Representação decimal - Decimal representation

Uma representação decimal de um número real não negativo r é uma expressão na forma de uma sequência de dígitos decimais tradicionalmente escrita com um único separador

${\ displaystyle r = b_ {k} b_ {k-1} \ ldots b_ {0} .a_ {1} a_ {2} \ ldots \ ,,}$

onde k é um inteiro não negativo e são inteiros no intervalo 0, ..., 9, que são chamados de dígitos da representação. ${\ displaystyle b_ {0}, \ ldots, b_ {k}, a_ {1}, a_ {2}, \ ldots}$

Esta expressão representa a soma infinita

${\ displaystyle r = \ sum _ {i = 0} ^ {k} b_ {i} 10 ^ {i} + \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} {\ frac {a_ {i}} { 10 ^ {i}}}.}$

A sequência dos - os dígitos após o ponto - pode ser finita, caso em que os dígitos ausentes são considerados 0. ${\ displaystyle a_ {i}}$

Todo número real não negativo tem pelo menos uma dessas representações; tem duas dessas representações se e apenas uma tem uma sequência infinita de zeros à direita e a outra tem uma sequência infinita de noves à direita. Alguns autores proíbem representações decimais com uma sequência infinita de noves no final, porque isso permite uma correspondência um-para-um entre números reais não negativos e representações decimais.

O número inteiro , denotado por um ₀ no restante deste artigo, é chamada a parte inteira de r , e a sequência da representa o número ${\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {k} b_ {i} 10 ^ {i}}$${\ displaystyle a_ {i}}$

${\ displaystyle 0.a_ {1} a_ {2} \ ldots = \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} {\ frac {a_ {i}} {10 ^ {i}}},}$

que é chamada de parte fracionária de r .

Aproximações decimais finitas

Qualquer número real pode ser aproximado a qualquer grau desejado de precisão por números racionais com representações decimais finitas.

Suponha . Então, para cada número inteiro, há um decimal finito, de modo que ${\ displaystyle x \ geq 0}$${\ displaystyle n \ geq 1}$${\ displaystyle r_ {n} = a_ {0} .a_ {1} a_ {2} \ cdots a_ {n}}$

${\ displaystyle r_ {n} \ leq x <r_ {n} + {\ frac {1} {10 ^ {n}}}.}$

Prova :

Deixe , onde . Então , e o resultado segue da divisão de todos os lados por . (O fato de ter uma representação decimal finita é facilmente estabelecido.) ${\ displaystyle r_ {n} = \ textstyle {\ frac {p} {10 ^ {n}}}}$${\ displaystyle p = \ lfloor 10 ^ {n} x \ rfloor}$${\ displaystyle p \ leq 10 ^ {n} x <p + 1}$${\ displaystyle 10 ^ {n}}$${\ displaystyle r_ {n}}$

Não unicidade de representação decimal e convenções notacionais

Alguns números reais têm duas representações decimais infinitas. Por exemplo, o número 1 pode ser igualmente representado por 1.000 ... como por 0,999 ... (onde as sequências infinitas de 0s ou 9s à direita, respectivamente, são representadas por "..."). Convencionalmente, a representação decimal sem 9's finais é preferida. Além disso, na representação decimal padrão de , uma seqüência infinita de 0s à direita aparecendo após a vírgula decimal é omitida, junto com a vírgula em si, se for um inteiro. ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x}$

Certos procedimentos para construir a expansão decimal de evitarão o problema de 9's à direita. Por exemplo, o seguinte procedimento algorítmico fornecerá a representação decimal padrão: Dado , primeiro definimos (a parte inteira de ) como o maior inteiro tal que (isto é, ). Se o procedimento terminar. Caso contrário, por já encontrado, definimos indutivamente como sendo o maior inteiro tal que${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x \ geq 0}$${\ displaystyle a_ {0}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle a_ {0} \ leq x}$${\ displaystyle a_ {0} = \ lfloor x \ rfloor}$${\ displaystyle x = a_ {0}}$${\ textstyle (a_ {i}) _ {i = 0} ^ {k-1}}$${\ displaystyle a_ {k}}$

${\ displaystyle a_ {0} + {\ frac {a_ {1}} {10}} + {\ frac {a_ {2}} {10 ^ {2}}} + \ cdots + {\ frac {a_ {k }} {10 ^ {k}}} \ leq x. \ Quad \ quad (*)}$

O procedimento termina sempre que for encontrado de forma que a igualdade seja mantida ; caso contrário, continua indefinidamente a fornecer uma sequência infinita de dígitos decimais. Pode-se mostrar que (convencionalmente escrito como ), onde e o inteiro não negativo é representado em notação decimal . Esta construção é estendida aplicando o procedimento acima e denotando a expansão decimal resultante por . ${\ displaystyle a_ {k}}$${\ displaystyle (*)}$${\ textstyle x = \ sup _ {k} \ {\ sum _ {i = 0} ^ {k} {\ frac {a_ {i}} {10 ^ {i}}} \}}$${\ displaystyle x = a_ {0} .a_ {1} a_ {2} a_ {3} \ cdots}$${\ displaystyle a_ {1}, a_ {2}, a_ {3} \ ldots \ in \ {0,1,2, \ ldots, 9 \},}$${\ displaystyle a_ {0}}$${\ displaystyle x <0}$${\ displaystyle -x> 0}$${\ displaystyle -a_ {0} .a_ {1} a_ {2} a_ {3} \ cdots}$

Representações decimais finitas

A expansão decimal do número real não negativo x terminará em zeros (ou em noves) se, e somente se, x for um número racional cujo denominador é da forma 2 ⁿ 5 ^m , onde m e n são inteiros não negativos .

