exemplo, em Mathematical Reviews , a partir de 2018, mais de 24.000 artigos contêm a palavra no título do artigo e 93.600 em algum lugar na revisão.

Em um contexto arbitrário de objetos e características, as caracterizações foram expressas por meio da relação heterogênea aRb , significando que o objeto a possui a característica b . Por exemplo, b pode significar abstrato ou concreto . Os objetos podem ser considerados extensões do mundo, enquanto os traços são a expressão das intenções . Um programa contínuo de caracterização de vários objetos leva à sua categorização .

Exemplos

  • Um número racional , geralmente definido como uma razão de dois inteiros, pode ser caracterizado como um número com expansão decimal finita ou repetitiva .
  • Um paralelogramo é um quadrilátero cujos lados opostos são paralelos. Uma de suas caracterizações é que suas diagonais se dividem entre si. Isso significa que as diagonais em todos os paralelogramos se dividem entre si e, inversamente, que qualquer quadrilátero cujas diagonais se dividem deve ser um paralelogramo. A última afirmação só é verdadeira se definições inclusivas de quadriláteros são usadas (de modo que, por exemplo, retângulos contam como paralelogramos), que é a forma dominante de definir objetos na matemática hoje em dia.
  • "Entre as distribuições de probabilidade no intervalo de 0 a ∞ na linha real, a falta de memória caracteriza as distribuições exponenciais ." Esta declaração significa que as distribuições exponenciais são as únicas distribuições de probabilidade que não têm memória, desde que a distribuição seja contínua conforme definido acima (consulte Caracterização das distribuições de probabilidade para mais informações).
  • "De acordo com o teorema de Bohr-Mollerup , entre todas as funções f tais que f (1) = 1 e xf ( x ) = f ( x + 1) para x > 0, a convexidade logarítmica caracteriza a função gama ." Isso significa que, entre todas essas funções, a função gama é a única que é convexa logarítmica.
  • O círculo é caracterizado como um múltiplo por ser unidimensional, compacto e conectado ; aqui a caracterização, como uma variedade suave, depende do difeomorfismo .

Veja também

Referências