Prova :

Se a expansão decimal de x terminar em zeros, ou para algum n , então o denominador de x tem a forma 10 ⁿ = 2 ⁿ 5 ⁿ . ${\ displaystyle x = \ sum _ {i = 0} ^ {n} {\ frac {a_ {i}} {10 ^ {i}}} = \ sum _ {i = 0} ^ {n} 10 ^ { ni} a_ {i} / 10 ^ {n}}$

Inversamente, se o denominador de x tem a forma 2 ⁿ 5 ^m , para algum p . Enquanto x é da forma , para alguns n . Por , x terminará em zeros. ${\ displaystyle x = {\ frac {p} {2 ^ {n} 5 ^ {m}}} = {\ frac {2 ^ {m} 5 ^ {n} p} {2 ^ {n + m} 5 ^ {n + m}}} ​​= {\ frac {2 ^ {m} 5 ^ {n} p} {10 ^ {n + m}}}}$${\ displaystyle \ textstyle {\ frac {p} {10 ^ {k}}}}$${\ displaystyle p = \ sum _ {i = 0} ^ {n} 10 ^ {i} a_ {i}}$${\ displaystyle x = \ sum _ {i = 0} ^ {n} 10 ^ {ni} a_ {i} / 10 ^ {n} = \ sum _ {i = 0} ^ {n} {\ frac {a_ {i}} {10 ^ {i}}}}$

Repetição de representações decimais

Alguns números reais têm expansões decimais que eventualmente entram em loops, repetindo infinitamente uma sequência de um ou mais dígitos:

¹ / ₃ = 0,33333 ...

¹ / ₇ = 0,142857142857 ...

¹³¹⁸ / ₁₈₅ = 7,1243243243 ...

Cada vez que isso acontece, o número ainda é um número racional (ou seja, pode alternativamente ser representado como uma proporção de um inteiro e um inteiro positivo). Também o inverso é verdadeiro: a expansão decimal de um número racional é finita ou se repete continuamente.

Conversão para fração

Cada representação decimal de um número racional pode ser convertida em uma fração, convertendo-a em uma soma das partes inteiras, não repetitivas e repetitivas e, em seguida, convertendo essa soma em uma única fração com um denominador comum.

Por exemplo, para converter para uma fração, anota-se o lema: ${\ textstyle \ pm 8.123 {\ overline {4567}}}$

$${\ displaystyle {\ begin {alinhados} 0,000 {\ overline {4567}} & = 4567 \ times 0,000 {\ overline {0001}} \\ & = 4567 \ times 0. {\ overline {0001}} \ times {\ frac {1} {10 ^ {3}}} \\ & = 4567 \ times {\ frac {1} {9999}} \ times {\ frac {1} {10 ^ {3}}} \\ & = { \ frac {4567} {9999}} \ times {\ frac {1} {10 ^ {3}}} \\ & = {\ frac {4567} {(10 ^ {4} -1) \ times 10 ^ { 3}}} & {\ text {Os expoentes são o número de dígitos não repetidos após o ponto decimal (3) e o número de dígitos repetidos (4).}} \ End {alinhados}}}$$

Assim, converte-se da seguinte forma:

$${\ displaystyle {\ begin {align} \ pm 8.123 {\ overline {4567}} & = \ pm \ left (8 + {\ frac {123} {10 ^ {3}}} + {\ frac {4567} { (10 ^ {4} -1) \ times 10 ^ {3}}} \ right) & {\ text {from above}} \\ & = \ pm {\ frac {8 \ times (10 ^ {4} - 1) \ vezes 10 ^ {3} +123 \ vezes (10 ^ {4} -1) +4567} {(10 ^ {4} -1) \ vezes 10 ^ {3}}} & {\ text {comum denominador}} \\ & = \ pm {\ frac {81226444} {9999000}} & {\ text {multiplicando e somando o numerador}} \\ & = \ pm {\ frac {20306611} {2499750}} & { \ text {reduzindo}} \\\ end {alinhado}}}$$

Se não houver dígitos repetidos, presume-se que existe um 0 repetido sempre, por exemplo , embora, uma vez que isso torne o termo repetido zero, a soma simplifica para dois termos e uma conversão mais simples. ${\ displaystyle 1.9 = 1.9 {\ overline {0}}}$

Por exemplo:

$${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ pm 8.1234 & = \ pm \ left (8 + {\ frac {1234} {10 ^ {4}}} \ right) & \\ & = \ pm {\ frac {8 \ times 10 ^ {4} +1234} {10 ^ {4}}} & {\ text {denominador comum}} \\ & = \ pm {\ frac {81234} {10000}} & {\ text {multiplicando, e somando o numerador}} \\ & = \ pm {\ frac {40617} {5000}} & {\ texto {reduzindo}} \\\ fim {alinhado}}}$$

Veja também

• Decimal
• Série (matemática)
• IEEE 754
• Simon Stevin

Referências

Leitura adicional

• Apostol, Tom (1974). Análise matemática (segunda edição). Addison-Wesley .
• Savard, John JG (2018) [2006]. "Representações decimais" . quadibloc . Arquivado do original em 16/07/2018 . Página visitada em 16/07/2018 .